隨機(jī)過程課件：第三章 泊松過程

1、1第三章 泊松過程泊松過程定義泊松過程的數(shù)字特征時(shí)間間隔分布、等待時(shí)間分布及到達(dá)時(shí)間的條件分布復(fù)合泊松過程非齊次泊松過程濾過泊松過程2計(jì)數(shù)過程：稱隨機(jī)過程N(yùn)(t),t0為計(jì)數(shù)過程，若N(t)表示到時(shí)刻t為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件： N(t) 0; N(t)取正整數(shù)值； 若st，則N(s) N(t)； 當(dāng)s0），事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時(shí)間差s有關(guān)，而與t無關(guān)。3泊松過程定義1：稱計(jì)數(shù)過程X(t),t0為具有參數(shù)0的泊松過程，若它滿足下列條件：1、X(0)=0；2、X(t)是獨(dú)立增量過程；3、在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)0的泊松分布

2、，即對(duì)任意s,t0，有泊松過程同時(shí)也是平穩(wěn)增量過程表示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱為過程的速率或強(qiáng)度4泊松過程定義2：稱計(jì)數(shù)過程X(t),t0為具有參數(shù)0的泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0； X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程；X(t)滿足下列兩式：例如：電話交換機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；火車站某段時(shí)間內(nèi)購買車票的旅客數(shù)；機(jī)器在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)；保險(xiǎn)的理賠5定理 ：定義1和定義2是等價(jià)的。例子：設(shè)交換機(jī)每分鐘接到電話的次數(shù)X(t)是強(qiáng)度為的泊松過程。求兩分鐘內(nèi)接到3次呼叫的概率。第二分鐘內(nèi)接到第3次呼叫的概率。6泊松過程的數(shù)字特征設(shè)X(t),t0是泊松過程，對(duì)任意的t,

3、s0, )，且ss1+s2|Ss1。即假定最近一次事件A發(fā)生的時(shí)間在s1時(shí)刻，下一次事件A發(fā)生的時(shí)間至少在將來s2時(shí)刻的概率。9時(shí)間間隔的分布設(shè)N(t),t0是泊松過程，令N(t)表示t時(shí)刻事件A發(fā)生的次數(shù)，Tn表示從第（n-1）次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔。10定理：設(shè)X(t),t0為具有參數(shù)的泊松過程，Tn,n1是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量Tn是獨(dú)立同分布的均值為1/的指數(shù)分布。對(duì)于任意n=1,2, 事件A相繼到達(dá)的時(shí)間間隔Tn的分布為概率密度為11等待時(shí)間的分布等待時(shí)間Wn是指第n次事件A到達(dá)的時(shí)間分布因此Wn是n個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和。12定理：設(shè)Wn,n1是

4、與泊松過程X(t),t0對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則Wn服從參數(shù)為n與的分布，其概率密度為例：已知儀器在0，t內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù)X(t)是具有參數(shù)的泊松過程，若儀器振動(dòng)k（k=1）次就會(huì)出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻t0正常工作的概率。13到達(dá)時(shí)間的條件分布假設(shè)在0,t內(nèi)時(shí)間A已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一事件到達(dá)時(shí)間W1的分布。泊松過程平穩(wěn)獨(dú)立增量過程可以認(rèn)為0,t內(nèi)長度相等的區(qū)間包含這個(gè)事件的概率應(yīng)該相等，或者說，這個(gè)事件的到達(dá)時(shí)間應(yīng)在0,t上服從均勻分布。對(duì)于st有分布函數(shù)分布密度14定理：設(shè)X(t),t0是泊松過程，已知在0,t內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次到達(dá)時(shí)間W1W2, Wn與相應(yīng)于n個(gè)0,t上均

5、勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布。例題設(shè)在0,t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0st，對(duì)于0kn，求PX(s)=k|X(t)=n例題設(shè)在0,t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k(kn)次事件A發(fā)生的時(shí)間Wk的條件概率密度函數(shù)。1、設(shè)X(t),t0是泊松過程，在給定0,t內(nèi)事件A發(fā)生n次的條件下，這n次到達(dá)時(shí)間W1，W2, ，Wn ，每一個(gè)都是U0,t的一個(gè)樣本，且相互獨(dú)立。2、若不考慮其大小順序，其分布就如n個(gè)獨(dú)立的均勻隨機(jī)變量U0,t，如到達(dá)時(shí)間的條件分布的說明3、如果我們有一組n個(gè)獨(dú)立均勻分布U0,t隨機(jī)變量的觀測(cè)值，將其按大小排列，則可以將其視為給定X(t)=n的齊次泊松過程的n個(gè)到達(dá)點(diǎn)

6、，是一種產(chǎn)生齊次泊松過程的方法例題有線電視公司從客戶簽約時(shí)刻起開始收費(fèi)，每單位時(shí)間收費(fèi)1元，設(shè)簽約客戶為參數(shù)為的泊松過程，求公司在(0，t時(shí)間段內(nèi)的平均總收入。16非齊次泊松過程允許時(shí)刻t的來到強(qiáng)度是t的函數(shù)定義：稱計(jì)數(shù)過程X(t),t0為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)(t)的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0； X(t)是獨(dú)立增量過程； 非齊次泊松過程的均值函數(shù)（積分強(qiáng)度函數(shù)）為17定理：設(shè)X(t),t0為具有均值函數(shù) 非齊次泊松過程，則有或18到達(dá)時(shí)間的條件分布19例題設(shè)X(t),t0是具有跳躍強(qiáng)度 的非齊次泊松過程（0），求EX(t)和DX(t)。例題設(shè)某路公共汽車從早上5時(shí)到晚上9時(shí)有

7、車發(fā)出，乘客流量如下：5時(shí)按平均乘客為200人/時(shí)計(jì)算；5時(shí)至8時(shí)乘客平均到達(dá)率按線性增加，8時(shí)到達(dá)率為1400人/時(shí)；8時(shí)至18時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)到21時(shí)從到達(dá)率1400人/時(shí)按線性下降，到21時(shí)為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的。求12時(shí)至14時(shí)有2000人來站乘車的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。20復(fù)合泊松過程定義：設(shè)N(t),t0是強(qiáng)度為的泊松過程，Yk,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與N(t),t0獨(dú)立，令則稱X(t),t0為復(fù)合泊松過程。N(t)YkX(t)在時(shí)間段(0,t內(nèi)來到商店的顧客數(shù)第k個(gè)顧客在商店所花的錢數(shù)該商店

8、在(0,t時(shí)間段內(nèi)的營業(yè)額21定理設(shè) 是復(fù)合泊松過程，則 X(t), t0是獨(dú)立增量過程； X(t)的特征函數(shù) ，其中 是隨機(jī)變量Y1的特征函數(shù)，是時(shí)間的到達(dá)率； 若E(Y12)，則例題：結(jié)巴（stuttering）泊松過程對(duì)于一個(gè)復(fù)合泊松過程，如果Yn服從幾何分布：23泊松過程的分解例題設(shè)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客組成強(qiáng)度為的泊松過程，每個(gè)顧客購買商品的概率為p，且與其他顧客是否購買商品無關(guān)，若X( t )，t0為購買商品的顧客數(shù)，證明X( t )，t0是強(qiáng)度為p的泊松過程。泊松過程的分解：強(qiáng)度為的泊松過程，事件A在時(shí)刻s到達(dá)，則此到達(dá)可分解成概率為P(s)的type-1到達(dá)和概率為1- P(s) 的type-2到達(dá)，用Ni ( t ) ，t0，i=1,2，表示type-i在時(shí)間(0,t的達(dá)到次數(shù)，則有24泊松過程的分解可推廣到n個(gè)類型，用Pi(s)表示type-i在時(shí)刻s達(dá)到的概率，定義：則Ni ( t ) ，t0為參數(shù)pi的泊松分布，且Ni ( t )相互獨(dú)立例：某沙灘汽車的到達(dá)服從指數(shù)為的泊松過程，汽車在沙灘的逗留時(shí)間分布為G(s)，假定各汽