理論力學A課本習題答案：理論力學(謝傳峰)_部分習題答案

1、PAGE 靜力學部分1-3 試畫出圖示各結構中構件AB的受力圖FAxFA yFB(a)(a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy1-4 試畫出兩結構中構件ABCD的受力圖FAxFA yFDFByFAFBxFBFANFBFDFANFAFBFD1-5 試畫出圖a和b所示剛體系整體合格構件的受力圖1-5aFAxFA yFDxFDyWTEFCxFC yWFAxFA yFBxFB yFCxFC yFDxFDyFBxFByTE1-5b 1-8在四連桿機構的ABCD的鉸鏈B和C上分別作用有力F1和F2，機構在圖示位置平衡。試求二力F1和F2之間的關系。解：桿AB，BC，CD為二力桿，受力

2、方向分別沿著各桿端點連線的方向。解法1(解析法)假設各桿受壓，分別選取銷釘B和C為研究對象，受力如圖所示：由共點力系平衡方程，對B點有： 對C點有： 解以上二個方程可得：F2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy解法2(幾何法)分別選取銷釘B和C為研究對象，根據匯交力系平衡條件，作用在B和C點上的力構成封閉的力多邊形，如圖所示。FABFBCFCD60oF130oF2FBC45o對B點由幾何關系可知：對C點由幾何關系可知： 解以上兩式可得：2-3 在圖示結構中，二曲桿重不計，曲桿AB上作用有主動力偶M。試求A和C點處的約束力。解：BC為二力桿(受力如圖所示)，故曲桿AB在B點

3、處受到約束力的方向沿BC兩點連線的方向。曲桿AB受到主動力偶M的作用，A點和B點處的約束力必須構成一個力偶才能使曲桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體的平衡方程有（設力偶逆時針為正）：FBFCFBFA 其中：。對BC桿有： 。A，C兩點約束力的方向如圖所示。 2-4四連桿機構在圖示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M21Nm。試求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。各桿重量不計。FAFOOFAFBFBFCC解：機構中AB桿為二力桿，點A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件，點O,C處的約束力方向也可確定，各桿的

4、受力如圖所示。對BC桿有： 對AB桿有：對OA桿有： 求解以上三式可得：， ，方向如圖所示。xyFRMAFRdxFRMAFRdy2-6等邊三角形板ABC,邊長為a，今沿其邊作用大小均為F的力，方向如圖a,b所示。試分別求其最簡簡化結果。 解：2-6a坐標如圖所示，各力可表示為:， 先將力系向A點簡化得（紅色的）：，方向如左圖所示。由于，可進一步簡化為一個不過A點的力(綠色的)，主矢不變，其作用線距A點的距離，位置如左圖所示。2-6b同理如右圖所示，可將該力系簡化為一個不過A點的力（綠色的），主矢為：其作用線距A點的距離，位置如右圖所示。簡化中心的選取不同，是否影響最后的簡化結果？2-13圖示梁

5、AB一端砌入墻內，在自由端裝有滑輪，用以勻速吊起重物D。設重物重為P, AB長為l，斜繩與鉛垂方向成角。試求固定端的約束力。法1PBFBxFByP整個結構處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程（坐標一般以水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時針為正）：選梁AB為研究對象，受力如圖，列平衡方程：MAFBxFByFAxFA y 求解以上五個方程，可得五個未知量分別為：（與圖示方向相反）MAPFAxFA yP（與圖示方向相同） （逆時針方向）法2設滑輪半徑為R。選擇梁和滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程： 求解以上三個方程，可得分別為： （與圖示方向相反） （與圖示方向

6、相同） （逆時針方向）2-18均質桿AB重G，長l ，放在寬度為a的光滑槽內，桿的B端作用著鉛垂向下的力F，如圖所示。試求桿平衡時對水平面的傾角。解：ANANDD選AB桿為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 求解以上兩個方程即可求得兩個未知量，其中：未知量不一定是力。2-27如圖所示，已知桿AB長為l，重為P，A端用一球鉸固定于地面上，B端用繩索CB拉住正好靠在光滑的墻上。圖中平面AOB與Oyz夾角為，繩與軸Ox的平行線夾角為，已知。試求繩子的拉力及墻的約束力。解：選桿AB為研究對象，受力如下圖所示。列平衡方程： 由和可求出。平衡方程可用來校核。思考題：對該剛體獨立的平衡方程數目是幾個？2-

7、29圖示正方形平板由六根不計重量的桿支撐，連接處皆為鉸鏈。已知力作用在平面BDEH內，并與對角線BD成角，OA=AD。試求各支撐桿所受的力。解：桿1，2，3，4，5，6均為二力桿，受力方向沿兩端點連線方向，假設各桿均受壓。選板ABCD為研究對象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程： (受拉) (受壓) (受壓) (受拉) 本題也可以采用空間任意力系標準式平衡方程，但求解代數方程組非常麻煩。類似本題的情況采用六矩式方程比較方便，適當的選擇六根軸保證一個方程求解一個未知量，避免求解聯立方程。2-31如圖所示，欲轉動一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩。已知棒料重，直徑。試

8、求棒料與V形槽之間的靜摩擦因數。解：取棒料為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:補充方程：五個方程，五個未知量，可得方程：解得。當時有：即棒料左側脫離V型槽，與題意不符，故摩擦系數。 2-33均質桿AB長40cm，其中A端靠在粗糙的鉛直墻上，并用繩子CD保持平衡，如圖所示。設，平衡時角的最小值為。試求均質桿與墻之間的靜摩擦因數。解：當時，取桿AB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：附加方程：四個方程，四個未知量，可求得。2-35在粗糙的斜面上放著一個均質棱柱體，A，B為支點，如圖所示。若，A和B于斜面間的靜摩擦因數分別為和，試求物體平衡時斜面與水平面所形成的最大傾角。解：選棱柱體為研究對象，

9、受力如圖所示。假設棱柱邊長為a，重為P，列平衡方程 如果棱柱不滑動，則滿足補充方程時處于極限平衡狀態(tài)。解以上五個方程，可求解五個未知量，其中：(1)當物體不翻倒時，則：(2)即斜面傾角必須同時滿足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。3-10 AB,AC和DE三桿連接如圖所示。桿DE上有一插銷H套在桿AC的導槽內。試求在水平桿DE的一端有一鉛垂力作用時，桿AB所受的力。設，桿重不計。FCxFCyFBxFBy解：假設桿AB，DE長為2a。取整體為研究對象，受力如右圖所示，列平衡方程： 取桿DE為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：FDxFDyFHy 取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：

10、 (與假設方向相反)FBxFByFDyFDxFAxFAy(與假設方向相反)(與假設方向相反)3-12和四桿連接如圖所示。在水平桿AB上作用有鉛垂向下的力。接觸面和各鉸鏈均為光滑的，桿重不計，試求證不論力的位置如何，桿AC總是受到大小等于的壓力。FCxFCyFD解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 桿AB為二力桿，假設其受壓。取桿AB和AD構成的組合體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 解得，命題得證。FABxFExFACFBFEyFBFABy注意：銷釘A和C聯接三個物體。3-14兩塊相同的長方板由鉸鏈C彼此相連接，且由鉸鏈A及B固

11、定，如圖所示，在每一平板內都作用一力偶矩為的力偶。如，忽略板重，試求鉸鏈支座A及B的約束力。FAFB解：取整體為研究對象，由于平衡條件可知該力系對任一點之矩為零，因此有：即必過A點，同理可得必過B點。也就是和是大小相等，方向相反且共線的一對力，如圖所示。取板AC為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：FCxFCy解得：(方向如圖所示)3-20如圖所示結構由橫梁和三根支承桿組成，載荷及尺寸如圖所示。試求A處的約束力及桿1，2，3所受的力。解：FBxFByF3支撐桿1，2，3為二力桿，假設各桿均受壓。選梁BC為研究對象，受力如圖所示。其中均布載荷可以向梁的中點簡化為一個集中力，大小為2qa，作用在B

12、C桿中點。列平衡方程：(受壓)選支撐桿銷釘D為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程：DF3F2F1xy (受壓) (受拉)FAxFAyF3F2MA選梁AB和BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：(與假設方向相反) (逆時針)FAxFAyFBxFBy3-21二層三鉸拱由和四部分組成，彼此間用鉸鏈連接，所受載荷如圖所示。試求支座的約束力。解：選整體為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程： (1)FEFG由題可知桿DG為二力桿，選GE為研究對象，作用于其上的力匯交于點G，受力如圖所示，畫出力的三角形，由幾何關系可得： FEFGF。取CEB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：FCyFCxFEFB

13、yFBx 代入公式(1)可得：PFAxFAyN1N2N1T3-24均質桿AB可繞水平軸A轉動，并擱在半徑為的光滑圓柱上，圓柱放在光滑的水平面上，用不可伸長的繩子AC拉在銷釘A上，桿重16N，。試求繩的拉力和桿AB對銷釘A的作用力。解：取桿AB為研究對象，設桿重為P，受力如圖所示。列平衡方程： 取圓柱C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的A處的約束力不是桿AB對銷釘的作用力。3-27均質桿AB和BC完全相同，A和B為鉸鏈連接，C端靠在粗糙的墻上，如圖所示。設靜摩擦因數。試求平衡時角的范圍。解：取整體為研究對象，設桿長為L，重為P，受力如圖

14、所示。列平衡方程： (1)取桿BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (2)FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP 補充方程：，將(1)式和(2)式代入有：，即。3-30如圖所示機構中，已知兩輪半徑量，各重，桿AC和BC重量不計。輪與地面間的靜摩擦因數，滾動摩擦系數。今在BC桿中點加一垂直力。試求：平衡時的最大值；當時，兩輪在D和E點所受到的滑動摩擦力和滾動摩擦力偶矩。解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：FNDFNEFSDFSEMEMDFBFAC由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動力，以及B和C處的約束力和，由三力平衡匯交，可確定約束力和的方向如圖所示，其

15、中：，桿AC受壓。取輪A為研究對象，受力如圖所示，設的作用線與水平面交于F點，列平衡方程：FACFNDFSDMDF取輪B為研究對象，受力如圖所示，設的作用線與水平面交于G點，列平衡方程：解以上六個方程，可得：， ，FNEFSEMEFBG， 若結構保持平衡，則必須同時滿足：，即：，因此平衡時的最大值，此時：， 3-35試用簡捷的方法計算圖中所示桁架1，2，3桿的內力。解：由圖可見桿桁架結構中桿CF，FG，EH為零力桿。用剖面SS將該結構分為兩部分，取上面部分為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： F2F3F1SFGFHS (受拉) (受拉)(受壓)3-38如圖所示桁架中，ABCDEG為正八角形的

16、一半，各桿相交但不連接。試求桿BC的內力。解：假設各桿均受壓。取三角形BCG為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：FGFEGFCDFAB(受壓)取節(jié)點C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：CFBCFCDFCG其中：，解以上兩個方程可得：(受壓)3-40試求圖中所示桁架中桿1和2的內力。解：取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：ABC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2用截面S-S將桁架結構分為兩部分，假設各桿件受拉，取右邊部分為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：(受拉)(受拉)4-1力鉛垂地作用于桿AO上,。在圖示位置上杠桿水平，桿DC與DE垂直。試求物體M所受的擠壓力的大

17、小。解：1.選定由桿OA，O1C，DE組成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動力為。2.該系統(tǒng)的位置可通過桿OA與水平方向的夾角完全確定，有一個自由度。選參數為廣義坐標。3.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿OA有一個微小的轉角，相應的各點的虛位移如下：rArCrBrDrE，代入可得：4.由虛位移原理有：對任意有：，物體所受的擠壓力的方向豎直向下。4-4如圖所示長為l的均質桿AB，其A端連有套筒，又可沿鉛垂桿滑動。忽略摩擦及套筒重量，試求圖示兩種情況平衡時的角度。解：4a1.選桿AB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。2.該系統(tǒng)的位置可

18、通過桿AB與z軸的夾角完全確定，有一個自由度。選參數為廣義坐標。由幾何關系可知：桿的質心坐標可表示為：3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB逆時針旋轉一個微小的角度，則質心C的虛位移：4.由虛位移原理有： 對任意有： 即桿AB平衡時： 。解：4b1.選桿AB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。2.該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角完全確定，有一個自由度。選參數為廣義坐標。由幾何關系可知：桿的質心坐標可表示為：3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB順時針旋轉一個微小的角度，則質心C的虛位移：4.由虛位移原理有： 對任意有： 即平衡時角滿足：。4

19、-5被抬起的簡化臺式打字機如圖所示。打字機和擱板重P，彈簧原長為，試求系統(tǒng)在角保持平衡時的彈簧剛度系數值。解：1.選整個系統(tǒng)為研究對象，此系統(tǒng)包含彈簧。設彈簧力，且，將彈簧力視為主動力。此時作用在系統(tǒng)上的主動力有，以及重力。2. 該系統(tǒng)只有一個自由度，選定為廣義坐標。由幾何關系可知：3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個微小的虛位移，則質心的虛位移為：彈簧的長度，在微小虛位移下：4.由虛位移原理有：其中，代入上式整理可得： 由于，對任意可得平衡時彈簧剛度系數為：4-6復合梁AD的一端砌入墻內，B點為活動鉸鏈支座，C點為鉸鏈，作用于梁上的力，以及力偶矩為的力偶，如圖所示。試求固定端A處的

20、約束力。解：解除A端的約束，代之以，并將其視為主動力，此外系統(tǒng)還受到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定A點的位移和梁AC的轉角為廣義坐標。1在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有：對任意可得：2在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如下圖所示。由虛位移原理有： (1)由幾何關系可得各點的虛位移如下：代入(1)式：對任意可得：，方向如圖所示。3在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如上圖所示。由虛位移原理有：(2)有幾何關系可得各點的虛位移如下：代入(2)式：對任意可得：，逆時針方向。4-7圖示結構上的載荷如下：；力；力，其方向與水平成角；以及力偶，其力偶矩為。試求支座處的約

21、束力。解：將均布載荷簡化為作用在CD中點的集中載荷，大小為。1.求支座B處的約束力解除B點處的約束，代之以力，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動，梁CDB只能繞C點轉動。系統(tǒng)有一個自由度，選轉角為廣義坐標。給定虛位移，由虛位移原理有： (1)各點的虛位移如下：代入(1)式整理可得：對任意可得：，方向如圖所示。2.求固定端A處的約束力解除A端的約束，代之以，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定A點的位移和梁AC的轉角為廣義坐標。2a.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時整個結構平移，如上圖所示。由虛位移原理有：

22、(2)各點的虛位移如下：代入(2)式整理可得：對任意可得：，方向如圖所示。2b.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時梁AC向上平移，梁CDB繞D點轉動，如上圖所示。由虛位移原理有： (3)各點的虛位移如下：代入(3)式整理可得：對任意可得：，方向如圖所示。2c.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時梁AC繞A點轉動，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理有： (4)各點的虛位移如下：代入(4)式整理可得：對任意可得：，順時針方向。4-8設桁架有水平力及鉛垂力作用其上，且，。試求桿1，2和3所受的力。解：假設各桿受拉，桿長均為a。1求桿1受力去掉桿1，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選AK

23、與水平方向的夾角為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時三角形ADK形狀不變，繞A點轉動，因此有，且：滑動支座B處只允許水平方向的位移，而桿BK上K點虛位移沿鉛垂方向，故B點不動。三角形BEK繞B點旋轉，且：對剛性桿CD和桿CE，由于，因此。由虛位移原理有： 代入各點的虛位移整理可得：對任意可得：（受壓）。2求桿2受力去掉桿2，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選BK與水平方向的夾角為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿AK繞A點轉動，因此有，且：同理可知B點不動，三角形BEK繞B點旋轉，且：桿AD繞A點轉動，由剛性桿DE上點E的虛位移可確定D點位移方

24、向如圖所示，且：同理可知。由虛位移原理有： 代入各點的虛位移整理可得：對任意可得：（受壓）。3求桿3受力去掉桿3，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選AK與水平方向的夾角為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，三角形ADK繞A點轉動，且：同理可知B點不動，且：由虛位移原理有： 代入各點的虛位移整理可得：對任意可得：（受拉）。4-12桿長2b，重量不計，其一端作用鉛垂常力，另一端在水平滑道上運動，中點連接彈簧，如圖所示。彈簧剛度系數為k，當時為原長。不計滑塊的重量和摩擦，試求平衡位置，討論此平衡位置的穩(wěn)定性。解：F大小和方向不變，常力也是有勢力。取桿和彈簧構成的系統(tǒng)為研究對象。該系

25、統(tǒng)為保守系統(tǒng)，有一個自由度，選為廣義坐標，如圖所示。取為零勢能位置，則系統(tǒng)在任意位置的勢能為：由平衡條件可得：有：和即：和也就是：和兩個平衡位置。為判斷平衡的穩(wěn)定性，取勢能V的二階導數：當時，即時是不穩(wěn)定平衡。當時，由上式可知：當且時，即是穩(wěn)定平衡位置；當且時，即是不穩(wěn)定平衡位置。4-15半徑為的半圓住在另一半徑為的半圓柱上保持平衡，如圖所示。試討論對無滑動的滾動擾動的穩(wěn)定性。解：取半徑為r的半圓柱為研究對象，圓心為C。半圓柱作純滾動，有一個自由度，取兩個半圓心連線與y軸夾角為廣義坐標。作用在半圓柱上的主動力為重力，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，如圖所示，其中。由于半圓柱作純滾動，有：（1）取坐標原點為零勢

26、能位置，則半圓柱在任意位置的勢能為：代入（1）式有：由平衡條件可得為平衡位置。勢能V的二階導數：由上式可得當，是穩(wěn)定的。動力學部分13解：運動方程：，其中。將運動方程對時間求導并將代入得 16證明：質點做曲線運動，xyo所以質點的加速度為：,設質點的速度為，由圖可知:，所以: 將，代入上式可得 yzox17證明：因為，所以：110解：設初始時,繩索AB的長度為,時刻時的長度y為,則有關系式：，并且 將上面兩式對時間求導得：，由此解得： （a）(a)式可寫成：，將該式對時間求導得： (b)將(a)式代入(b)式可得：（負號說明滑塊A的加速度向上）取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據質點矢量形式

27、的運動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：其中：將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得：AOAOBR111解：設B點是繩子AB與圓盤的切點，由于繩子相對圓盤無滑動，所以，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點的速度在 A、B兩點連線上的投影相等，即： （a）因為 （b）將上式代入（a）式得到A點速度的大小為： （c）由于，（c）式可寫成：，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對時間求導可得：將上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 AOBR取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據質點矢量形式的運動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標形

28、式的運動微分方程：其中：, 將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得113解：動點：套筒A；動系：OC桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：直線運動；相對運動：直線運動； 牽連運動：定軸轉動。根據速度合成定理 有：，因為AB桿平動，所以，由此可得：，OC桿的角速度為，所以 當時，OC桿上C點速度的大小為： x115解：動點：銷子M動系1：圓盤動系2：OA桿定系：機座；運動分析：絕對運動：曲線運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉動根據速度合成定理有， 由于動點M的絕對速度與動系的選取無關，即，由上兩式可得： (a)將（a）式在向在x軸投影,可得：由此解得：117解：動點：圓盤上的C點；動系：O1A

29、桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動；相對運動：直線運動（平行于O1A桿）；牽連運動：定軸轉動。根據速度合成定理有 （a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得：，根據加速度合成定理有 （b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM彎桿平移，所以有 ?。簞狱c：滑塊M；動系：OC搖桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉動。根據速度合成定理 可求得：，根據加速度合成定理 將上式沿方向投影可得：由于，根據上式可得：MOAB， 1-20 解：取小環(huán)M為動點，OAB桿為動系運動分析絕對運動：直線

30、運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉動。由運動分析可知點的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示，其中：根據速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如圖所示，其中：，根據加速度合成定理：將上式在軸上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。?。簞狱c：汽車B；動系：汽車A（Oxy）；定系：路面。運動分析絕對運動：圓周運動；相對運動：圓周運動；牽連運動：定軸轉動（汽車A繞O做定軸轉動）求相對速度，根據速度合成定理 將上式沿絕對速度方向投影可得： y因此 其中：，由此可得：xO求相對加速度，由于相對運動為圓周運動，相對速度的大

31、小為常值，因此有：1-23 質量為銷釘M由水平槽帶動，使其在半徑為的固定圓槽內運動。設水平槽以勻速向上運動，不計摩擦。求圖示瞬時，圓槽作用在銷釘M上的約束力。MOMO 解：銷釘M上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示）。由于銷釘M的運動是給定的，所以先求銷釘的加速度，在利用質點運動微分方程求約束力。取銷釘為動點，水平槽為動系。由運動分析可知銷釘的速度圖如圖所示。MOMO根據速度合成定理有 由此可求出： 。再根據加速度合成定理有：由于絕對運動是圓周運動，牽連運動是勻速直線平移，所以，并且上式可寫成：因為 ，所以根據上式可求出: 。根據矢量形式的質點運動微分方程有：將該式分別在水平軸上投影

32、： 由此求出：1-24 圖示所示吊車下掛一重物M，繩索長為，初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角的關系式。M解：由于要求重物相對吊車的速度，所以取吊車為動系，重物M為動點。根據質點相對運動微分方程有將上式在切向量方向投影有因為，所以上式可寫成整理上式可得將上式積分：其中為積分常數（由初始條件確定），因為相對速度，上式可寫成初始時，系統(tǒng)靜止，根據速度合成定理可知，由此確定。重物相對速度與擺角的關系式為：RRoFORRoO1-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉動，小球M可在板內一光滑槽中運動（如圖7-8），初始時小球相對靜止且到轉軸O的距離為，

33、求小球到轉軸的距離為時的相對速度。解：取小球為動點，板為動系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出）。根據質點相對運動微分方程有：將上式在上投影有 因為，所以上式可寫成整理該式可得： 將該式積分有： 初始時,由此確定積分常數，因此得到相對速度為1-27 重為P的小環(huán)M套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉動，如圖所示。試求小環(huán)M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。MM解：取小環(huán)為動點，金屬絲為動系，根據題意，相對平衡位置為，因為金屬絲為曲線，所以，因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據質點相對

34、運動微分方程有：其中：，將上式分別在軸上投影有 （a）以為，,因此 （b）由（a）式可得 （c）將和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x2-1 解：當摩擦系數足夠大時，平臺AB相對地面無滑動，此時摩擦力取整體為研究對象，受力如圖，系統(tǒng)的動量：將其在軸上投影可得：根據動量定理有： 即：當摩擦系數時，平臺AB的加速度為零。當摩擦系數時，平臺AB將向左滑動，此時系統(tǒng)的動量為：將上式在軸投影有：根據動量定理有：由此解得平臺的加速度為：（方向向左）2-2 取彈簧未變形時滑塊A的位置為x坐標原點，取整體為研究對象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為

35、：x將上式在x軸投影：根據動量定理有：系統(tǒng)的運動微分方程為：24 取提起部分為研究對象，受力如圖(a)所示，提起部分的質量為，提起部分的速度為，根據點的復合運動可知質點并入的相對速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。y (a) (b)根據變質量質點動力學方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對象，由于地面上的物體沒有運動，并起與提起部分沒有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：x25 將船視為變質量質點，取其為研究對象，受力如圖。根據變質量質點動力學方程有：船的質量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應用分離變量法

36、可求得由初始條件確定積分常數：，并代入上式可得：圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉動，板對轉軸的轉動慣量為，質量為的質點沿半徑為的圓周運動，其相對方oM板的速度大小為（常量）。圓盤中心到轉軸的距離為。質點在方板上的位置由確定。初始時，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關系。 圖a 圖 b解：取方板和質點為研究對象，作用在研究對象上的外力對轉軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒。下面分別計算方板和質點對轉軸的動量矩。設方板對轉軸的動量矩為，其角速度為，于是有設質點M對轉軸的動量矩為，取方板為動系，質點M為動點，其牽連速度和相對速度分別為。相對速度沿相對軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線

37、。質點M相對慣性參考系的絕對速度。它對轉軸的動量矩為其中：系統(tǒng)對z軸的動量矩為。初始時，此時系統(tǒng)對z軸的動量矩為當系統(tǒng)運動到圖8-12位置時，系統(tǒng)對z軸的動量矩為由于系統(tǒng)對轉軸的動量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可計算出方板的角速度為211 取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖（鏈條重力未畫），設圓盤的角速度為，則系統(tǒng)對O軸的動量矩為：根據動量矩定理有：P整理上式可得： 由運動學關系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為：根據初始條件：可以確定積分常數，于是方程的解為：系統(tǒng)的動量在x軸上的投影為系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：根據動量定理：由上式解得：，214 取

38、整體為研究對象，系統(tǒng)的動能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的A點相對楔塊C的速度，則根據復合運動速度合成定理可知：，因此系統(tǒng)的動能可表示為：，系統(tǒng)在運動過程中，AB桿的重力作功。根據動能定理的微分形式有：，系統(tǒng)的動力學方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 質量為的均質物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質量為光滑小球可在槽內運動，初始時，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運動到B處時相對物塊的速度、物塊的速度、槽對小球的約束力和地面對物塊的約束力。 圖A 圖B解：取小球和物塊為研究對象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力，水平方向無外

39、力，因此系統(tǒng)的機械能守恒，水平動量守恒。設小球為動點，物塊為動系，設小球相對物塊的速度為，物塊的速度為，則系統(tǒng)的動能為設為勢能零點，則系統(tǒng)的勢能為根據機械能守恒定理和初始條件有，即 (1)系統(tǒng)水平方向的動量為： (2)根據系統(tǒng)水平動量守恒和初始條件由(2)式有由此求出，將這個結果代入上面的機械能守恒式(1)中,且最后求得：下面求作用在小球上的約束力和地面對物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對象，受力如圖C，D所示。設小球的相對物塊的加速度為，物塊的加速度為，對于小球有動力學方程 （a）ABAB 圖C 圖 D對于物塊，由于它是平移，根據質心運動動力學方程有 （b）將方程（a）在小球相對運動軌跡

40、的法線方向投影，可得其中相對加速度為已知量，。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得令，聯立求解三個投影方程可求出218 取小球為研究對象，兩個小球對稱下滑，設圓環(huán)的半徑為R。每個小球應用動能定理有： （a）將上式對時間求導并簡化可得： (b )每個小球的加速度為取圓環(huán)與兩個小球為研究對象，應用質心運動定理將上式在y軸上投影可得：將(a),(b)兩式代入上式化簡后得時對應的值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時上式可表示成上述方程的解為：圓環(huán)脫離地面時的值為而也是方程的解，但是時圓環(huán)已脫離地面，因此不是圓環(huán)脫離地面時的值。219 取圓柱、細管和小球為研究對象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用

41、線通過鉛垂軸。根據受力分析可知：系統(tǒng)對鉛垂軸的動量矩守恒。設小球相對圓柱的速度為，牽連速度為，由系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒，有：z其中：，則上式可表示成：由此解得：其中：，根據動能定理積分式，有：其中：，將其代入動能定理的積分式，可得：將代入上式，可求得：則： 由可求得：220 取鏈條為研究對象，設鏈條單位長度的質量為應用動量矩定理，鏈條對O軸的動量矩為：外力對O軸的矩為：因為：，所以上式可表示成：積分上式可得：由初始條件確定積分常數，最后得：33 取套筒B為動點，OA桿為動系根據點的復合運動速度合成定理可得：，研究AD桿，應用速度投影定理有：，再取套筒D為動點，BC桿為動系，根據點的復合運動速度

42、合成定理將上式在x軸上投影有：，34 AB構件（灰色物體）作平面運動，已知A點的速度CAB的速度瞬心位于C，應用速度瞬心法有：，設OB桿的角速度為，則有設P點是AB構件上與齒輪I的接觸點，該點的速度： 齒輪I的角速度為：36 AB桿作平面運動，取A為基點根據基點法公式有：將上式在AB連線上投影，可得因此，因為B點作圓周運動，此時速度為零，因此只有切向加速度（方向如圖）。根據加速度基點法公式將上式在AB連線上投影，可得，（瞬時針）37 齒輪II作平面運動，取A為基點有 xy將上式在x 投影有：由此求得：再將基點法公式在y軸上投影有：，由此求得再研究齒輪II上的圓心，取A為基點將上式在y軸上投影有

43、，由此解得： 再將基點法公式在x軸上投影有：由此解得：，又因為由此可得：39 卷筒作平面運動，C為速度瞬心，其上D點的速度為，卷筒的角速度為：角加速度為：卷筒O點的速度為：O點作直線運動，其加速度為： OCB研究卷筒，取O為基點，求B點的加速度。將其分別在x,y軸上投影同理，取O為基點，求C點的加速度。將其分別在x,y軸上投影 P310 圖示瞬時，AB桿瞬時平移，因此有：AB桿的角速度：圓盤作平面運動，速度瞬心在P點，圓盤的的角速度為：圓盤上C點的速度為：AB桿上的A、B兩點均作圓周運動，取A為基點根據基點法公式有將上式在x軸上投影可得：因此：由于任意瞬時，圓盤的角速度均為：將其對時間求導有：

44、，由于，所以圓盤的角加速度。 BC圓盤作平面運動，取B為基點，根據基點法公式有：P313 滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度和加速度。AB桿作平面運動，其速度瞬心為P，AB桿的角速度為：桿上C點的速度為：取AB桿為動系，套筒C為動點，根據點的復合運動速度合成定理有：其中：，根據幾何關系可求得：AB桿作平面運動，其A點加速度為零，B點加速度鉛垂，由加速度基點法公式可知由該式可求得由于A點的加速度為零，AB桿上各點加速度的分布如同定軸轉動的加速度分布，AB桿中點的加速度為：再取AB桿為動系，套筒C為動點，根據復合運動加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點的加速度

45、，即：將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圓盤中心為動點，半圓盤為動系，動點的絕對運動為直線運動；相對運動為圓周運動；牽連運動為直線平移。由速度合成定理有： OAB圖 A速度圖如圖A所示。由于動系平移，所以，根據速度合成定理可求出：由于圓盤O1 在半圓盤上純滾動，圓盤O1相對半圓盤的角速度為： 由于半圓盤是平移，所以圓盤的角速度就是其相對半圓盤的角速度。再研究圓盤，取為基點根據基點法公式有：OAB圖 B為求B點的加速度，先求點的加速度和圓盤的角加速度。取圓盤中心為動點，半圓盤為動系，根據加速度合成定理有圖 C （a）其加速度圖如圖C所示，O將公式（a）在

46、和軸上投影可得：由此求出：，圓盤的角加速度為：下面求圓盤上B點的加速度。取圓盤為研究對象，為基點，應用基點法公式有： （b）OB圖 D將（b）式分別在軸上投影： 其中：，由此可得：315（b） 取BC桿為動系（瞬時平移），套筒A為動點（勻速圓周運動）。根據速度合成定理有：由上式可解得：因為BC桿瞬時平移，所以有：Pyx315（d） 取BC桿為動系（平面運動），套筒A為動點（勻速圓周運動）。BC桿作平面運動，其速度瞬心為P，設其角速度為根據速度合成定理有：根據幾何關系可求出：將速度合成定理公式在x,y軸上投影:由此解得:DC桿的速度3-16(b) BC桿作平面運動,根據基點法有:由于BC桿瞬時平

47、移,上式可表示成:將上式在鉛垂軸上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC桿為動系（平面運動），套筒A為動點（勻速圓周運動）。 (a)y其中:為科氏加速度,因為,所以動點的牽連加速度為: 由于動系瞬時平移,所以,牽連加速度為, 則(a)式可以表示成將上式在y軸上投影:由此求得: yx316(d) 取BC桿為動系，套筒A為動點，動點A的牽連加速度為動點的絕對加速度為其中為動點A的科氏加速度。將上式在y軸上投影有上式可寫成 (a)其中：（見315d）為BC桿的角加速度。再取BC桿上的C點為動點，套筒為動系，由加速度合成定理有yx其中，上式可表示為將上式在y軸投影有：該式可表示成： （b）聯立求解(a

48、),(b)可得POR317 AB桿作平面運動，其速度瞬心位于P，可以證明：任意瞬時，速度瞬心P均在以O為圓心，R為半徑的圓周上，并且A、O、P在同一直徑上。由此可得AB桿任何時刻的角速度均為 桿上B點的速度為：AB桿的角加速度為：ORxy取A為基點，根據基點法有將上式分別在x,y軸上投影有xy318 取DC桿上的C點為動點，構件AB為動系根據幾何關系可求得：再取DC桿上的D點為動點，構件AB為動系由于BD桿相對動系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影可得xy求加速度：研究C點有將上式在y軸投影有由此求得再研究D點由于BD桿相對動系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影有321 由于圓盤純滾動，所

49、以有根據質心運動定理有：根據相對質心的動量矩定理有求解上式可得：，若圓盤無滑動，摩擦力應滿足，由此可得：當：時，322 研究AB桿，BD繩剪斷后，其受力如圖所示，由于水平方向沒有力的作用，根據質心運動定理可知AB桿質心C的加速度鉛垂。由質心運動定理有：根據相對質心的動量矩定理有：剛體AB作平面運動，運動初始時，角速度為零。PA點的加速度水平，AB桿的加速度瞬心位于P點。有運動關系式求解以上三式可求得：325 設板和圓盤中心O的加速度分別為AR，圓盤的角加速度為，圓盤上與板的接觸點為A，則A點的加速度為將上式在水平方向投影有 （a）取圓盤為研究對象，受力如圖，應用質心運動定理有 (b)應用相對質

50、心動量矩定理有 (c)再取板為研究對象，受力如圖，應用質心運動定理有 (d ) 作用在板上的滑動摩擦力為： (e)由(a) (b) (c) (d) (e)聯立可解得：329 解：由于系統(tǒng)在運動過程中，只有AB桿的重力作功，因此應用動能定理，可求出有關的速度和加速度。系統(tǒng)運動到一般位置時，其動能為AB桿的動能與圓盤A的動能之和： P其中：因此系統(tǒng)的動能可以表示成：系統(tǒng)從位置運動到任意角位置， AB桿的重力所作的功為： 根據動能定理的積分形式 初始時系統(tǒng)靜止，所以，因此有將上式對時間求導可得：將上式中消去可得：根據初始條件，可求得初始瞬時AB桿的角加速度 ：因為，所以AB桿的角加速度為順時針。初始瞬時AB桿的角速度為零，此時AB桿的加速度瞬心在點，由此可求出AB桿上A點的加速度：C333 設碰撞后滑塊的速度、AB桿的角