（龍門亮劍全國版）高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（理）課件： 第八節(jié) 空間向量及其運算（B）

1、第八節(jié)空間向量及其運算(B)考綱點擊1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘2.了解空間向量的基本定理3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)熱點提示以選擇題或填空題考查用向量法解決立體幾何問題的能力.1空間向量及其加減與數(shù)乘運算在空間，具有_的量叫做向量_的有向線段表示同一向量或相等的向量，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算是平面向量對應(yīng)運算的推廣空間向量的加減與數(shù)乘運算滿足如下運算律：加法交換律：ab_；加法結(jié)合律：(ab)c_；數(shù)乘分配律：(ab)_.大小和方向同向且等長baa(bc)ab2共線向量與共面向量如果表示向量的有向線段所在的直線_，則這些向量叫做共線向量或平行向量

2、_同一平面的向量叫做共面向量共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是_.共面向量定理：如果兩個向量a，b_，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使pxayb.互相平行或重合平行于不共線存在實數(shù)，使ab不共面 不共面 ab0 aa (ab) abac 1若a、b、c為空間的一個基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是()Aa，ab，abBb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b【解析】易知A、B、D中的三個向量共面【答案】C2若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc)B(ab)cacbcCm(ab)mam

3、bD(ab)ca(bc)【解析】(ab)c與c共線，而a(bc)與a共線，故(ab)ca(bc)不一定成立【答案】D【答案】A【答案】銳角三角形5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)且kab與2ab互相垂直，則k_.空間向量的線性運 【思路點撥】結(jié)合圖形，利用空間向量加減法及數(shù)乘運算法則和運算律即可用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形可從以下角度入手(1)要有基向量意識，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來(2)把要表示的向量標(biāo)在封閉圖形中，表示為其他向量的和差的形式，進而尋找這些向量與基向量的關(guān)系(3)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮用加法，否則考慮

4、用減法，如果此向量與一個易求的向量共線，可用數(shù)乘共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用 利用向量法證明平行與垂直問題 1.要用共線向量定理證明向量a，b所在的直線平行，除證明ab外，還需證明某條直線上必有一點在另一條直線外2利用空間向量證明線面平行，只要在平面內(nèi)找到一條直線的方向向量為b，已知直線的方向向量為a，證明ab即可3利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線上各取一個向量a，b，只要證明ab，即ab0即可4證明線面垂直：直線l，平面，要證l，只要在l上取一個非零向量p ，在內(nèi)取兩個不共線的向量a、b，問題轉(zhuǎn)化為證明pa且pb，也就是ap0且bp0.5證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)

5、化為證明線線平行，線線垂直空間兩向量平行與空間兩直線平行是不同的，直線平行是不允許重合的，而兩向量平行，它們所在的直線可以平行也可以重合(12分)如圖所示，空間四邊形 ABCD，連結(jié)對角線AC和BD，E、F分別是 BC、AD的中點，ABBCCDDAACBDa.(1)求證：EF是異面直線BC、AD的公垂線；(2)求異面直線BC、AD間的距離(3)求異面直線AE與CF所成角的余弦值用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對已表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？ 【答案】D2(2009年安徽)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,0,2)，B(1，3,1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是_【解析】設(shè)M(0，y,0)由|MA|MB|得(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得y1.M(0，1,0)【答案】(0，1,0)4深刻理解立體幾何中的向量方法，體會向量給研究幾何問題帶來的便利(1)求線段長度問題，可利用|a|2a2，將求模