數(shù)值計算方法：ch3-1 乘冪法及其變體

1、第三章 矩陣特征值與特征向量的計算3.1 乘冪法及其變體3.3 Jacobi旋轉(zhuǎn)法3.4 Housholder法23.1 乘冪法及其變體3.1.1 乘冪法3.1.2 反冪法3.1.3 乘冪法的加速3設A為n階方陣， 若有數(shù)使得則稱為A的特征值，x為相應于的特征向量。(3.1.1)4特征問題的求解包括求特征值，滿足求特征向量 滿足齊次方程組(3.1.2)(3.1.3)稱為A的特征多項式5特征值相關性質(zhì)設為的特征值，且，其中，則6矩陣特征值應用舉例78鏈入節(jié)點| 終點| 鏈出節(jié)點9103.1.1 乘冪法用于求大型稀疏矩陣的主特征值的迭代方法。其特點為公式簡單，易于在計算機上實現(xiàn)。11乘冪法的計算公

2、式設取初始向量令 由此可得向量序列(3.1.4)12 由(3.1.4)，有(3.1.5) 稱此方法為乘冪法 (3.1.4)或(3.1.5)稱為乘冪公式 稱為乘冪序列13定理3.1設 有完全特征向量系， 若1,2, ,n為A的n個特征值，滿足|1| |2| |n|對任何初始向量由乘冪公式所確定的迭代序列有下面的結(jié)論：14定理3.1(1) 當|1| |2|時，有 此極限過程的收斂速度取決于的程度。 r越小收斂越快。 r接近于1時，收斂很慢。且 （當k充分大時）可取作為相應于1的近似特征向量。15(2) 當|1| = |2| |3|時，有 若1= 2，則主特征值1及相應特征向量的求法同(1)。若1=

3、 2，則有 此極限過程的收斂速度取決于 的程度。 向量分別作為主特征值1，2相應的近似特征向量16 若 則 每迭代兩次合并為一步，如從 出發(fā)，按迭代公式(3.1.4)計算出 然后，通過解線性方程組近似確定p，q，再按公式17計算出主特征值1，2的近似值，此時收斂速度取決于 的程度并將向量分別取作相應于1，2的近似特征向量。18乘冪法可用于近似計算矩陣按模最大的一個（或幾個）特征值以及相應的特征向量當比值 時，收斂速度快計算公式簡便，便于在計算機上實現(xiàn)。19規(guī)范化的乘冪法公式令 表示向量x個分量絕對值最大者，即 如果有某個i0，使得則令 規(guī)范化的乘冪法公式20規(guī)范化的乘冪法取n維異于0的初始向量

4、x(0)一般地令x(0)滿足對于k=0,1,2,按下式迭代終止條件輸出結(jié)果21例題例3.1 用規(guī)范化乘冪法計算矩陣A的主特征值及相應的特征向量223.1.2 反冪法設A可逆，用來求A的絕對值最小的特征值及相應的特征向量。由 可知 即若 為矩陣A的特征值，則 必為矩陣 的特征值，且特征向量相同。23反冪法迭代公式(3.1.24) 由（3.1.24），可求出 的按模最大特 征值 ， 再取倒數(shù)即可得到矩陣A的按模最小特 征值 。24規(guī)范化的反冪法公式 系數(shù)矩陣A是不變的，可利用矩陣的三角分解 ALU25 在|1| |2| |n|0的情形，有(3.1.24) 且知 即為相應的近似特征向量，它們 的收斂

5、速度取決于 的大小。26反冪法求解步驟分解計算A=LU,保存L,U反冪迭代取n維異于0的初始向量x(0)對于k=0,1,2,按下式迭代終止條件輸出結(jié)果27例 用反冪法求 對應于計算特征值 的特征向量（用5位浮點數(shù)計算）( 精確特征值)283.1.3 乘冪法的加速-原點位移法引進參數(shù) ，用矩陣 來代替A進行乘冪迭代設 為矩陣B的特征值， 則B與A特征值之間應有關系式設 為矩陣A相應于 的特征向量， 則 也是 的特征向量。29對任何關于矩陣B的乘冪公式（3.1.5）可表示為30為加速收斂速度，應如此選擇參數(shù) ，使 達到最小。(3.1.29)31原點移位法是一個矩陣變換過程，變換簡單且不破壞原矩陣的稀疏性。但由于預先不知道特征值的分布，應用有困難。通常對特征值的分布有個大略估計設定一個參數(shù)值 進行試算，當所取 對迭代有明顯加速效應以后再進行計算。32例題例3.2 計算矩陣