數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知與感性經(jīng)驗(yàn)

1、數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知與感性經(jīng)驗(yàn)美國數(shù)學(xué)家柯朗和羅賓認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非??！薄?】數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯體系決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要“依靠學(xué)生的理性思維而達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)性理解?！薄?】然而，當(dāng)我們以兒童的視角去關(guān)照小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動時，會發(fā)現(xiàn)他們的思維是以具體形象為主的，這就帶來了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的直觀性，充滿了感性的色彩。楊慶余教授認(rèn)為：“兒童認(rèn)知數(shù)學(xué)的起點(diǎn)并不是科學(xué)的數(shù)學(xué)，而是他們在自己的生活實(shí)踐中形成的經(jīng)驗(yàn)。也就是說，兒童的數(shù)學(xué)活動是從觀察日?，F(xiàn)象開始，用特征歸納來進(jìn)行的?！薄?】綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)科的理性訴求和學(xué)生（特別

2、是小學(xué)生）認(rèn)知的感性方式之間似乎存在著矛盾。然而筆者卻認(rèn)為，這看似矛盾的兩者之間也存在著相互依存、相互促進(jìn)的關(guān)系，它們是一對矛盾統(tǒng)一體。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有正確理解和處理好學(xué)生認(rèn)知的“感性”和數(shù)學(xué)思維的“理性”這一對矛盾統(tǒng)一體的關(guān)系，才能幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)，形成深度的學(xué)習(xí)。一、“理性認(rèn)知”需要根植于“感性經(jīng)驗(yàn)”著名教育家陶行知先生有過一個精辟的比喻：“接知如接枝。”他說：“我們要有自己的經(jīng)驗(yàn)做根，以這經(jīng)驗(yàn)的形態(tài)所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識才成為我們知識的一個有機(jī)部分?！?曾經(jīng)有一個廣告也很形象地表達(dá)了這個觀點(diǎn)。廣告大意是：一個小女孩被一道一位數(shù)的減法難住了，結(jié)果

3、爸爸拿出了與被減數(shù)個數(shù)相同的果凍，讓這個小女孩一邊吃一邊做題，結(jié)果這個女孩順利地解決了問題。這是一個在現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)中確實(shí)存在的現(xiàn)象。這些都表明，有效的教學(xué)活動應(yīng)該是一個從學(xué)生已有的感性經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過觀察、交流、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理等一系列數(shù)學(xué)思維活動，促進(jìn)學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”，直至形成“理性認(rèn)知”的過程。換句話說，離開學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)做基礎(chǔ)，任何的理性認(rèn)知就會無處附著，既不可能牢固，也不能真正進(jìn)入理解狀態(tài)。作為一名數(shù)學(xué)教師，必須要準(zhǔn)確地分析學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，并巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)活動，激活學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上開展教學(xué)。（一）及時安排操作，激活生活經(jīng)驗(yàn)生活中處處有數(shù)學(xué)。學(xué)生在日常生活中潛移默化地積累

4、了一些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，雖然這些經(jīng)驗(yàn)還沒有轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，但是這種經(jīng)驗(yàn)對于學(xué)生深刻理解和掌握數(shù)學(xué)知識起著非常積極的基礎(chǔ)作用。譬如，學(xué)生雖然不能準(zhǔn)確說出長方體的特征，但是卻能憑借生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用直覺大致判斷哪些物體是長方體。學(xué)生能根據(jù)12根小棒（3組，每組4根）拼搭出長方體，但是卻不能自發(fā)地歸納出長方體棱的特征。這就表明，日常積累的生活經(jīng)驗(yàn)具有數(shù)學(xué)因素，是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，但它與數(shù)學(xué)知識是有距離的，不可能由此自發(fā)地形成數(shù)學(xué)知識，完成數(shù)學(xué)認(rèn)知的系統(tǒng)發(fā)展。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要激活學(xué)生已經(jīng)積累的日常生活經(jīng)驗(yàn)，以作為數(shù)學(xué)知識教學(xué)的基礎(chǔ)。例如，在長方體和正方體的認(rèn)識一課中，為了幫助學(xué)生探究長方體“相對的棱長

5、度相等”的特征，我們可以給學(xué)生提供四種顏色的小棒（相同顏色的小棒長度相同，不同顏色的小棒長度不同）和一些接頭，讓他們自主選擇小棒，拼搭成一個長方體模型。在學(xué)生成功地拼搭出長方體后，適時追問：為什么不選白色的小棒？（只有3根）黃色小棒有6根，為什么你只選4根？并且，教師故意將三根紅色小棒插在一個三維接頭上：“老師也在嘗試搭一個長方體，卻沒有搭成功，你能幫我分析一下是什么原因嗎？”要想成功地拼搭一個長方體，學(xué)生必須調(diào)動已有的對長方體的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，并運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行篩選、嘗試、調(diào)整、反思成功的拼搭過程，就是學(xué)生對長方體棱的本質(zhì)屬性通過操作逐步形成清晰表象的過程。而隨后的交流和討論過程，更加深了學(xué)生對棱的條

6、數(shù)、位置、長度等特征的深刻理解。(二)自覺正向遷移，激活直接經(jīng)驗(yàn)“為遷移而教”已經(jīng)成為一種教學(xué)共識。遷移分為正遷移和負(fù)遷移（即干擾）。教師在教學(xué)中利用正遷移完成教學(xué)的例子不勝枚舉。例如，在教學(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)時，可以先復(fù)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算，激活兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，然后將其中的兩位數(shù)變成三位數(shù)，再讓學(xué)生嘗試計(jì)算。學(xué)生就很自然地將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)順利地遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中。再如，在學(xué)生理解了一位小數(shù)表示十分之幾的基礎(chǔ)上，再教學(xué)兩位小數(shù)、三位小數(shù)的意義，學(xué)生就能自然將一位小數(shù)的意義進(jìn)行遷移，得出兩位小數(shù)表示百分之幾、三位小數(shù)表示千分之幾。這樣的遷移，就是借助原有認(rèn)知的基礎(chǔ)作用，形成認(rèn)知

7、過程的“順勢下滑”，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的順應(yīng)。（三）轉(zhuǎn)化負(fù)面遷移，激活思維經(jīng)驗(yàn)負(fù)遷移一般對新知教學(xué)起干擾作用，應(yīng)當(dāng)加以避免。但是，只要巧妙利用，有的時候利用負(fù)遷移也能轉(zhuǎn)化為正方向的教學(xué)效果。例如，認(rèn)識公頃的教學(xué)導(dǎo)入，大多數(shù)教師都采用“填面積單位”的方式，先分別讓學(xué)生填寫電話卡表面、數(shù)學(xué)書封面、教室占地的面積單位。接著出示“學(xué)校的占地面積是2（ ）”，這時總有一些學(xué)生會迅速喊出“平方千米”這個單位。這是學(xué)生根據(jù)已有知識正常遷移的結(jié)果，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“千米”這個長度單位，知道這個單位比其他幾個長度單位大，自然聯(lián)想到“平方千米”這個單位。此時，教師若采取回避或簡單否定的教學(xué)方法都是不可取的，應(yīng)該順勢利導(dǎo)：

8、大家憑著直覺推想到了一個新的面積單位平方千米，你認(rèn)為1平方千米有多大呢？我們的學(xué)校是個長方形，它的長和寬和1千米相比怎樣？在這里，我們利用“負(fù)遷移”既自然地引出新知公頃，又強(qiáng)化了類比推理、反思校正等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。二、“感性經(jīng)驗(yàn)”必須上升為“理性認(rèn)知”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是透過“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”研究“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的過程。以小學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和知識基礎(chǔ)，還不足以獨(dú)立完成這個認(rèn)知過程，需要教師的有效引導(dǎo)。教師要在學(xué)生的“感性經(jīng)驗(yàn)”與“理性認(rèn)知”之間搭建一個橋梁，引領(lǐng)他們通過不斷地嘗試、探索和反思，逐步感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，最終完成從“感性”到“理性”的認(rèn)知蛻變。（一）關(guān)注過程，凸顯理性本質(zhì)要實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，需要

9、做到三個關(guān)注：一是關(guān)注知識的生長、發(fā)展過程，二是關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的過程，三是關(guān)注知識的運(yùn)用過程。例如，兩步混合運(yùn)算一課，顯性的目標(biāo)是掌握先乘除后加減的運(yùn)算順序和遞等式的計(jì)算方法，但僅僅告訴學(xué)生運(yùn)算順序的規(guī)定是不夠的，學(xué)生往往對“為什么要先乘除”不能理解。對于“為什么要先乘除”，教師可以借助解決兩步計(jì)算的實(shí)際問題，幫助學(xué)生理解。教師可以展示將兩個分步式合并成一道綜合算式的過程。比如，38=24，24+36=60（或36+24=60）38+36（或36+38）。這樣的算式合并，不僅讓學(xué)生理解綜合算式的由來，也讓學(xué)生感悟到“24”和“38”的對等、替換關(guān)系，對先算“38”也就有了認(rèn)可。為了進(jìn)一步幫助

10、學(xué)生理解，教者還可以出示類似“8+3+3+3+3+3+3+3”的算式，讓學(xué)生計(jì)算，學(xué)生自然會把它轉(zhuǎn)化成“8+37”計(jì)算，通過轉(zhuǎn)化，學(xué)生對為什么要先算高一級的“乘法”會產(chǎn)生更深刻的感悟。（二）引導(dǎo)反思，強(qiáng)化理性思維教師在教學(xué)中，往往對如何解題下足功夫，似乎問題獲得解決，就可以大功告成。但是，“如果在獲得結(jié)論后就此終止，不對獲得結(jié)論的過程進(jìn)行回顧和反思，那么，數(shù)學(xué)活動就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上，事倍功半；如果在得到結(jié)論后能對思路進(jìn)行檢驗(yàn)和自我評價，探討成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會在更高的層次上進(jìn)行再概括，從而可以使對數(shù)學(xué)理論的認(rèn)識上升到理性水平，事半功倍?！薄?】所以，在教學(xué)中，我們要

11、有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過反思去提煉解題思路，分析思維過程，總結(jié)策略方法，剖析問題本質(zhì)這對學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知，形成良好的數(shù)學(xué)思想具有重要的意義。比如，在學(xué)生運(yùn)用畫圖、列表、計(jì)算等方法解決“雞兔同籠”的問題后，教師不能滿足于問題的解決，而是要引導(dǎo)學(xué)生對這幾種方法進(jìn)行對比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這幾種方法的共同之處，都是“先假設(shè)，再替換”，而其中，“假設(shè)”是最重要的，沒有假設(shè)，就沒有問題的解決。只有學(xué)生通過反思，比較概括，形成理性認(rèn)識，才能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到深度的理解。（三）組織辨析，深化理性思考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維經(jīng)歷由感性到理性認(rèn)識的過程，還需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)谋容^、辨析，排除似是而非的模糊認(rèn)識，走向理解掌握的康

12、莊大道。比如，教學(xué)兩步混合運(yùn)算時，對于“為什么遞等式的第一步要按順序?qū)?shù)照抄下來”，我們也不能一味地只是強(qiáng)調(diào)規(guī)定，而是要適當(dāng)變式，引導(dǎo)學(xué)生比較、辨析。要讓學(xué)生不斷調(diào)整方法，最終形成優(yōu)化策略。教師可以先出示如36+38的算式讓學(xué)生練習(xí)。這樣學(xué)生中會出現(xiàn)兩種做法：一是36+38=36+24=60，二是36+38=24+36=60。因?yàn)榻Y(jié)果相同，所以對兩種列式計(jì)算學(xué)生一般都會認(rèn)可。教師可以接著變化為減法，出示36-38。學(xué)生在其后的計(jì)算中會發(fā)現(xiàn)，在第一步脫式計(jì)算時，只能寫成36-24，而不能寫成24-36。這時，教師就可以提出問題：“在脫式計(jì)算時，怎樣規(guī)定才更合理？”這樣的比較、辨析為學(xué)生認(rèn)同和接受

13、規(guī)則提供了意義支撐。三、“感性經(jīng)驗(yàn)”和“理性認(rèn)知”需要通過綜合應(yīng)用實(shí)現(xiàn)良性互促人的認(rèn)知由感性經(jīng)驗(yàn)開始，經(jīng)過提升、抽象，上升形成理性認(rèn)識。理性認(rèn)知比感性經(jīng)驗(yàn)具有更大的涵蓋范圍，并達(dá)到較為深刻的認(rèn)知程度，形成一定的穿透力。但無論是感性經(jīng)驗(yàn)還是理性認(rèn)知，一維的直線式認(rèn)知往往還不夠牢靠，還得經(jīng)過必要的鞏固和檢驗(yàn)。這種鞏固和檢驗(yàn)，常常是迂回式的過程，體現(xiàn)感性經(jīng)驗(yàn)與理性認(rèn)知之間的往復(fù)運(yùn)動與相互作用，繼續(xù)延伸著學(xué)習(xí)認(rèn)知推進(jìn)的歷程，成為一個辯證的發(fā)展過程。其間，感性經(jīng)驗(yàn)要為理性認(rèn)知作支撐，理性認(rèn)知也對感性經(jīng)驗(yàn)加以篩選、分類、合并、概括、提升等，越加自覺地積累感性經(jīng)驗(yàn)。對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，這樣的認(rèn)識階段其實(shí)就是運(yùn)

14、用性練習(xí)過程。學(xué)生通過必要而扎實(shí)的練習(xí)，才能統(tǒng)整感性經(jīng)驗(yàn)和理性認(rèn)知，完成二者的協(xié)調(diào)和完美結(jié)合，發(fā)展辯證統(tǒng)一關(guān)系。運(yùn)用性練習(xí)過程具有多方面的學(xué)習(xí)意義：一是為了強(qiáng)化知識信息的刺激，避免遺忘，知識信息的保持由瞬時記憶轉(zhuǎn)化為長效記憶，達(dá)到持久地保持的狀態(tài)；二是為了顯示其價值，讓學(xué)生感受知識信息的作用，真切地體驗(yàn)到知識有用；三是為了進(jìn)一步鑒別、檢驗(yàn)其真?zhèn)?，加?qiáng)認(rèn)知的確定性程度；四是為了拓展，形成多方面的綜合聯(lián)系，使得學(xué)生對知識信息的把握獲得突破，體驗(yàn)諸多變式，靈活地適應(yīng)變化。例如，長方形和正方形的認(rèn)識教學(xué)，首先調(diào)集學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察門窗、課本封面、方桌面、黑板等事物的形象，舍棄具體的材質(zhì)、顏色、大小、位置、作用等非本質(zhì)元素，留下四條邊圍成、四個角都是直角的圖形表象。這就是由感性經(jīng)驗(yàn)初步形成的理性認(rèn)知。之后，教學(xué)還并未停止。除了出現(xiàn)各種大小、形狀、位置變化了的圖形，以作識別練習(xí)外，教學(xué)還進(jìn)一步發(fā)展：（1）通過折紙操作等滲透變化的觀念，將長方形中寬邊延長與長邊相等，或者將長邊縮短與寬邊相等，長方形就變成正方形，認(rèn)識正方形是特殊的一種長方形，即為鄰邊相等的長方形；(2)用若干個小的正方形紙片拼擺成一個大的長方形；(3)分別量出教室地面長方形和課本長方形的長和寬；(4)嘗試找出大小國旗中的長方形，感悟形狀相似的規(guī)律性等。經(jīng)過這樣的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生