高斯投影與高斯平面直角坐標(biāo)系概述通用PPT課件

1、第三章 高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)系13.1 地圖投影概述3.1.1 地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)由橢球面投影到平面,大地經(jīng)緯度B,L，與平面坐標(biāo)x,y的關(guān)系因橢球面是不可展曲面,要建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,必然會(huì)產(chǎn)生投影變形，控制投影變形有各種不同的方法，對(duì)應(yīng)于不同的投影。23.1.2 地圖投影變形及其表述1、投影長(zhǎng)度比、等量緯度及其表示式長(zhǎng)度比：投影平面上微分長(zhǎng)度與橢球面上相應(yīng)微分長(zhǎng)度之比。投影平面上微分長(zhǎng)度：橢球面上微分長(zhǎng)度：33.1.2 地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。43.1.2 地圖投影變形及其表述上式中q為

2、等量緯度，計(jì)算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。53.1.2 地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為 引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。63.1.2 地圖投影變形及其表述引入等量緯度后，投影公式為：求微分，得：其中：l = L - L073.1.2 地圖投影變形及其表述根據(jù)微分幾何，其第一基本形式為：其中：83.1.2 地圖投影變形及其表述則，長(zhǎng)度比公式為：將 代入上式，得：93.1.2 地圖投影變形及其表述當(dāng)A=0或180 ，得經(jīng)線方向長(zhǎng)度比：當(dāng)A = 90或270 ，得緯線方向長(zhǎng)度比： 要使長(zhǎng)度比與方向

3、無關(guān)，只要：F = 0, E = G，則長(zhǎng)度比可表示為：103.1.2 地圖投影變形及其表述長(zhǎng)度比與1之差，稱為長(zhǎng)度變形，即：vm0，投影后長(zhǎng)度變大，反之，投影后長(zhǎng)度變短。113.1.2 地圖投影變形及其表述2、主方向和變形橢圓主方向：在橢球面上正交的兩個(gè)方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個(gè)方向稱為主方向。性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小尺度比。對(duì)照第一基本形式，得：且：123.1.2 地圖投影變形及其表述代入長(zhǎng)度比公式，得：若使：使長(zhǎng)度比為極值的方向：由三角公式得：133.1.2 地圖投影變形及其表述由此得，長(zhǎng)度比極值為：將三角展開式代入得：因此，最大長(zhǎng)度比a與最小長(zhǎng)度比b可表示為：143.

4、1.2 地圖投影變形及其表述不難得出下列關(guān)系：153.1.2 地圖投影變形及其表述 若對(duì)應(yīng)于最大和最小長(zhǎng)度比方向在橢球面上為x軸和y軸方向，在投影面上為x1和y1方向，則有：橢球面上投影面上163.1.2 地圖投影變形及其表述3、方向變形與角度變形某方向（以主方向起始） 投影后為1，則有：由三角公式，得：顯然，當(dāng) +1 = 90或 270 時(shí)，方向變形最大173.1.2 地圖投影變形及其表述若與1表示最大變形方向，則最大變形量可表示為：顧及：解得最大變形方向?yàn)椋?83.1.2 地圖投影變形及其表述兩方向、所夾角的變形稱為角度變形，用表示。即： 顯然，當(dāng) +1 = 90、 + 1 = 270 或

5、 +1 = 270、 + 1 = 90 時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為：193.1.2 地圖投影變形及其表述4、面積比與面積變形 橢球面上單位圓面積為 ，投影后的面積為ab，則面積變形為：203.1.3 地圖投影的分類1、按投影變形的性質(zhì)分類 (1). 等面積投影 a b = 1 (2). 等角投影 a = b (3). 等距離投影 某一方向的長(zhǎng)度比為1。213.1.3 地圖投影的分類2、按采用的投影面和投影方式分類(1). 方位投影 投影面與橢球面相切，切點(diǎn)為投影中心，按一定條件將橢球面上的物投影到平面上。223.1.3 地圖投影的分類(2). 正軸或斜、橫軸圓柱投影 正軸圓柱投影：

6、投影圓柱面與某緯線相切(切圓柱投影)、或相割(割圓柱投影) 切圓柱投影：投影圓柱面與赤道相切，緯線投影成 一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯線正交 的另一組平行直線。 割圓柱投影：投影圓柱面與兩條對(duì)稱緯線相割，緯線 投影成一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯 線正交的另一組平行直線。233.1.3 地圖投影的分類橫軸圓柱投影：投影圓柱面與某經(jīng)線相切。斜軸圓柱投影：用于小比例尺投影，將地球視為圓球， 投影圓柱體斜切于圓球進(jìn)行投影。(3). 圓錐投影：圓錐面與橢球面相切或相割，將橢球面上 物投影到圓錐面上，展開圓錐面得投影平 面。 根據(jù)圓錐頂點(diǎn)位置不同，分正圓錐 投影、斜圓錐投影。243.1.3 地圖投影的分類

7、25習(xí) 題1. 給出等量緯度的定義，引入等量緯度有何作用。2. 投影變形與長(zhǎng)度無關(guān)時(shí)應(yīng)滿足哪些條件？并給出證明。3. 變形主方向有什么性質(zhì)？4. 最大方向變形與最大角度變形的方向滿足什么條件？5. 地圖投影按變形性質(zhì)分哪幾類？按投影方式分哪幾類？263.2 正形投影與高斯-克呂格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程 長(zhǎng)度比與方位角無關(guān)的投影稱為正形投影，必須滿足條件E = G, F = 0，即：由第二式解得：1273.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考慮到導(dǎo)數(shù)的方向，開方根得：再代入 式，得：123283.2.1 正形投影的概念和投影方程2 ， 式稱為Kauchi-Rima

8、nn方程，滿足該方程的復(fù)變函數(shù)為解析函數(shù)，可展開成冪級(jí)數(shù)，即有：3其反函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)，可以寫成：293.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯-克呂格投影的條件： 1. 是正形投影 2. 中央子午線不變形303.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯投影的性質(zhì)：1. 投影后角度不變 2. 長(zhǎng)度比與點(diǎn)位有關(guān)，與方向無關(guān) 3. 離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大 為控制投影后的長(zhǎng)度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)可采用不按3度帶中央子午線的任意帶。313.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)323.2.2 高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì) 中央子午線在平面上的投影是

9、x 軸，赤道的投影是 y 軸，其交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。x 坐標(biāo)是點(diǎn)至赤道的垂直距離；y 坐標(biāo)是點(diǎn)至中央子午線的垂直距離，有正負(fù)。為了避免 y 坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，其名義坐標(biāo)加上 500 公里。 為了區(qū)分不同投影帶中的點(diǎn)，在點(diǎn)的Y坐標(biāo)值上加帶號(hào)N 所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的名義值為 y = N1000000+500000+y333.3 高斯投影坐標(biāo)正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤 道因正形投影的導(dǎo)數(shù)與方向無關(guān)，將投影點(diǎn)坐標(biāo)在H點(diǎn)展開，得：343.3.1 高斯投影正算公式 因此，高斯投影級(jí)數(shù)展開式可表示為：其各階導(dǎo)數(shù)為：353.3.1 高斯投影正算公式 將導(dǎo)數(shù)代入展開式，虛實(shí)分開后，得到高斯投影正算公式如下

10、：363.3.1 高斯投影正算公式為便于編程計(jì)算，可將正算公式改寫成如下形式：373.3.2 高斯投影反算公式 在中央子午線投影成的x軸上取點(diǎn) Xf = x，該點(diǎn)稱為底點(diǎn)，用子午弧長(zhǎng)反算公式求得底點(diǎn)的緯度 Bf 和相應(yīng)的等量緯度qf ，以底點(diǎn)為展開點(diǎn)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，得：383.3.2 高斯投影反算公式相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為：393.3.2 高斯投影反算公式代入級(jí)數(shù)展開式，虛實(shí)分開得：4403.3.2 高斯投影反算公式將大地緯度展開成等量緯度的級(jí)數(shù)式其中：5413.3.2 高斯投影反算公式由 式，得：4代入 式，得：5423.3.2 高斯投影反算公式將各系數(shù)代入上式，得緯度 B 的反算公式：433.3.

11、2 高斯投影反算公式為便于編程計(jì)算，可將反算公式改寫成如下形式：443.3.2 高斯投影反算公式 利用高斯投影的正反算公式，亦可進(jìn)行不同投影帶坐標(biāo)的換帶計(jì)算。其計(jì)算步驟如下： 1. 根據(jù)高斯投影坐標(biāo) x, y，反算得緯度B和經(jīng)度差l； 2. 由中央子午線的經(jīng)度L0, 求得經(jīng)度 L = L0 +l； 3. 根據(jù)換帶后新的中央子午線經(jīng)度L0 ，計(jì)算相應(yīng)的經(jīng)差： 4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標(biāo) x，y。45習(xí) 題1. 高斯投影的條件是什么？2. 簡(jiǎn)述高斯投影投影正算公式的推導(dǎo)；3. 已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 計(jì)算：1). 該點(diǎn)的3

12、帶和6 帶帶號(hào)； 2). 該點(diǎn)的3 帶高斯投影坐標(biāo)并反 算檢核；463.4 平面子午線收斂角和長(zhǎng)度比3.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式平行圈子午線沿平行圈緯度不變，求微分得：473.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式對(duì)高斯投影公式求偏導(dǎo)數(shù)，得：483.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式，得：將 展開成 tg 的級(jí)數(shù)，得：493.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式 由此可見， 是經(jīng)差的奇函數(shù)，在 x 軸為對(duì)稱軸，東側(cè)為正，西側(cè)為負(fù)。 子午線收斂角在赤道為0，在兩極等于經(jīng)差 l，其余點(diǎn)上均小于經(jīng)差 l 。503.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式子午線收斂角也可以表示成高斯平面坐標(biāo)的級(jí)

13、數(shù)展開式。平行圈L =常數(shù)L+dl = 常數(shù)P點(diǎn)沿與y軸平行方問微分變動(dòng)到P點(diǎn)，子午線收斂角可表示為：沿y坐標(biāo)的微分，得：513.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入子午線收斂角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏導(dǎo)數(shù)，得：523.4.1 平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式子午線收斂角計(jì)算公式，得：將 展開成 tg 的級(jí)數(shù)，得：533.4.2 長(zhǎng)度比計(jì)算公式由高斯投影長(zhǎng)度比的定義式，得：將前面的偏導(dǎo)數(shù)代入上式，得：開方后得出以大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式：543.4.2 長(zhǎng)度比計(jì)算公式 為給出由高斯投影坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式，反解高斯投影的 y 坐標(biāo)正算公式，得：對(duì)上式求平方和四次方，得：553.4

14、.2 長(zhǎng)度比計(jì)算公式代入用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式，得：顧及：代入上式，得：可見，長(zhǎng)度比是y坐標(biāo)的偶函數(shù)，且只與y坐標(biāo)有關(guān)。563.5 高斯投影距離與方向改化以及坐標(biāo)方位角3.5.1 高斯投影的距離改化 橢球面上的大地線投影到高斯平面上為曲線，與平面上兩點(diǎn)相連的直線相比， 其微分線段間的差異極小，可表示為：其中：573.5.1 高斯投影的距離改化此弧線與直線間的最大偏角即為方向投影改化，本為二次小項(xiàng),故此相對(duì)長(zhǎng)度差異僅為4次項(xiàng),相對(duì)于距離測(cè)量的最高精度亦可忽略,因此可認(rèn)為： 用辛卜生公式數(shù)值積分得：583.5.1 高斯投影的距離改化將長(zhǎng)度比公式代入上式，得：593.5.1 高斯投影的距離改化距

15、離改化S可表示為：其中： 在城市及工程應(yīng)用中測(cè)邊離中央子午線不會(huì)超過45公里，則距離改化公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：603.5.2 高斯投影方向改化1、高斯投影曲線的形狀 高斯投影曲線的形狀向 x 軸彎曲，并向兩極收斂。613.5.2 高斯投影方向改化2、高斯投影方向改化保角投影前后角度相同，即：623.5.2 高斯投影方向改化將球面角超計(jì)算公式代入上式，得： 因方向值順時(shí)針方向增加，考慮其正負(fù)號(hào)后，方向改化公式可表示如下： 上式具有0.1 的計(jì)算精度，適用于三、四等控制網(wǎng)的方向改化計(jì)算。改化公式中的曲率半徑可足夠近似地取6370km633.5.3 坐標(biāo)方位角和大地方位角的關(guān)系式A12T1264習(xí) 題

16、1. 已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 計(jì)算：1). 該點(diǎn)的3 帶高斯投影后的中央子午 線收斂角； 2). 該點(diǎn)的3 帶高斯投影的長(zhǎng)度比。2. 已知起始點(diǎn)坐標(biāo)：x3 = 3239387.624 m y3 = 40446822.368m 起始平面方位角T31=1923708.51， 距離S31=7619.245m，各方向觀測(cè)值如下： 13：00000.00 23：00000.00 31： 00000.00 12：2571747.71 21：395112.50 32：372636.65 將上述邊長(zhǎng)和方向歸算到高斯平面上。312653.6 通用橫軸墨卡

17、托投影3.6.1 墨卡托投影 墨卡托投影為等角割圓柱投影，圓柱與橢球面相割于B0的兩條緯線，投影后不變形。特性：等角航線在投影平面上為直線。因此，該投影便于在航海中應(yīng)用。663.6.2 通用橫軸墨卡托投影 簡(jiǎn)稱為UTM，與高斯投影相比，僅僅是中央子午線的尺度比為0.9996，其投影公式如下：673.6.2 通用橫軸墨卡托投影長(zhǎng)度比和子午線收斂角計(jì)算公式。683.6.2 通用橫軸墨卡托投影通用橫軸墨卡托投影的反算步驟：1. 先由通用橫軸墨卡托投影坐標(biāo)計(jì)算高斯投影坐標(biāo)； 2. 再利用高斯投影反算公式，計(jì)算大地緯度和經(jīng)度。693.6.2 通用橫軸墨卡托投影與高斯投影的比較703.7 局部區(qū)域中的高斯投影及其相應(yīng)的區(qū)域性橢球 局部區(qū)域中常采用地方獨(dú)立坐標(biāo)系，其高斯坐標(biāo)以往并非由經(jīng)緯度求得，而是直接將邊長(zhǎng)投影到邊長(zhǎng)歸算的高程基準(zhǔn)面（投影面）, 再選定過測(cè)區(qū)中心附近的坐標(biāo)縱軸，計(jì)算高斯投影邊長(zhǎng)和方向