關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維

1、關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維銅仁市碧江區(qū)：唐萬華2013.8.22銅仁市小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)徐長青老師與學(xué)員問題式交流從徐老師的課中得到的啟示： 讓學(xué)生有發(fā)展的思維！一味追求數(shù)學(xué)答案的唯一性，勢必極大地束縛了孩子的思維，因此，我們解決問題的最終目的不是求得標(biāo)準(zhǔn)答案，而應(yīng)教給孩子一種思維方式?？梢婈P(guān)注學(xué)生發(fā)展思維是非常重要的。在日常教學(xué)中，學(xué)生思維的火花往往都是被我們的老師于無意中扼殺。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們教師應(yīng)要淡化問題的結(jié)論，襯托其方法與思想，這樣就能培養(yǎng)孩子們的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。 主題：關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維一個(gè)持續(xù)的熱點(diǎn)；現(xiàn)狀與問題：第一，普遍存在的一個(gè)思想障礙：由于小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容較為簡單，因此就不可能很好

2、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維；第二，在現(xiàn)實(shí)中我們并可經(jīng)?？吹健昂唵我浦病?、“隨意拔高”等作法。當(dāng)務(wù)之急應(yīng)當(dāng)針對小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際情況、包括具體的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知水平更為深入去開展工作，特別是，第一，清楚的界定； 第二，很好處理具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容（包括知識(shí)與技能）的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的教學(xué)之間的關(guān)系。 一、從數(shù)學(xué)抽象談起 二、數(shù)學(xué)中的分類 三、數(shù)學(xué)中的類比四、問題解決與數(shù)學(xué)思維五、數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化 六、數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與教學(xué)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維一、從數(shù)學(xué)抽象談起父：“如果你有一個(gè)橘子，我再給你兩個(gè)，你數(shù)數(shù)看一共有幾個(gè)橘子？”子：“不知道！在學(xué)校里，我們都是用蘋果數(shù)數(shù)的，從而不用橘子。數(shù)學(xué)最基本的特性：抽象性 “甚至對

3、數(shù)學(xué)只有膚淺的知識(shí)就能容易地察覺到數(shù)學(xué)特征具有抽象性。數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)第一，數(shù)學(xué)抽象源于現(xiàn)實(shí)生活，包括具體的事物與現(xiàn)象，以及人們的運(yùn)作；第二，數(shù)學(xué)抽象又高于現(xiàn)實(shí)，并是一種建構(gòu)的活動(dòng)，即包含了與現(xiàn)實(shí)世界在一定程度上的分離。分析與思考“數(shù)學(xué)，對學(xué)生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一種解讀。”學(xué)習(xí)主要是一個(gè)“順應(yīng)”的過程，也即如何對主體已有的認(rèn)知框架作出必要的調(diào)整或重建。例一 這個(gè)學(xué)生缺的究竟是什么？（ “問題到底出在哪兒？”） 任課教師要求學(xué)生求解這樣一個(gè)問題：“52型拖拉機(jī)，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學(xué)生是這樣解題的：5215012=接下來的對話“告訴我，你為什么這么列式？”

4、“老師，我錯(cuò)了?！薄昂玫?，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“為什么是除呢？”“老師，我又錯(cuò)了?！薄澳阏f，對的該是怎樣呢？”“應(yīng)該把它們加起來?！眴⒍话l(fā)？“我們換一個(gè)題目，比如你每天吃兩個(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅？”“老師，我早上不吃大餅的?！薄澳悄愠允裁矗俊薄拔医?jīng)常吃個(gè)面包。”“好，那你每天吃兩個(gè)面包，5天吃幾個(gè)面包？”“老師，我一天根本吃不了兩個(gè)面包?！薄澳悄隳艹詭讉€(gè)面包？”“吃半個(gè)就可以了?！薄昂?，那你每天吃半個(gè)（小數(shù)乘法沒學(xué)）面包，5天吃幾個(gè)面包？”“兩個(gè)半?！薄霸趺此愠鰜淼模俊薄皟商煲粋€(gè)，5天兩個(gè)半?！苯Y(jié)論之一學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的首要涵義：學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象（

5、模式化）。 數(shù)學(xué)：模式的科學(xué)。這就是指數(shù)學(xué)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。 例二 這能否算一堂真正的數(shù)學(xué)課？這是關(guān)于“問題解決”的一個(gè)教學(xué)實(shí)例，教師要求一群三年級的學(xué)生求解以下的問題： “某女士外出旅行時(shí)帶了兩件不同顏色的上衣和三條不同顏色的裙子，問共有多少種不同的搭配方法？”教師鼓勵(lì)學(xué)生們用“實(shí)驗(yàn)”的方法去解決問題：學(xué)生拿出了筆和紙，開始在紙上實(shí)際地畫出各種可能的搭配結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下學(xué)生都可憑借自身的努力（單獨(dú)地或合作地）得出正確的解答。 事后的思考學(xué)生通過這一教學(xué)活動(dòng)究竟學(xué)到了什么，特別是，這些學(xué)生能否被認(rèn)為已經(jīng)掌握了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知

6、識(shí)？更多的問題某人有兩套不同的西裝和三條不同顏色的領(lǐng)帶，問共有多少種不同的搭配方法？有兩個(gè)軍官和三個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問共有多少種不同的組成方式？某女士外出旅行時(shí)帶了三件不同顏色的上衣和四條不同顏色的裙子，問共有多少種不同的搭配方法？有三個(gè)軍官和四個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問共有多少種不同的組成方式？結(jié)論之二幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵：應(yīng)當(dāng)超越問題的現(xiàn)實(shí)情境過渡到抽象的數(shù)學(xué)模式。（ “去情境化”）數(shù)學(xué)教學(xué)必定包括“去情景化、去個(gè)人化和去時(shí)間化”。問題：如何才能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“去情境化”？例三一年級下冊中的“找規(guī)律” 在中國少年先鋒隊(duì)鼓號(hào)隊(duì)的鼓號(hào)曲里，我們把第

7、一個(gè)音唱做咚，第二個(gè)音唱做噠，第三個(gè)音唱做啦，所以這個(gè)樂句就變成咚噠啦咚噠啦咚噠啦 “請想一想：第16個(gè)音符是什么？為了能讓別人看得一清二白，請你在草稿本上用一種合適的方式表示出來，可以寫一寫、畫一畫、算一算、說一說?！狈椒ㄒ唬河靡魳泛喿V符號(hào)表示XXX， XXX， XXX， XXX， XXX， X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二：用圖形表示 方法三：用數(shù)字表示1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1結(jié)論之三模式化的重要手段之一：引入適當(dāng)?shù)膱D形或符號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)與具體情境在一定程度上的分離。 二、數(shù)學(xué)中的分類究竟什么是數(shù)學(xué)中

8、的分類？這與一般的分類又有什么不同（顯然，這也直接關(guān)系到了究竟什么是數(shù)學(xué)課所應(yīng)當(dāng)具有的“數(shù)學(xué)味”）？ 例一 幾何模塊的分類分析與思考問題：我們是否應(yīng)當(dāng)同樣地去肯定學(xué)生所提出的各種分類方法，包括按形狀、顏色和材料等進(jìn)行分類？進(jìn)一步的問題：數(shù)學(xué)中究竟又為什么要進(jìn)行分類？例二 “100以內(nèi)加減法練習(xí)”34+42 =76，37+17 =54，69 -15 =54，59 +17=76， 91 -15 =76，83 - 29=54?！皫煟簞偛湃w小朋友認(rèn)認(rèn)真真地做好了六道100以內(nèi)的加減計(jì)算題，并且做得很對?，F(xiàn)在我們再來仔細(xì)觀察這六道題，如果我們把它們分成兩類，你有什么好辦法？為什么可以這樣分？”方法一：

9、按照得數(shù)相同來分；方法二：按加法和減法來分；方法三：按不進(jìn)位加法和不退位減法、以及進(jìn)位加法和退位減法來分；方法四：把 37+17、59 +17分成一組，把34+42、69-15、91-15 、83-29分成一組。（因?yàn)榍皟烧咧卸及?7。）方法五：把34 + 42 = 76分成一組，剩下的為一組。（因?yàn)榍罢咚婕暗亩际请p數(shù)。）教師的總結(jié)“教學(xué)中教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來分析問題進(jìn)行合理的分類，讓學(xué)生通過相互的交流，從中感受到分類結(jié)果在不同標(biāo)準(zhǔn)下的多樣性，感受到不同標(biāo)準(zhǔn)的分類有著不同的意義和作用，就能使學(xué)生的思維得到發(fā)散，使學(xué)生的不同思想方法得到充分有效的交流?！钡?，我們究竟為什么要

10、進(jìn)行分類？結(jié)論之四分類應(yīng)當(dāng)具有明確的目的性。第一，歸類：數(shù)學(xué)抽象的直接基礎(chǔ)；第二，不同類別的區(qū)分：由簡到繁、由特殊到一般地去開展研究。分類問題也需要優(yōu)化。（用數(shù)學(xué)家的眼光去看待世界、分析問題、解決問題。） 例三 “三角形的分類”究竟什么應(yīng)是這一堂課的教學(xué)重點(diǎn)：是角的度量？還是分類的必要性與合理性？一個(gè)重要的思想：分類活動(dòng)的科學(xué)性。數(shù)學(xué)家與初學(xué)者（學(xué)生）的比較問題的不同分類：按問題的“表層結(jié)構(gòu)”（事實(shí)性內(nèi)容與表述方式）與“深層結(jié)構(gòu)”（內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、解題方法）。學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維的又一重要內(nèi)涵：由“表層結(jié)構(gòu)”逐步深入到“深層結(jié)構(gòu)”。例四 水池問題“學(xué)生在解決水池問題時(shí)，往往會(huì)認(rèn)為水池一邊開進(jìn)水管，一

11、邊開出水管，不論經(jīng)過多長時(shí)間都不會(huì)注滿水池。在教學(xué)時(shí)教師可以不急于講解，而是引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中類似的實(shí)例。（1）追及問題。客車每小時(shí)行40千米，小汽車每小時(shí)行50千米。現(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時(shí)沿筆直的公路行駛，多長時(shí)間小汽車能追上客車？（2）儲(chǔ)蓄問題。爸爸每月工資3000元，媽媽每月工資2500元，每月平均支出4000元，余下的錢存在銀行，幾個(gè)月后能買一臺(tái)價(jià)格6000元的電腦？通過這些實(shí)例學(xué)生就容易弄明白只要進(jìn)水量大于出水量，經(jīng)過一段時(shí)間水池就一定能注滿水?！苯Y(jié)論之五學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的又一重要內(nèi)涵：思維的必要優(yōu)化。三、數(shù)學(xué)中的類比數(shù)學(xué)思維的合理發(fā)展：由歸類、到分類、到類比（聯(lián)想）。問

12、題：究竟什么是類比（聯(lián)想）？在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們又應(yīng)如何去進(jìn)行類比（聯(lián)想）的教學(xué)？一個(gè)常見的說法“我們觀察到兩個(gè)或兩類事物在許多屬性上都相等，便推出它們在其它屬性上也相同。這就是類比法?！苯Y(jié)論之六：什么是真正的類比？類比在數(shù)學(xué)中重要作用：就是通過兩個(gè)不同對象的比較由已經(jīng)獲得的知識(shí)去引出新的猜測。成功應(yīng)用類比聯(lián)想的關(guān)鍵：求同存異為了應(yīng)用類比，我們不需要相關(guān)對象在所有方面都完全一樣，而只要求在這兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的，這就是“求同”，也即如何能在抽象分析的基礎(chǔ)上找出兩個(gè)對象的“類似之處”?！按娈悺眲t是指新的猜測的產(chǎn)生并不是簡單的重復(fù)、模仿，而是一種創(chuàng)造性的工作，特別是，在由已知事實(shí)去

13、引出新的猜測時(shí)，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異，也即必須依據(jù)對象的具體情況作出適當(dāng)?shù)摹罢{(diào)正”。結(jié)論之七相對于歸類與分類而言，類比聯(lián)想是一種更為高級的思維形式。教學(xué)中的關(guān)鍵：如何能夠針對學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平去有針對性地去進(jìn)行教學(xué)？四、問題解決與數(shù)學(xué)思維 從“植樹問題”談開去教學(xué)研究的一個(gè)持續(xù)熱點(diǎn)：“眾所周知，植樹問題是一個(gè)經(jīng)典的問題，長期備受眾多老師、專家、特級老師的青睞，曾經(jīng)無數(shù)次被搬上舞臺(tái)演繹出許多經(jīng)典課例。”“植樹問題”與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，解題不是主要的教學(xué)目的，主要的任務(wù)是向?qū)W生滲透一種思想，” “設(shè)計(jì)上的一個(gè)重要思考是向?qū)W生滲透一種思想，一種在數(shù)學(xué)上和研究問題

14、方面都很重要的思想”另外一些共同點(diǎn)任課教師通常特別重視關(guān)于“植樹問題”的三種不同類型的區(qū)分，也即所謂的“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。就上述三個(gè)類型的區(qū)分而言，設(shè)計(jì)者又往往歸結(jié)為“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)”，并普遍地采取了“學(xué)生獨(dú)立探究（或分組探究）、反饋交流、教師總結(jié)”這樣的教學(xué)方法。第三，就相關(guān)的數(shù)學(xué)思想而言，有不少教師突出地強(qiáng)調(diào)了所謂的“化歸思想”。 分析與思考（1）： “歸類”與“分類”“植樹問題”事實(shí)上涉及到了兩種不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)：（1）以“植對問題”為原型引出普遍性的數(shù)學(xué)模式，然后再利用這一模式去解決各種新的問題，如路燈問題、鋸樹問題、爬樓問題等。（2）對于所提到的每一個(gè)問題我們又都可

15、以區(qū)分出三種不同的情況，這也就是所謂的“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”。關(guān)鍵：究竟何者應(yīng)當(dāng)被看成這一教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)？什么又是這一教學(xué)活動(dòng)的真正難點(diǎn)？ 分析與結(jié)論如果學(xué)生未能清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問題、鋸樹問題、爬樓問題等都與植樹問題有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也即可以被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，對他們來說“這究竟屬于植樹問題中的哪個(gè)類型啊”這樣的問題就是完全沒有意義的。從而，“模式的建構(gòu)”就比“三種情況的區(qū)分”有著更大的重要性，在教學(xué)上我們也應(yīng)對此予以更大的關(guān)注。 教學(xué)中的相關(guān)現(xiàn)象“有些學(xué)生雖然會(huì)解決這一問題，但這些學(xué)生尚不能把植樹問題的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不

16、會(huì)熟練運(yùn)用規(guī)律”進(jìn)一步的思考：如何能夠超出“植樹問題”并引出相應(yīng)的普遍性模式？由“植對問題”過渡到“分隔問題”；圖形與符號(hào)的適當(dāng)應(yīng)用。分析與思考（2）：規(guī)律的“機(jī)械應(yīng)用”與思維的靈活性 問題：我們在教學(xué)中是否應(yīng)當(dāng)對于“兩端都種”、“只種一端”與“兩端都不種”這樣三種情況的區(qū)分予以特別的重視，并要求學(xué)生牢牢地記住相應(yīng)的計(jì)算法則（“加一”、“不加不減”或“減一”）以致在面對新的類似問題時(shí)就能不假思索地直接加以應(yīng)用？ 相關(guān)的思考就“植樹問題”而言，在現(xiàn)實(shí)中是否真的就只有“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”這樣三種情況？ 進(jìn)而，對于其它一些可能的情況我們又是否也應(yīng)要求學(xué)生總結(jié)出相關(guān)類型，并牢牢地

17、去記住相應(yīng)的“規(guī)律” ？ 分析與結(jié)論將“三種情況”的區(qū)分以及相應(yīng)的計(jì)算法則看成是一種“規(guī)律”、并要求學(xué)生牢固掌握從而就能直接加以運(yùn)用恐怕不很恰當(dāng)；在此真正重要的應(yīng)是“一一對應(yīng)”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)思想就“植樹問題”進(jìn)行分析，這也就是指，在此真正重要的是在“間隔”與“樹”之間所存在的一一對應(yīng)關(guān)系進(jìn)而，所謂的“加一”、“減一”等法則又只是針對具體情況作出的適當(dāng)變化從而，在此真正需要的就不是“規(guī)律的應(yīng)用”；而是思維的靈活性，也即如何能夠依據(jù)基本模式并通過適當(dāng)變化以適應(yīng)變化了的情況。 總結(jié)對于“植樹問題”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)區(qū)分出這樣兩個(gè)不同的教學(xué)要求或教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）突出“分隔問題”，即是如何能以“植樹問題”為背景幫

18、助學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式；（2）明確引出“間隔數(shù)”與“所種樹的棵數(shù)”這兩者的關(guān)系，突出“一一對應(yīng)”的思想，并以此為基礎(chǔ)求解各種變化了的情況。對于“兩端都種”等三種情況的區(qū)分不應(yīng)過于強(qiáng)調(diào)，更不應(yīng)將相應(yīng)的計(jì)算法則看成重要的規(guī)律乃至要求學(xué)生牢牢記住從而就能不假思索地加以應(yīng)用。五、數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化兩個(gè)應(yīng)當(dāng)思考的問題：究竟什么是數(shù)學(xué)中的特殊化與一般化？小學(xué)數(shù)學(xué)中是否也有特殊化與一般化？一點(diǎn)提醒：對于抽象定義的必要超越特殊化“是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個(gè)較小子集，或僅僅一個(gè)對象。”一般化“是從考慮一個(gè)對象過渡到包含該對象的一個(gè)集合，或者從考慮一個(gè)該小的集合過渡到包含該較小集合的更

19、大集合?！保?）從概念學(xué)習(xí)的角度看數(shù)學(xué)抽象就是一個(gè)一般化的過程。（2）從“問題解決”的角度看“特殊化與一般化構(gòu)成了整個(gè)解題過程的基礎(chǔ)?！标P(guān)于特殊化由隨意的特殊化，去了解問題；由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎(chǔ)；由巧妙的特殊化，去對一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。例1 “小數(shù)乘整數(shù)”與找規(guī)律“師：有些小數(shù)和整數(shù)相乘很簡單，同學(xué)們口算就可以解決了，請看 0.14=0.4； （師：“這樣的8份呢？”）0.014=0.04；（師：“這樣的23份呢？”）0.0019=0.009。（“師：這樣的129個(gè)呢？）“師：剛才口算的這些乘法，都是哪些小數(shù)與整數(shù)相乘？ “生：都是0.1，0.01，0.001與整數(shù)相乘。 “師：當(dāng)

20、0.1，0.01，0.001與一個(gè)整數(shù)相乘時(shí)，你們?yōu)槭裁催@么快就得出了結(jié)果？有什么規(guī)律嗎？“生1：乘得的結(jié)果越來越小?！吧?：都和幾個(gè)零點(diǎn)幾有關(guān)系。 “生3：乘得的結(jié)果都是小數(shù)。 “師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，當(dāng)0.1，0.01，0.001乘一個(gè)整數(shù)時(shí)，它們的計(jì)算結(jié)果是幾位小數(shù)和誰有關(guān)系呢？ “師：也就是說，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積“生：就有幾位小數(shù)。” （下略） 回顧由隨意的特殊化，去了解問題；由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎(chǔ)；由巧妙的特殊化，去對一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。關(guān)于一般化什么看上去像是真的？為什么它是真的？它在怎樣的范圍內(nèi)看上去也是真的？例2 一般化的實(shí)例在掌握了“三角形的內(nèi)角和為180”以后

21、，我們顯然就應(yīng)進(jìn)一步去思考如何才能求得四邊形、五邊形、乃至n邊形后者的內(nèi)角和？三個(gè)主要的方面：（1）解題策略；（2）數(shù)學(xué)的精神；（3）學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。六、數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與教學(xué)努力加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)方法論）的學(xué)習(xí)。兩條主要的線索：（1）“問題解決”與“問題提出”；（2）概念的生成、分析與組織。數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)的關(guān)鍵：不應(yīng)求全，而應(yīng)求用，也即應(yīng)當(dāng)密切聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐去進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)以致用。長期的努力方向：理論指導(dǎo)下的自覺實(shí)踐。相關(guān)的思想基礎(chǔ)知識(shí)：不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)；基本技能：不應(yīng)求全，而應(yīng)求變；數(shù)學(xué)思維：不應(yīng)求全，而應(yīng)求用。一個(gè)練習(xí)“紅花映綠葉春=葉綠映花紅，要求想出紅、花、映、綠、葉分別代表什么數(shù)字？”請

22、嘗試著以數(shù)學(xué)啟發(fā)法為指導(dǎo)去求解這一問題（相應(yīng)的解答為：219784=87912）當(dāng)前應(yīng)當(dāng)特別注意的一個(gè)問題防止簡單的移植：集合與分類；函數(shù)與變化；極限與無限；例1 “除非它們都能站起來！”這是發(fā)生在20世紀(jì)60年代的一個(gè)真實(shí)故事：當(dāng)時(shí)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”作為風(fēng)靡全球的改革運(yùn)動(dòng)正處于高潮之中，其核心思想就是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育作出改造，由于集合的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，因此，下述情況的出現(xiàn)就無足為奇了。 在幼兒園上學(xué)的女兒告訴數(shù)學(xué)家的父親：“我們今天學(xué)了集合！”父親：“老師是怎么教的？”女兒：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；其次，她又

23、讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，最后，教師問全班：大家是否都懂了？她得到了肯定的答復(fù)。”父：“那么，我們是否可以將世界上所有的勺子或土豆組成一個(gè)集合？”遲疑了一會(huì)，女兒最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！” 結(jié)論應(yīng)當(dāng)更為清楚地去界定，就小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)習(xí)階段而言什么是相關(guān)的數(shù)學(xué)思維？應(yīng)當(dāng)積極從事數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，這主要地又并非是指于專門性的思維教學(xué)，而應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的滲透，也即用數(shù)學(xué)思想的分析指導(dǎo)、帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。例2 “重建”高斯少年時(shí)代的高斯是如何很快求得1+2+3+99=4950的？ 類比與啟示為了求解S=1

24、+2+3+99=？我們也可首先去計(jì)算2S：2S= 1 + 2+ 3+ 99 +99 + 98+ 97+ 1 =10099=9900S=4950結(jié)論之八用思維分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)的關(guān)鍵：方法論的重建，從而實(shí)現(xiàn)化神奇為平凡、化難為易。意義之一：使數(shù)學(xué)教學(xué)真正“講活”、“講懂”、“講深”；意義之二：使數(shù)學(xué)思維真正成為可以理解的、可以學(xué)到手的、和可以加以推廣應(yīng)用的?！爸v活”：教師應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)；“講懂”：教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；“講深”：教師不僅應(yīng)幫助學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生深

25、入領(lǐng)會(huì)并逐漸掌握內(nèi)在的思維方法。 一些有益的實(shí)踐與體會(huì)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的滲透，并非是指在教學(xué)中我們只需重視具體的知識(shí)內(nèi)容而完全不用去顧及數(shù)學(xué)思維，從而使后者始終處于“深藏不露”的局面，而是指我們不應(yīng)用數(shù)學(xué)思維的分析去完全取代知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，或是使兩者處于完全割裂的狀態(tài)?！皵?shù)學(xué)思想方法該露臉時(shí)就露臉，根據(jù)需要，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉、歸納和概括。”所謂不應(yīng)“求全”，也并非是指在“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”這一方面根本不用設(shè)定任何具體的目標(biāo)，而可“自由行事，便宜處置”；恰恰相反，我們在這一方面也應(yīng)有明確的目標(biāo)與切實(shí)的落實(shí)措施，特別是，考慮到數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)必然是一個(gè)長期的過程，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)又存在低段、中段、高段的劃分，“這就需要全體教師都能意識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，保證數(shù)學(xué)骨干教師在課務(wù)安排上相對穩(wěn)定，使小學(xué)思想方