動(dòng)點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題解析版

1、. 專題01 動(dòng)點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中. 其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，本專題以幾個(gè)根本的知識(shí)點(diǎn)為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.一、根底知識(shí)點(diǎn)綜述1. 兩點(diǎn)之間，線段最短；2. 垂線段最短；3. 假設(shè)A、B是平面直角坐標(biāo)系兩定點(diǎn)，P是*直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、A、B在一條直線上時(shí)，最大，最大值為線段AB的長如下列圖所示；4. 最短路

2、徑模型1單動(dòng)點(diǎn)模型作圖方法：作點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接成線段與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置. 如下列圖所示，P是*軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值的作圖.2雙動(dòng)點(diǎn)模型P是AOB一點(diǎn)，M、N分別是邊OA、OB上動(dòng)點(diǎn)，求作PMN周長最小值.作圖方法：作點(diǎn)P關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、P，連接PP與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)M、N即為所求.5. 二次函數(shù)的最大小值，當(dāng)a0時(shí)，y有最小值k；當(dāng)a0經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)M(m,0)是*軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求b的值.例5. 2019如圖，一副含30和45角的三角板和拼合在個(gè)平面上，邊與重合，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿

3、方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向滑動(dòng)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為；連接，則的面積最大值為例6. 2019如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H，以O(shè)為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.1求證：DC是圓O的切線；2假設(shè)AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影局部面積；3在2的前提下，P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD為何值時(shí)，PH+PM的值最小，并求出最小值.專題01 動(dòng)點(diǎn)問題中的最值、最短路徑問題解析例1. 2019涼山州如圖，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)不與B、C重合，過點(diǎn)P作PQEP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為【答案】4

4、. 【解析】解：PQEP，EPQ=90，即EPB+QPC=90，四邊形ABCD是正方形，B=C=90，EPB+BEP=90，BEP=QPC，BEPCPQ，AB=12，AE=3，BE=9，設(shè)CQ=y，BP=*，CP=12*，0*0經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)M(m,0)是*軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求b的值.【答案】見解析.【解析】解：經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，1+b+c=0，即點(diǎn)Q在拋物線上，即，b0，Q點(diǎn)在第四象限，所以只要構(gòu)造出即可得到的最小值取N1,0，連接AN，過M作MGAN于G，連接QM，如下圖，AGM為等腰直角三角形，GM=，即當(dāng)G、M、Q三點(diǎn)共線時(shí)，GM+MQ取最

5、小值，即取最小值，此時(shí)MQH為等腰直角三角形，QM=，GM=QH=MH，=，解得：m=聯(lián)立得：m=，b=4. 即當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，b=4. 【點(diǎn)睛】此題需要利用等腰直角三角形將轉(zhuǎn)化為2，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及等腰三角形性質(zhì)求解.例5. 2019如圖，一副含30和45角的三角板和拼合在個(gè)平面上，邊與重合，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向滑動(dòng)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為；連接，則的面積最大值為【答案】【解析】解：如圖1所示，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)至E，F(xiàn)滑動(dòng)到F時(shí)，圖1過D作DGAC于G，DHBC交BC延長線于點(diǎn)H，可得EDG=FDH，DE=DF，RtEDGRtFDH，DG=GH,D

6、在ACH的角平分線上，即C，D，D三點(diǎn)共線. 通過分析可知，當(dāng)DEAC時(shí)，DD的長度最大，隨后返回初始D點(diǎn)，如圖2所示，D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為DDD，行走路線長度為2DD；圖2BAC=30，AC=12，DE=CDBC=，CD=DE=，由圖知：四邊形ECFD為正方形，CD=EF=12，DD=CD-CD=12-,D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為2DD=24-；圖3如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至D時(shí)，ABD的面積最大，最大面積為：=【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確利用全等、角平分線判定得到D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解，計(jì)算較為繁瑣，尤其是利用割補(bǔ)法求解三角形的面積時(shí)對(duì)學(xué)生計(jì)算能力要求較高，此題難度較大，新穎不失難度.例6. 20

7、19如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H，以O(shè)為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.1求證：DC是圓O的切線；2假設(shè)AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影局部面積；3在2的前提下，P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD為何值時(shí)，PH+PM的值最小，并求出最小值.【答案】見解析.【解析】1證明：過點(diǎn)O作ONCD于N，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，AC平分BCD，OHBC，ONCD，OH=ON，又OH為圓O的半徑，ON為圓O的半徑，即CD是圓O的切線.2由題意知：OC=2MC=4，MC=OM=2，即OH=2，在RtOHC中，OC=2OH，可得：OCH=30，COH=60，由勾股定理得：CH=3作點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MH交BD于點(diǎn)P，可知：PM=PM即PH+PM=PH+PM=HM，由兩點(diǎn)