廣義Jacobi_Fourier_省略_Fourier_Mellin變換

1、分類號： 單位代碼： 10300密級: 學(xué) 號：20161222431務(wù)球a氛/弒頂孝碩士學(xué)位論文廣義 Jacobi-Fourier 矩及擬 Fourier-Mellin 變換Generic Jacobi -Fourier moment and quasi Fourier-Mellin transform申請人姓名：_盧政大指導(dǎo)教師：楊建偉教授專業(yè)名稱：一數(shù)學(xué)研究方向：_模式識別與圖像處理所在學(xué)院：一數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院二。一九年五月獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。 本論文除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的內(nèi)容外，不包含其他人或其他機(jī)構(gòu)已經(jīng)發(fā)表或撰 寫過的

2、研究成果，也不包含為獲得南京信息工程大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使 用過的材料。其他同志對本研究所做的貢獻(xiàn)均已在論文中作了聲明并表示謝意。關(guān)于論文使用授權(quán)的說明南京信息工程大學(xué)、國家圖書館、中國學(xué)術(shù)期刊（光盤版）雜志社、中國科學(xué)技術(shù)信 息研究所的中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子 文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會提供信息服務(wù)。 本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論文 被查閱和借閱，可以公布（包括刊登）論文的全部或部分內(nèi)容。論文的公布（包括刊登） 授權(quán)南京信息工程大學(xué)研究生院辦理?？诠_ 口保密

3、（年月）（保密的學(xué)位論文在解密后應(yīng)遵守此協(xié)議）學(xué)位論文作者簽名：I 擊依簽字日期： &陷 /目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 摘要I HYPERLINK l bookmark11 o Current Document AbstractII HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 第1章引言11.1研究目的及意義11.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀11.3本文的主要工作3 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 第 2 章 廣義 Jacobi

4、-Fourier 矩5 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 2.1引言5 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 傳統(tǒng) Jacobi-Fourier 矩6 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 廣義 Jacobi-Fourier 矩62.4實(shí)驗(yàn)結(jié)果92.5本章小結(jié)13 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 第 3 章擬 Fourier-Mellin 變換15 HYPERLINK l bookmark40 o Cu

5、rrent Document 3.1引言15 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 擬 Fourier-Mellin 變換19 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 擬 Fourier-Mellin 描繪子233.4實(shí)驗(yàn)結(jié)果293.5本章小結(jié)37 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 第4章結(jié)論與展望394.1結(jié)論394.2展望39 HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 參考文獻(xiàn)41 HYPERLINK l bo

6、okmark136 o Current Document 致謝45 HYPERLINK l bookmark139 o Current Document 作者簡介46摘要不變特征提取是模式識別的重要內(nèi)容，在實(shí)際應(yīng)用和理論研究方面都有重要意義。 盡管Jacobi-Fourier正交矩具有許多優(yōu)良性能，但其抗噪性能和重構(gòu)性能有待進(jìn)一步改 善；另一方面，傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換僅能用于相似不變特征的提取，無法提取一般的 仿射不變特征。為此本文考慮改進(jìn)傳統(tǒng)的Jacobi-Fourier矩和Fourier-Mellin變換。主要 工作包括：提出廣義Jacobi-Fourier矩。圖像正交矩具

7、有數(shù)值穩(wěn)定和方便重構(gòu)等特點(diǎn)，而Jacobi- Fourier 矩是傳統(tǒng)正交矩的推廣，正交Fourier-Mellin矩、Zemike矩等都是其特例，但是 傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩定義中的徑向函數(shù)僅是整數(shù)階多項(xiàng)式。本文將傳統(tǒng)Jacobi-Fourier 矩定義中的徑向函數(shù)推廣為更一般的函數(shù)，提出了廣義Jacobi-Fourier矩，傳統(tǒng)Jacobi- Fourier 矩僅是這種構(gòu)造的特例。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，廣義Jacobi-Fourier矩在選取適當(dāng)參數(shù) 的條件下具有更強(qiáng)的抗噪性能和重構(gòu)性能。提出擬Fourier-Mellin變換以提取仿射不變特征。傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換對噪

8、聲魯 棒性強(qiáng)且對伸縮和旋轉(zhuǎn)不變，因此該變換已廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域。然而旋轉(zhuǎn)和伸縮僅是 相似變換的特征，仿射變換可更合理地近似同一目標(biāo)在不同視角下的變化，本文考慮改 造傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換以提取仿射不變特征。為消除仿射變換中斜切的影響，構(gòu)造 了兩個因子并將它們嵌入Fourier-Mellin變換，提出擬Fourier-Mellin變換。所構(gòu)造因子 等效于傳統(tǒng)的白化變換，這些因子可消除仿射變換中的斜切但無需繁瑣的計(jì)算?；跀M Fourier-Mellin變換構(gòu)造了擬Fourier-Mellin描繪子，該描繪子可直接提取圖像的仿射不 變特征。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了擬Fourier-Mellin

9、描繪子是仿射不變的，并具有對噪聲的魯棒 性強(qiáng)和計(jì)算量小等特點(diǎn)。關(guān)鍵詞：不變特征，仿射變換，矩方法，Jacobi-Fourier矩，F(xiàn)ourier-Mellin變換AbstractThe invariant feature extraction is an important part of pattern recognition, which is of great significance in practical application and theoretical research. Although Jacobi-Fourier orthogonal moment has many

10、excellent perfbnnances, but the robustness to noise and reconstruction performance of it need to be further improved; On the other hand, the traditional Fourier-Mellin transform can only be used to extract similar invariant features rather than general affine invariant features. Therefore, the tradi

11、tional Jacobi-Fourier moment and Fourier- Mellin transfonn are improved to extract invariant features. The main contributions include:The generic Jacobi-Fourier is proposed. Orthogonal moments of image have the properties of numerical stability and convenient to reconstruction, while Jacobi-Fourier

12、moment is the generation of traditional orthogonal moments. Orthogonal Fourier-Mellin moment and Zemike moment are the special case of Jacobi-Fourier moment. However, the radial function in traditional Jacobi-Fourier moment is only integer order polynomial. In this paper, the radial function in trad

13、itional Jacobi-Fourier moment is extended to general function so that the generic Jacobi-Fourier moment is proposed which includes the traditional Jacobi-Fourier moment. The experimental results show that the generic Jacobi-Fourier moment is more robust to noise and has better performance of reconst

14、ruction under the condition of selecting appropriate parameters.The quasi Fourier-Mellin transform is proposed to extract the affine invariants. Traditional Fourier-Mellin transform is robust to noise and invariant to scaling and rotation so that it has been widely used in many fields. Whereas rotat

15、ion and scaling are only features of similar transformation. Images of the same object taken from different viewpoints often sutler from geometric distortions. Aifine transform is a reasonable approximation for these distortions. In this paper, we consider modifying the traditional Fourier-Mellin tr

16、ansform to extract affine invariant features. To eliminate the shearing in affine transfomi, two factors are proposed and embedded into Fourier-Mellin transform. The quasi Fourier-Me 11 in transform is proposed. The factors are equivalent to the traditional whitening transformation, which can elimin

17、ate the shearing in affine transformation without tedious calculation. Furthermore, the quasi Fourier- Mellin descriptor is proposed based on quasi Fourier-Mellin transform. The descriptor can be used to extract affine invariants of images directly. The experimental results verify that quasi Fourier

18、-Mellin descriptor is invariant to affine transform. It also shows that quasi Fourier- Mellin descriptor is robust to noise and requires less computation.Keywords: Invariant features, affine transform, moment methods, Jacobi-Fourier moment, Fourier-Mell in transform.第1章引言1.1研究目的及意義圖像的不變特征提取是模式識別的一個重

19、要內(nèi)容。隨著數(shù)字圖像處理技術(shù)的飛速發(fā) 展，不變特征提取己經(jīng)應(yīng)用到生活中的各個方面，如目標(biāo)識別1、圖像匹配2、人臉識 別34等，這給我們的生活帶來了極大的便利并對提高我們的生活質(zhì)量有著重要意義。不變特征的提取不僅有極大的應(yīng)用價(jià)值，其理論和方法的研究同樣具有較強(qiáng)的學(xué)術(shù) 意義。復(fù)雜環(huán)境下，能夠有效提取不受圖像獲取條件影響的特征，是模式識別研究的一 個重要內(nèi)容。不變特征最基本的思想是采用稱為不變量的可測度量集合來描述目標(biāo)5。 不變量需要具備以下特點(diǎn)：對于屬于同一類的目標(biāo)，不變量對于特定的形變不敏感，并 且具有數(shù)值穩(wěn)定的特點(diǎn)；對于不屬于同一類的目標(biāo)，不變量的數(shù)值之間有明顯的區(qū)分度 5o顯然，主要目標(biāo)是構(gòu)

20、造數(shù)值穩(wěn)定且有較強(qiáng)的區(qū)分度的不變量，但對不變性的要求越 高，其目標(biāo)描述能力越低；反之亦然。在基于特征的目標(biāo)識別中，如何權(quán)衡不變性和描 述能力的關(guān)系是一個非常重要的工作。除此之外，所構(gòu)造的不變特征對環(huán)境因素的魯棒 性也是值得研究的問題。不變特征的提取將圖像空間的高維特征轉(zhuǎn)化成特征空間的低維 特征，實(shí)現(xiàn)了特征維數(shù)的壓縮。因此，圖像的不變特征提取具有極大的應(yīng)用價(jià)值和較強(qiáng) 的學(xué)術(shù)意義。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀圖像的不變特征提取巳廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺等許多領(lǐng)域，是圖像匹配、檢索等方 面需解決的關(guān)鍵問題，并已引起研究者們的廣泛關(guān)注56O目標(biāo)的形狀是最重要的視覺 特征，不變特征提取的方法可被分為基于輪廓和基于區(qū)

21、域兩類7。前者的主要代表方法 有：傅立葉描繪子、小波描繪子等，它們利用目標(biāo)輪廓提取相應(yīng)特征，有計(jì)算量小的優(yōu) 點(diǎn)。但對于由多目標(biāo)組成的物體、漢字等，輪廓類方法不能有效地提取其不變特征。因 此，區(qū)域類方法更多地受到研究者們的關(guān)注，矩方法就是其中一種典型的代表。圖像矩是提取不變特征的重要方法，其可提供關(guān)于圖像不同類型的幾何特征信息。 矩的這種特征描述能力使其廣泛應(yīng)用于圖像分析的許多領(lǐng)域89o自從1962年Hu10 提出幾何矩后，相關(guān)論文大都是對傳統(tǒng)Hu矩不變量的改進(jìn)、推廣以及在各個領(lǐng)域的應(yīng) 用。更多的矩如正交矩、復(fù)數(shù)矩等被相繼提出。矩方法已得到長足發(fā)展和廣泛應(yīng)用，并 已經(jīng)成為最重要的、使用最為廣泛的

22、形狀描述子之一。1986年盛云龍11提出的Fourier- Mellin變換更是圖像矩函數(shù)理論的一個重要發(fā)展，其對噪聲魯棒性強(qiáng)且具有對伸縮和旋 轉(zhuǎn)不變等特點(diǎn)，因此該變換巳廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域。1.2.1基于Jacobi-Fourier矩的不變特征提取圖像矩可用于描述圖像的全局特征112,理論上任何矩都可以表示成幾何矩的形 式。但較大的數(shù)值動態(tài)范圍會由于上溢或下溢而丟失數(shù)據(jù)精度，正交矩正是避免了這一 點(diǎn)。正交矩具有較好的數(shù)值性質(zhì)，其可以通過遞歸關(guān)系計(jì)算，并可通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行穩(wěn)定 而快速的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。正交多項(xiàng)式的值都在一個較小的區(qū)間范圍，并且對隨機(jī)噪聲有較高 的魯棒性。此外，正交矩還具有較好的圖像重建能

23、力。綜上，正交矩巳引起研究者的關(guān)注13-18,并被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如目標(biāo)識別 19、圖像重建20、圖像水印2122等。目前最常用的正交矩是Teague6提出的Zemike 矩，這種矩具有良好的抗噪性能和較少的信息冗余；盛云龍等23提出了正交Fourier- Mellin 矩；平子良等24提出了 Chebyshev-Fourier矩。不久前，平子良等25提出了 Jacobi- Fourier 矩，這種矩是一種廣義正交矩，可用于提取圖像的旋轉(zhuǎn)不變特征，Zemike矩、 正交Fourier-Mellm矩、Chebyshev-Fourier矩等僅是其特例。Hoang等人26更進(jìn)一步研 究了 Jac

24、obi-Fourier 矩，而 Rahul Upneja 等人27又研究了 這種 Jacobi-Fourier 矩的快速 算法。盡管文25所構(gòu)造的Jacobi-Fourier矩將一般的多項(xiàng)式正交矩都作為它的特例，但傳 統(tǒng)Jacobi-Fourier矩的徑向多項(xiàng)式僅是整數(shù)階多項(xiàng)式，其抗噪性能和重構(gòu)性能有待進(jìn)一 步改善。如何構(gòu)造抗噪性能強(qiáng)，重構(gòu)性能好的圖像正交矩是值得深入研究的問題。1.2.2基于Fourier-Mellin變換的不變特征提取基于Jacobi-Fourier矩的不變特征提取方法僅能提取圖像的旋轉(zhuǎn)不變特征，而三維目 標(biāo)及其結(jié)構(gòu)由其在二維平面上的投影來表示，這已超出了平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮模

25、型的范疇。 仿射變換不僅包括平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮，還包括斜切，它能更好描述目標(biāo)在不同視角下圖 像間的變換。圖像的仿射變換是一類空域坐標(biāo)的線性變換，在攝像機(jī)與目標(biāo)間的距離遠(yuǎn) 大于目標(biāo)大小的條件下，由視角變化而產(chǎn)生的透視效果可以忽略，此時(shí)投影變換可以由 仿射變換近似代替。由于仿射變換的這一性質(zhì)，它在圖像分析領(lǐng)域變得極為重要并得到 了深入研究。-傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換對噪聲魯棒性強(qiáng)且具有對伸縮和旋轉(zhuǎn)不變等優(yōu)點(diǎn)，因此已被 廣泛用于許多領(lǐng)域。盛云龍等人11利用Fourier-Mellin變換提出了 Fourier-Mellin描繪 子，其文中指出常用的Hu矩僅是這種描繪子的特例。王晅等人35結(jié)

26、合Radon、Fourier 和Mellin變換給出了一種提取旋轉(zhuǎn)和伸縮不變特征的算法。而T. V. Hoang等人在文36 中更進(jìn)一步結(jié)合Radon Fourier和Mellin變換給出了提取對平移、伸縮和旋轉(zhuǎn)都不變的 特征提取算法，近來Fourier-Mellin變換被更進(jìn)一步用于提取彩色圖像的不變特征37- 39 o然而，上述算法僅能用于提取相似不變特征（平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮），仿射變換不僅包 括相似變換中的平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮，還包括斜切，它能更好描述目標(biāo)在不同視角下圖像 間的變換。如何利用Fourier-Mellin變換提取仿射不變特征是一個值得研究的問題。1.3本文的主要工作本文考慮圖像的

27、不變特征提取，主要研究基于Jacobi-Fourier正交矩的構(gòu)造和基于 Fourier-Mellin變換的仿射不變特征提取。正交的Jacobi-Fourier矩可提取圖像的旋轉(zhuǎn)不變特征，然而傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩中 的徑向函數(shù)只是整數(shù)階的。本文將其徑向函數(shù)推廣為一般函數(shù)，提出了廣義Jacobi- Fourier 矩，傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩僅是其特例。類似于傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩，本文所提 廣義Jacobi-Fourier矩也包括傳統(tǒng)的正交Fourier-Mellin矩并可將其推廣至分?jǐn)?shù)階。實(shí)驗(yàn) 結(jié)果表明，廣義Jacobi-Fourier矩在選取適當(dāng)參數(shù)的條

28、件下具有更強(qiáng)的抗噪性能和重構(gòu) 性能。傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換廣泛用于提取圖像的相似不變特征（包括旋轉(zhuǎn)不變和伸縮不 變），然而仿射變換不僅包括相似變換中的平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮，還包括斜切，它能更好描 述目標(biāo)在不同視角下圖像間的變換。本文考慮改造傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換，提出擬 Fourier-Mellin變換，使其可用于提取仿射不變特征，該變換實(shí)質(zhì)相當(dāng)于將白化變換嵌入 Fourier-Mellin變換中以消除斜切的影響。構(gòu)造了兩個因子（后文公式（3.16）中的（。）和 /（。），從而消除了現(xiàn)有白化變換中繁瑣的計(jì)算過程?；谒岢龅臄MFourier-Mellin變 換構(gòu)造了擬F

29、ourier-Mellin描繪子，使其可以直接提取仿射不變特征。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所 提出的擬Fourier-Mellin描繪子是仿射不變的，并且具有對噪聲的魯棒性強(qiáng)和計(jì)算量小 等特點(diǎn)。本文內(nèi)容安排如下: 第一章闡述了基于矩方法提取圖像不變特征的研究目的與國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，介紹了 本文所做工作的動機(jī)。第二章提出廣義Jacobi-Fourier矩，介紹了其定義、特點(diǎn)和性質(zhì)，并通過實(shí)驗(yàn)測試了 其重構(gòu)性能和對噪聲的魯棒性。更進(jìn)一步，詳細(xì)討論了廣義Jacobi-Fourier矩的一種特 例：分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin矩，并構(gòu)造了比傳統(tǒng)正交Fourier-Mellin矩性能更好的矩 量。第三章提出

30、擬Fourier-Mellin變換，解決了傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換不能提取仿射不 變特征的問題。所提變換既繼承了 Fourier-Mellin變換抗噪性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，又通過嵌入的 兩個因子（。）和7（。）消除了仿射變換中斜切的影響。與同類方法對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本 文所提擬Fourier-Mellin變換在選取適當(dāng)參數(shù)的條件下有更優(yōu)的性能。第四章是本文工作總結(jié)和今后工作的展望。第2章廣義Jacobi-Fourier矩2.1引言圖像矩是提取不變特征的重要方法，可用于描述圖像的全局特征l12o Hu10提 出幾何矩后，相關(guān)方法大都是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，正交矩就是其中之一。理論上任何 矩可以表

31、示成幾何矩的形式，而正交矩的引入正是因?yàn)槠渚哂休^好的數(shù)值性質(zhì)。正交矩 可以對圖像進(jìn)行重建，其基函數(shù)的正交性大大降低了信息冗余。正交多項(xiàng)式具有較強(qiáng)的 數(shù)值穩(wěn)定性，其可將數(shù)值范圍控制在一個較小的區(qū)間內(nèi)。這對于在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行數(shù)字圖 像處理是及其重要的，因?yàn)檩^大的數(shù)值范圍會造成數(shù)值溢出而丟失精度。此外，正交矩 對隨機(jī)噪聲有更強(qiáng)的魯棒性34 o如前所述，圖像正交矩有數(shù)值穩(wěn)定和方便重構(gòu)等方面的優(yōu)點(diǎn)，因此圖像正交矩已受 到廣泛關(guān)注。Teague6提出的Zemike矩是目前最常用的正交矩，這種矩具有良好的抗 噪性能和較少的信息冗余，但對于小圖像的描述能力較弱34；盛云龍等23提出了正交 Fourier-Mel

32、lin矩，其具有抗噪性強(qiáng)的特點(diǎn)；平子良等24提出了 Chebyshev-Fourier矩。 不久前，平子良25發(fā)現(xiàn)這些矩都是以徑向Jacobi多項(xiàng)式和Fourier因子作為核函數(shù)，并 得出了其一般形式，即提出了 Jacobi-Fourier矩。這種矩是一種廣義正交矩，可用于提取 圖像的旋轉(zhuǎn)不變特征。Zemike矩、正交Fourier-Mellin矩、Chebyshev-Fourier矩等僅是 其特例，通過對Jacobi-Fourier矩設(shè)置不同參數(shù)而導(dǎo)出。Hoang等人26更進(jìn)一步研究了 Jacobi-Fourier 矩，而 Rahul Upneja 等人27又研究了這種 Jacobi-Fou

33、rier 矩的快速算法。盡管文25所構(gòu)造的Jacobi-Fourier矩將一般的正交矩都作為它的特例，但構(gòu)造這種 矩的徑向多項(xiàng)式僅是整數(shù)階的。文34指出，高階矩對噪聲較敏感。本文提出廣義Jacobi- Fourier 矩，將文25中Jacobi-Fourier矩的徑向函數(shù)推廣為更一般的函數(shù)，正交Jacobi- Fourier 矩僅是本文所提方法的特例，從而所提廣義Jacobi-Fourier矩是傳統(tǒng)正交矩的更 一般推廣。本文分別從理論上和實(shí)驗(yàn)結(jié)果上證明并驗(yàn)證了所提廣義Jacobi-Fourier矩的 正交性及旋轉(zhuǎn)不變性，并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明利用所提方法可構(gòu)造出重構(gòu)性能好、抗噪性能 強(qiáng)的圖像正交矩。

34、本章內(nèi)容安排如下：第二節(jié)介紹傳統(tǒng)的Jacobi-Fourier矩，第三節(jié)定義廣義Jacobi- Fourier 矩并說明其特點(diǎn)，同時(shí)證明了這種矩的正交性及旋轉(zhuǎn)不變性，第四節(jié)給出實(shí)驗(yàn)結(jié) 果，最后是結(jié)束語。2.2 傳統(tǒng) Jacobi-Fourier 矩為引入廣義Jacobi-Fourier矩，首先介紹傳統(tǒng)的Jacobi-Fourier矩25,因其在極坐標(biāo) 系中定義，故將圖像轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式/（r,6）oJacobi-Fourier矩基于Jacobi多項(xiàng)式定義，Jacobi多項(xiàng)式定義如下:勾3火）=戶吧支（一成3*廠一工（/? + 一1）!幻（一s）!s!（q +s 1）!b“(p,q) =!(q

35、1) !2 (p g + ) ！(q + 一 1) !(p + _ 1) !(p + 2n)wn(r) = (l-r)/;_9r9_1p-q -,q 0)(2-1)(2.2)(23)則Jacobi多項(xiàng)式滿足如下關(guān)系:f G, (rX?, (r)w(ry/r = bn8nm(2.4)Jacobi-Fourier矩定義如下：媳=J。f (r,。)J&)exp(-jmO)rdrd0(2.5)其中的徑向函數(shù)”,（,）=號時(shí)）（2-6）滿足如下正交性:f九（,）4（尸）以(2.7)由此知函數(shù)系Pmn （r, 0） = J（r） exp（ jm）在0 v r 1, 00 2勿區(qū)間上滿足正交性:plo化,”

36、（崩）4,（崩）以以。=&根據(jù)函數(shù)正交理論，圖像f（r,0）可利用Jacobi-Fourier矩進(jìn)行重構(gòu):(2-8)f（r，9） = 2 n（r）exp（jm。）（2.9）n =0 m=_s文25指出,當(dāng)P、0取不同值時(shí),（2.6）式已（,）是不同的變形Jacobi多項(xiàng)式。例如： p = g = l 時(shí),尸）是 Legendre 多項(xiàng)式;p = 2,q = 3/2 時(shí),（尸）是 Chebyshev-Fourier 多 項(xiàng)式；P = Q = 2時(shí)，九（尸）是正交Fourier-Mellin多項(xiàng)式。2.3 廣義 Jacobi-Fourier 矩2.3.1廣義Jacobi-Fourier矩的定義及特

37、點(diǎn)上面提到的Jacobi-Fourier矩是傳統(tǒng)正交矩的推廣，本文將這種Jacobi-Fourier矩更 進(jìn)一步推廣為廣義Jacobi-Fourier矩，使Jacobi-Fourier矩僅是廣義Jacobi-Fourier矩的特 例。設(shè)/?（尸）是定義于區(qū)間（0,1上的連續(xù)可微函數(shù)，且/?（）的值域?yàn)椋?,1,令S(r)=l-h(r)Yqh(r)q-lhf(r)(2.10)這里方（尸）表示函數(shù)力（,）的導(dǎo)數(shù)，定義廣義Jacobi多項(xiàng)式如下:定義2.1：令G) = -yi=G“(SS(r)(2-11)G0nm =（尸,Q）G/（尸）exp（/m 1)(2.14)則這些正交矩均可推廣為分?jǐn)?shù)階的，這

38、里僅以P = Q = 2為例進(jìn)行說明。上文提到,P = g = 2時(shí)Jacobi-Fourier矩就是正交Fourier-Mellin矩（文26指出文25定義的正交Fourier-Mellin矩與23不同，事實(shí)上僅有系數(shù)的不同，本文中仍采用文25的方式），其南京信息工程大學(xué)碩士學(xué)位論文 徑向多項(xiàng)式J(r) = J2.+ 2支(I)，(+s + l)! (2.15)勺 (-s)!s!(s+l)!是,的整數(shù)階多項(xiàng)式(s均為整數(shù))。在廣義Jacobi-Fourier矩定義中，取/z(r)如(2.14)式， 則5(r) = 4trx(2.16)此時(shí)構(gòu)造廣義Jacobi-Fourier矩的徑向多項(xiàng)式為：

39、G = F(T) 尚端(2.17) 這種多項(xiàng)式是分?jǐn)?shù)階多項(xiàng)式(S、1均為分?jǐn)?shù))。也就是說此時(shí)定義的廣義Jacobi-Fourier矩 可以看作是正交Fourier-Mellin矩的分?jǐn)?shù)階推廣。類似地Zemike矩、偽Zemike矩等都 可以進(jìn)行相應(yīng)的推廣。選擇方(尸)可構(gòu)造更廣義的Jacobi-Fourier矩。文25定義的Jacobi-Fourier矩是一般多項(xiàng)式正交矩的推廣。這里定義的廣義Jacobi- Fourier 矩不僅可將傳統(tǒng)的正交矩推廣為分?jǐn)?shù)階的，還可作更一般的推廣。人(，)可以在滿 足上述條件下取更一般的函數(shù)，如：/z(r) = sin r . /z(r) = tan r等。2

40、4綜上所述，本文定義的廣義Jacobi-Fourier矩是比文25所定義正交矩的更廣義推廣。2.3.2 廣義 Jacobi-Fourier 矩的性質(zhì)上述定義的廣義Jacobi-Fourier矩滿足如下的正交性和旋轉(zhuǎn)不變性。性質(zhì)2. 1 正交性(2.18)由(2.11)式定義的GJ* (r)滿足如下的正交關(guān)系：證明：jGJ&)GJN)rdr=(頃)半(牧)羿汕Si=-= JG (A(r)Gw)(A(r)1-。(尸)h)dr=4= J G,、(/z(r)G, (/z(r)l-/z(r)r9尸)dh(r)也就是說上面定義的GJ&)滿足正交性。證畢由此性質(zhì)知，函數(shù)系GPnm(r,O) = GJn (r

41、)exp(jm6)是正交系，根據(jù)函數(shù)正交理論，函 數(shù)可由上面定義的廣義Jacobi-Fourier矩重構(gòu)：f(r,e)=文 玄 G/nmGJ (r) exp(jm。)(2.19)71=0 /W=cO后文實(shí)驗(yàn)中的重構(gòu)采用如下近似形式：N M2 G(/)n,nGJn(r)exp( jm6)(2.20)n=0 m=M其中TV和Af是正整數(shù)。性質(zhì)2. 2 旋轉(zhuǎn)不變性廣義Jacobi-Fourier矩的模G(/)llin具有旋轉(zhuǎn)不變性。證明：設(shè)圖像f (尸,。)經(jīng)過角度。的旋轉(zhuǎn)得到圖像/(尸,0) = /(展+，),該圖像的廣義Jacobi-Fourier 矩為：G初，” =Ef (r，)GJn ex(

42、- jm 0)rdrd0pl=J J/(r, 0 + 8)GJ exp(jm 3) rd rd 0=，)f (r,)GJn exp(jm9)rdrd0eg=G(b /渺r n tn因此|G$= |GQ，也就是說廣義Jacobi-Fourier矩具有旋轉(zhuǎn)不變性。證畢(2.12)式定義的廣義Jacobi-Fourier矩是復(fù)數(shù)矩，利用上面性質(zhì)可知廣義Jacobi-Fourier矩可用于提取一個目標(biāo)對象的旋轉(zhuǎn)不變特征。2.4實(shí)驗(yàn)結(jié)果本文構(gòu)造的廣義Jacobi-Fourier矩滿足正交性和旋轉(zhuǎn)不變性，因此第一部分的實(shí)驗(yàn)驗(yàn) 證圖像重構(gòu)并測試其旋轉(zhuǎn)不變性以及抗噪性能，第二部分測試分?jǐn)?shù)階正交Fourier-

43、Mellin 矩的重構(gòu)、旋轉(zhuǎn)不變性及抗噪性能。實(shí)驗(yàn)采用圖2-1所示的30個漢字圖像作為圖像庫 進(jìn)行測試，每幅漢字圖像大小為128x128。蘭史主臭史因匹亙里虺揚(yáng)場湯楊腸暢物匆乒乓圖2-1 30個漢字圖像實(shí)驗(yàn)以均方誤差來度量重構(gòu)誤差，其定義如下：K-l L-1y)-f(x, y)2MSE= (2.21)廠3, y)x=O y=O這里f(x,y)表示原圖像，f(x,y)表示重構(gòu)圖像，而K和乙表示圖像的長和寬。定義識別率如下：(2.22)_ recognizedNg其中Egmed為正確識別的圖像數(shù)，Ntest為測試圖像總數(shù)o本實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證廣義Jacobi-Fourier矩的正交及旋轉(zhuǎn)不變性。僅以儀,)=

44、/。= 0.5,1.5)、= siny rj、h(r) = tan仲尸)三種情況的廣義Jacobi-Fourier矩為例進(jìn)行說明。因?yàn)?后面關(guān)于正交Fourier-Mellin矩的討論中p = g = 2 ,所以這里僅給出？ =。= 1和 = g = 3 的廣義Jacobi-Fourier矩進(jìn)行測試。2.4.1圖像重構(gòu)僅以圖2-1中第一個漢字“甲”為例測試所提方法的重構(gòu)性能，這里采用的方法是 由40所提供的Matlab代碼改編得到，默認(rèn)重構(gòu)時(shí)M = N。表2-1給出了 N = 6, 8,10,12,14,16,18, 20, 22時(shí)上述不同廣義Jacobi-Fourier矩的重構(gòu)結(jié)果。為方便這

45、 里僅列出N = 18,20,22時(shí)的重構(gòu)均方誤差。由表2-1的結(jié)果可以看出利用廣義Jacobi- Fourier 矩可以進(jìn)行圖像重構(gòu)，從而驗(yàn)證了廣義Jacobi-Fourier矩的正交性。2.4.2旋轉(zhuǎn)不變性將圖2-1圖像庫中的每幅圖片分別旋轉(zhuǎn)5, 10, 15,-,90得到540 (30 x18)幅測試圖表2-1廣義Jacobi-Fourier矩圖像重構(gòu)徑向函數(shù)均萬誤差p = q = ih(r) = r (t = 0.5)p = q = 3p = q = ih(r) = rr (t = 1.5)p = q = 3斗中,甲甲甲甲甲甲甲斗甲甲甲甲甲甲7甲甲甲甲甲甲圖像重構(gòu)j; tp 中 甲甲甲

46、 甲甲甲=- nr勿-2r /I A甲甲甲甲甲甲中甲甲- nrp = qT勿)A(r) = tan r4 )4-甲甲甲甲0.22760.18300.15980.20800.16930.15570.16820.14800.12180.15920.14560.10930.13900.10400.07250.13130.08730.06480.19670.16820.14320.18660.15980.1307像。以p = g = l為例，分別取頃）=時(shí)、/z（r） = sin偵尸J和。（尸）=tan（f尸），N分別取 1, 2, 3, 4 , /z（r） = / 中 f 分別取0.5,1.0,1.

47、5, 2.0, 2.5, 3.0 ,以廣義 Jacobi-Fourier 矩的模作為 特征向量，并用最小距離法進(jìn)行分類。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：僅當(dāng)N = 1時(shí)所得識別率平均值為 99.82%,而N為其它值時(shí)識別率均為100%。由這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，廣義Jacobi- Fourier 矩具有旋轉(zhuǎn)不變性。2.4.3分?jǐn)?shù)階正父Fourier-Mellin矩的重構(gòu)性能與抗噪性能本文所提方法是Jacobi-Fourier矩的推廣，利用這種方法可構(gòu)造出比傳統(tǒng)正交矩性能 更優(yōu)的正交矩，這里僅以廣義Jacobi-Fourier矩的一種特例：分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin 矩為例進(jìn)行說明(P=q = 2)。如

48、文25所述，正交Fourier-Mellin矩僅是Jacobi-Fourier矩 的特例，它的徑向函數(shù)由整數(shù)階多項(xiàng)式構(gòu)造，利用本文所提方法可將正交Fourier-Mellin 矩進(jìn)行分?jǐn)?shù)階推廣。本部分實(shí)驗(yàn)對比分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin矩和傳統(tǒng)正交Fourier- Mellin矩的特性，主要包括重構(gòu)和抗噪性能，以說明利用本文方法可構(gòu)造性能更優(yōu)的正 交矩。圖2-2 30個漢字平均重構(gòu)誤差對比圖1)分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin矩的圖像重構(gòu)為測試(2.17)式徑向多項(xiàng)式所定義分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin矩的重構(gòu)性能，選f取不同值(頃.5,1,1.5, 2.5), N取不

49、同值(N = 15,16,，22)。此外，久,)還可取更一般的函數(shù)，如 /z(r) = sin號和尸)=tan|,等。將圖2-1圖像庫中的30幅漢字進(jìn)行重構(gòu)并將它們的重構(gòu)誤差(MSE)平均，所得結(jié)果列在圖2-2中。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)取/z(r) = sin|,時(shí)，利用本文方法構(gòu)造的廣義Fourier-Mellin矩的重構(gòu)效果優(yōu)于傳統(tǒng)的正 交 Fourier-Mellin 矩(/ = 1 時(shí))。2）分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin矩的旋轉(zhuǎn)不變性及抗噪性能首先將圖2-1圖像庫中的30個漢字的每幅圖片分別旋轉(zhuǎn)5。,10。,15。,90。，得到540 幅測試圖像。其次對變換后的圖像分別添加噪聲強(qiáng)

50、度為0.05、0.10、0.15、0.20和0.25 的椒鹽噪聲，取人（尸） = /, N分別取7,8,9,10,，分別取0.5,1.0,1.5,2.5。其中”） = /且 t = 1時(shí)即是傳統(tǒng)的正交Fourier-Mellin矩。識別率的結(jié)果如圖2-3所示。當(dāng)噪聲強(qiáng)度為0 時(shí)，識別率幾乎為100%,這驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階正交Fourier-Mellin矩的旋轉(zhuǎn)不變性。當(dāng)，=1.5、 7 = 2.5時(shí)，可觀察到利用本文方法構(gòu)造廣義Fourier-Mellin矩的抗噪性能優(yōu)于傳統(tǒng)的正交 Fourier-Mellin 矩。此外，也將A（r） = sin任r）和Zz（r） = tan仲尸）的結(jié)果列于圖2-3

51、中，由圖中結(jié)果也可 以看出入（尸）= tan（：r）也有較好的抗噪性能。故當(dāng)選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)A（r）時(shí)，廣義Jacobi- Fourier 矩的抗噪性能優(yōu)于傳統(tǒng)的Jacobi-Fourier矩。0. 9-0. 8-0. 70. 6、 0. 5- * 0.40. 3-0. 2-0. 1、0?-h(r) = sin(2r) h(r) = tan(|r)-h(r) = t= r-Ah(r) = r1,5-*-h(r) = r2,s00.050. 10. 150.20.25noisedegree(a) n=70. 90. 80. 70. 60. 50. 40. 30. 20. 10-h(r) = r0,

52、6 -h(r) = r -4f-h(r) = r1,6 -*-h(r) = r28-h(r) = sin(|r) h(r) = tan(|r)00.050. 10. 150.20.25noisedegree(b) n=8n0. 9-0. 8-0. 70. 6- 0.5- * 0.4、0. 3-0. 2-0. 1-0?-h(r)= -h(r) = r-4fh(r) = r1B-*-h(r) = r2,B h(r) = sin(|r) h(r) = tan(|r)00.050. 10. 150.20.25noisedegree(c) n=90. 9-0. 8-0. 7-0. 6-0. 5-0. 4

53、-0. 3-0. 2-0. 1-0?-h(r) = r0,6 -h(r) = r -/-h(r) = r1,B -*-h(r) = r25 -h(r) = sin(|r) h(r) = tan(|r)00.050. 10. 150.20.25noisedegree(d) n=10圖2-3分?jǐn)?shù)階Fourier-Mellm矩抗噪性能2.5本章小結(jié)傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩25可提取圖像的旋轉(zhuǎn)不變特征，是傳統(tǒng)正交矩的推廣，正交 Fourier-Mellin矩、Zemike矩等僅是其特例。然而傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩中的徑向函數(shù)只 是整數(shù)階的。本章提出廣義Jacobi-Fourier

54、矩，將其徑向函數(shù)推廣為一般函數(shù)，傳統(tǒng)Jacobi- Fourier 矩僅是其特例。從而這種廣義Jacobi-Fourier矩是傳統(tǒng)圖像正交矩的更一般推廣。 類似于傳統(tǒng)Jacobi-Fourier矩，本章所提廣義Jacobi-Fourier矩也包括傳統(tǒng)的正交Fourier- Mellin 矩并可將其推廣至分?jǐn)?shù)階。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，廣義Jacobi-Fourier矩在選取適當(dāng)參數(shù) 的條件下具有更強(qiáng)的抗噪性能和重構(gòu)性能。但徑向函數(shù)的選擇依據(jù)尚不明確，如何選取 更合適的徑向函數(shù)，使構(gòu)造的廣義Jacobi-Fourier矩性能更優(yōu)是今后的一個研究方向。第3章擬Fourier-Mellin變換3.1引言同一目

55、標(biāo)由不同視點(diǎn)獲得的圖像往往存在幾何形變，而仿射變換是對這些幾何畸變 的合理近似。由于仿射變換的這一性質(zhì)，它在圖像分析領(lǐng)域變得極為重要并得到了深入 研究。提取仿射不變的特征在目標(biāo)識別和配準(zhǔn)中起著重要作用57282941-49,并 被廣泛應(yīng)用于飛行器識別50-52、圖像檢索5354、水印55等許多領(lǐng)域。仿射變換是一種線性變換，該變換定義如下其中（x,yy是原坐標(biāo)，任頂），是仿射變換后的坐標(biāo)，A是仿射變換矩陣，d是位移向量。 包括旋轉(zhuǎn)、伸縮、平移變換的相似變換僅是其特例5。傳統(tǒng)Fourier-Mellin變換對噪聲魯棒性強(qiáng)且具有對伸縮和旋轉(zhuǎn)不變等優(yōu)點(diǎn)，因此該變 換已經(jīng)廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域。文34指出，

56、高階矩對噪聲更為敏感。而Fourier-Mellin變 換可廣義地看作是幾何矩到復(fù)數(shù)階矩的推廣，其文中指出常用的Hu矩僅是這種描繪子 的特例。利用Fourier-Mellin變換，可構(gòu)造任意的的復(fù)數(shù)階不變量，因此Fourier-Mellin 變換可更好地提取伸縮、旋轉(zhuǎn)不變特征，并取得了較好的效果。王晅等人35結(jié)合Radon、 Fourier和Mellin變換給出了一種提取旋轉(zhuǎn)和伸縮不變特征的算法。而T. V. Hoang等在 文36中更進(jìn)一步結(jié)合Radon Fourier和Mellin變換給出了提取對平移、伸縮和旋轉(zhuǎn)都 不變的特征提取算法，近來Fourier-Mellin變換被更進(jìn)一步用于提取

57、彩色圖像的不變特 征37-39。盡管Fourier-Mellin變換的研究如此深入，但是以上這些算法僅能用于提取相似不變 特征。然而仿射變換不僅包括平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮，還包括斜切，它能更好描述目標(biāo)在不 同視角下圖像間的變換。如何利用Fourier-Mellin變換直接提取仿射不變特征是一個值 得研究的問題。本文考慮改造傳統(tǒng)的Fourier-Mellin變換，提出擬Fourier-Mellin變換以 提取仿射不變特征。Fourier-Mellin變換及相似不變特征提取在介紹擬Fourier-Mellin變換之前，先介紹傳統(tǒng)的Fourier-Mellin變換。圖像的Fourier-Mellin變換在

58、極坐標(biāo)系中定義，因此將笛卡爾坐標(biāo)系以如下方式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系 TOC o 1-5 h z r = x2 + y2tan 0 = , 0 e 0,2)(3.2)這里為建立極坐標(biāo)系，把原點(diǎn)移至質(zhì)心。此時(shí)，仿射變換中的平移即被消除了。將笛卡 爾坐標(biāo)系中的圖像/(X, y)記為3) o圖像的Fourier-Mellin變換(FMT)定義為MF(f) = rs-lf(r,0)e-il0d0dr(3.3)其中 s = a + rioFMT非常適合用于提取伸縮、旋轉(zhuǎn)不變特征，下面分析其原因。由(3.3)式定義的FMT 也可以按如下方式計(jì)算協(xié)V) =尸/(展)辦卜9(3.4)更進(jìn)一步，記go(Q) = 廣jW)

59、dr(3.5)顯然go()是(3.4)式中徑向積分的部分。此時(shí)，(3.4)式中的FMT又可以表示為如下形式MF(f)= V gWd(3.6)因此，F(xiàn)MT可看作先進(jìn)行極徑方向的積分，再進(jìn)行極角方向的Fourier變換。由(3.5)式可以看出，沿極徑方向積分后得到go(。)，其是與，無關(guān)的量，對圖像的伸 縮變換就轉(zhuǎn)化成了對(。)的伸縮變換；因?yàn)镕ourier-Mellin變換是在極坐標(biāo)系下定義的， 所以對圖像的旋轉(zhuǎn)在極坐標(biāo)系中就轉(zhuǎn)化成了角度方向的平移。因此，旋轉(zhuǎn)可以通過對 Fourier變換取模而消除，伸縮可以被Fourier變換的直流分量規(guī)范化5657O事實(shí)上, Fourier描繪子58就是對F

60、ourier變換取模，再除以直流分量規(guī)范化，并已被廣泛用于提 取伸縮、旋轉(zhuǎn)不變特征。所以，F(xiàn)MT非常適合用于提取相似不變特征。Fourier-Mellin變換提取仿射不變特征的難點(diǎn)前文提到，F(xiàn)MT只可以提取伸縮和旋轉(zhuǎn)不變特征。而仿射變換既包括伸縮、旋轉(zhuǎn)、 平移變換，還包括了因視角變化而產(chǎn)生的斜切變換，所以我們現(xiàn)在分析FMT不能提取 仿射不變特征的原因。眾所周知，直線經(jīng)過仿射變換后還是直線。當(dāng)圖像經(jīng)過仿射變換后，沿著極徑方向 的積分含有圖像的固有特征。因此，F(xiàn)MT中沿極徑方向的積分可以提取仿射不變特征。 下面舉例說明：圖3-l(a)是一個正方形，圖3-l(d)是其經(jīng)過仿射變換得到的平行四邊形?，F(xiàn)