西大《常微分方程》 4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法4.2.4 Laplace(22P)

1、假設(shè)二 拉普拉斯變換法 /Laplace Transform /附錄1拉普拉斯變換1拉普拉斯變換定義/Definition of Laplace Transform/ 對(duì)于在上有定義的函數(shù)對(duì)于已給的一些 一般為復(fù)數(shù)存在，那么稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，記為f (t)稱為L(zhǎng)aplace Transform 的原函數(shù)，F(xiàn)(s)稱為f (t)的象函數(shù). 拉普拉斯變換法存在性/Existence of Laplace Transform/ 是分段連續(xù)的, 并且 常數(shù)假若函數(shù)在的每一個(gè)有限區(qū)間上使對(duì)于所有的都有成立則當(dāng)時(shí),的Laplace Transform是存在的。1 Definition of Lapl

2、ace Transform 例1 當(dāng)即1 Definition of Laplace Transform 例2 ( 是給定的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù) ) 1 Definition of Laplace Transform 2 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)/ Properties of Laplace Transform/ 1 線性性質(zhì)如果是原函數(shù),和是任意兩個(gè)常數(shù)(可以是復(fù)數(shù))，則有左=右2 Properties of Laplace Transform 顯然，假設(shè) 為實(shí)函數(shù)，例1 如果原函數(shù)為為實(shí)函數(shù)，那么那么2 Properties of Laplace Transform 2 Properties of L

3、aplace Transform 2 原函數(shù)的微分性質(zhì)如果都是原函數(shù)，那么有或如果在處不連續(xù)，那么理解為2 Properties of Laplace Transform 證假定成立2 Properties of Laplace Transform 證畢3 象函數(shù)的微分性質(zhì)2 Properties of Laplace Transform 另外，令3 拉普拉斯逆變換 /Inverse of Laplace Transform /象函數(shù)，求原函數(shù)也具有線性性質(zhì)3 Inverse of Laplace Transform由線性性質(zhì)可得如果的拉普拉斯變換可分解為并假定 的拉普拉斯變換容易求得，即那么

4、3 Inverse of Laplace Transform例1 求 的Laplace 反變換解3 Inverse of Laplace Transform例2 求的Laplace 反變換解3 Inverse of Laplace Transform(二)拉普拉斯變換法(求非齊次線性方程的特解 )為常數(shù)令 3 Inverse of Laplace Transform給(4.32)兩端施行Laplace Transform3 Inverse of Laplace Transform解 令例3滿足初始條件 求的特解 3 Inverse of Laplace Transform令 例 4 求 滿足初始條件 的特解 解3 Inverse of Laplace Transform3 Inverse of Laplace Transform例 5 求 滿足初始條件 的特解 令 解3 Inverse of Laplace Transform作業(yè):用Laplace Transform 求 P.146