復變函數課件：chapter2 復變函數

1、1例1 指明下列不等式所確定的點集, 是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域.2是角形域,無界的單連通域.無界的多連通域. 3到1, 1的距離之和為4的點的軌跡, 是橢圓,有界的單連通域.45例2解 滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實軸的直線, 不是區(qū)域.單連通域.6是多連通域.不是區(qū)域.78單連通域.第二章 復變函數10一、極限與連續(xù)性1.復變函數的定義: 單(多)值函數的定義: 1 解析函數11例如,12 例1:1314例2解2. 函數極限的定義:證3. 連續(xù)的定義:定理例1：(1) 多項式(2) 有理函數在分母不為零的

2、點是連續(xù)的.例2證1、 復變函數的導數定義: 函數 f (z) 在 z0 處可導, 則在 z0 處一定連續(xù).二、導數、解析函數22例1 解23例2 解 (1) f(z)=z=x-iy, 連續(xù)性顯然例3 解定義2、解析函數例5 答案：定理(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的.根據定理可知:假設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一點z=x+iy可導三、柯西-黎曼條件30可導的必要條件: 設函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy可導,則: (1)偏導數 在點(x,y) 存在;(2)u(x,y),v(x,y)在點(x,y)滿 足柯西-黎曼方程:證33定理 (可導的充要條

3、件)證(1) 必要性.(2) 充分性.推論39例 判定下列函數在何處可導, 在何處解析:解不滿足柯西黎曼方程,40四個偏導數均連續(xù)4142例 解例解44例證45例證46解析函數與調和函數的關系定義 (Laplace方程) 證明： 定義 若u與v是區(qū)域D內的調和函數且滿足C-R程， 則稱v為u的共軛調和函數 .解析函數的虛部為實部的共軛調和函數解由 C-R 方程（方法2）(0,0)(x,y)(x,0)（方法3 ） 2 初等函數(1) 多項式函數：在復平面內處處解析.2、指數函數57當z沿正實軸趨于+時， ez;當z沿負實軸趨于-時, ez0.3、 三角函數58定義 59性質: (2) 在復平面內

4、都解析(4)sinz,cosz在復數域內均是無界函數60遵循通常的三角恒等式，如61sinz的零點(i.e. sinz=0的根)為z=ncosz的零點為z=(n+1/2)n=0,1, 2,(6)624、 雙曲函數它們都是以 為周期的周期函數,多值函數多值函數的單值連續(xù)分支.支點.支點的階.選取定義域.多值函數如何得到輻角函數的單值連續(xù)分支？做法： 從支點O到支點任意引一條曲線將z平面割破，（該曲線稱為割線），在割破了的平面上，可將其分解化為無窮多個單值分支. 常用的做法： 從原點起沿著負實軸將z平面割破：zxoyG65 結論： 從原點起沿著負實軸將z平面割破,即可將輻角函數: 分成如下單值連續(xù)

5、函數：5、根式函數66根式函數 為冪函數z=wn 的反函數. (1) 根式函數的多值性. (2) 分出根式函數的單值解析分支. 1) 多值的原因：輻角函數引起 2) 解決的辦法. 加入一條從點O到點的割線將z平面割破，在割破了的區(qū)域上，可將其轉化為單值函數來研究.6、對數函數1. 定義2.計算公式及多值性說明：Argz的多值性導致w=Lnz是一個多值函數.規(guī)定：為對數函數Lnz的主值.于是：辦法：加入一條從點O到點的割線將z平面割破，特別地，以負實軸為割線將平面隔開.70性質71例解72例解737、冪函數7576例解例 解：分析：1. 可能的支點為:0,1, 考慮只圍繞0點的閉曲線L,當z逆時針沿 L運動一周，讓Arg(z)，Arg(1-z)連續(xù)變化，則Arg(z)取值增加 ，而Arg(1-z)回到初始的取值. 當z沿 L轉4周，則Arg(z)