《數(shù)學(xué)分析》中極限問(wèn)題及淺析

1、數(shù)學(xué)分析中極限問(wèn)題的淺析極限理論是數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科的基礎(chǔ)，極限方法是數(shù)學(xué)分析的基本方法，通過(guò)極限思想、借助極限工具使數(shù)學(xué)分析內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，可以說(shuō)，極限貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)分析的始末，學(xué)好極限十分重要。完整的極限理論的建立，依賴于實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，即實(shí)數(shù)系的所謂連續(xù)性，我們已經(jīng)熟悉的單調(diào)有界原理，就是連續(xù)性的一個(gè)等價(jià)命題。極限問(wèn)題類型很多，變化復(fù)雜，解決極限問(wèn)題在數(shù)學(xué)分析中更顯得尤為重要。這里舉一些比較典型的實(shí)例，希望從中歸納出解決極限問(wèn)題的方法。下面舉例說(shuō)明求解極限問(wèn)題的若干方法，其主要是根據(jù)極限的定義、運(yùn)算法則和性質(zhì)、定理，以及數(shù)學(xué)上的其他知識(shí)和技巧。一 求數(shù)列極限（一） 利用迫斂性定理求極限首先說(shuō)明

2、迫斂性定理1求極限，這是一種簡(jiǎn)單而常用的方法。lim例1、證明 （1） (a 0)lim （2）證明： （1）當(dāng)a = 1時(shí)，等式顯然成立。 (hn 0) 當(dāng)a 1時(shí)，令 則：a = (1 + hn )n = 1 + nhn + 由迫斂性定理 故0 hn limhn = 0limlim 即： (1 + hn) = 1limlim1lim= 1當(dāng) 0 a 0 （2） 設(shè) n = (1 + hn)n = 1 + nhn +即： 0 hn lim由迫斂性定理得 hn = 0(1 + hn) = 1limlim 從而： lim 例：求極限 令 即：en 由迫斂性定理可得：lim 從而：由連續(xù)函數(shù)定義知

3、：lim 極限定義是判定極限是某個(gè)數(shù)的充要條件，因此有時(shí)要用到它的否定形式2，現(xiàn)敘述如下：（二）單調(diào)有界原理求極限單調(diào)有界原理是判定極限存在的重要法則，雖然它不能判定極限是什么數(shù)，但許多問(wèn)題當(dāng)斷定極限存在時(shí)，極限值是不難求出的。例：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列 收斂于a的充要條件是存在子列 使得a 證：不妨設(shè)設(shè) 是單調(diào)遞增數(shù)列，必要性顯然。則： 充分性：若 對(duì)任意的 ，存在k0 ，當(dāng)k k0 時(shí)：1Xnk a1 = a Xnk 0, xn(n=1、2、)為由以下各式：(n =0、1、2，)x0 0, lim所確定的數(shù)列，求證 證：由假設(shè)x0 0, 又由算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系得：（n=1、2、）（n=1、

4、2、）lim由單調(diào)有界原理，則： 將lim從上面幾個(gè)例子中看出，在某些數(shù)列的極限問(wèn)題中，由數(shù)列各項(xiàng)間的遞推關(guān)系，由單調(diào)有界定理可以比較巧妙地證明極限的存在。并計(jì)算出極限。（三）柯西收斂準(zhǔn)則求極限下面舉例說(shuō)明柯西收斂準(zhǔn)則4的應(yīng)用。證明數(shù)列 xn 是收斂的。 證明：（n = 1、2）（n = 1、2）可歸納得到：對(duì)任意的m n ,故： xn 是柯西數(shù)列，從而它是收斂的。例：判斷數(shù)列解：設(shè) m n,這時(shí)：10m-n = 10n+1 2(N+1)由柯西收斂準(zhǔn)則，知數(shù)列 an 發(fā)散?？挛魇諗繙?zhǔn)則在證明極限的存在性上有很重要的意義，在此，給出柯西收斂準(zhǔn)則的否定形式，便于應(yīng)用?？挛魇諗繙?zhǔn)則否定形式： 有正整

5、數(shù)mN, nN存在，盡管mN, nN N , （四） 定積分求極限由于定積分5是積分和的極限，故此，某些和式問(wèn)題可以化為定積分的計(jì)算，使運(yùn)算得以完成。在這里，僅舉幾例，來(lái)說(shuō)明這種求極限的方法。 （n等分.取右端點(diǎn)）。 在運(yùn)用這一方法時(shí)，要巧妙轉(zhuǎn)化，找出其積分原型，并發(fā)現(xiàn)其積分區(qū)間，（一般為0，1），恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。（五） 施篤茲定理求極限 定理6，下面給出定理和它的兩個(gè)難論： 定理：（stolz定理） 1)存在N0為自然數(shù)，當(dāng)n N0時(shí)，yn+1 y 遞增 .解：由stolz定理：從而二、求函數(shù)極限在前面，我們主要針對(duì)數(shù)列極限的求解作了詳細(xì)地論述，接下來(lái)，我們來(lái)看一下函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系。一般函數(shù)的極限可以歸結(jié)為數(shù)列的極限。（一） 羅畢塔法則求極限（二） 利用兩個(gè)重要極限求極限在函數(shù)極限的證明和計(jì)算中，除可以用以上各種方法外還可用其他方法。如利用兩個(gè)重要極限，進(jìn)行計(jì)算：（三） 求分段函數(shù)的極限對(duì)于分段函數(shù)9的極限，在討論此類極限的存在時(shí)，要先求出分段點(diǎn)處的左右極限，再由此進(jìn)行判斷該點(diǎn)的極限是否存在。在本文的最后，給出函數(shù)極限的施篤茲定理：設(shè)T為正常數(shù)，若函數(shù)滿足： (1) g(x+T)g(x)(2) 求極限在數(shù)學(xué)中是一重要問(wèn)題和研究工具。其在幾何學(xué)和生活中都有重要應(yīng)用。本文在確定了論題之后，圍繞著論題作了大量細(xì)致深入的調(diào)