八年級數(shù)學(xué)（下冊）_10.5_分式方程分式方程復(fù)習(xí)指導(dǎo)素材_(新版)蘇科版

1、WORD5/6分式方程一、課標(biāo)要求1、了解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程。2、了解產(chǎn)生增根的原因，會檢驗(yàn)一個數(shù)是不是分式方程的增根。3、能將實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示，體會分式方程的模型思想。4、通過實(shí)際問題抽象、概括分式方程這一“數(shù)學(xué)化”的思想，培養(yǎng)我們努力尋找解決問題的方法的進(jìn)取心，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。一、知識網(wǎng)絡(luò)二、知識要點(diǎn)回顧1、分式方程的概念分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。分母中是否含有未知數(shù)是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是區(qū)分分式方程和整式方程的依據(jù)，如和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程)。判斷一個方程是不是分式方程，應(yīng)

2、看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)，而不是含不含有宇母。如方程（a是常數(shù)，且a0，x是未知數(shù)）就不是分式方程。2、分式方程的解的意義使分式方程左右兩邊相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。注意：由于分式方程都可以化為一元一次的整式方程，故它的解至多一個，也可能無解；可用代入法檢驗(yàn)一個數(shù)是否是分式方程的解，或進(jìn)一步確定待定常數(shù)。3、如何解分式方程？（1）解分式方程的基本思想“轉(zhuǎn)化”思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化為整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。（2）解分式方程的步驟：分式方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，它是通過去分母實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的。主要步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系

3、數(shù)化為1，檢驗(yàn)。因?yàn)榻夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根，所以解分式方程最后一步“檢驗(yàn)”，檢查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。 4、去分母的技巧去分母是解分式方程的第一步，也是關(guān)鍵的一步，當(dāng)分式方程中分式的分母是一次式時，可直接確定最簡公分母，方程兩邊同乘以最簡公分母后實(shí)現(xiàn)去分母；當(dāng)各分式的分母中有二次式時，要先進(jìn)行因式分解，再確定最簡公分母，然后再去分母。5、“增根”是怎樣產(chǎn)生的？解分式方程時，由于在方程的左右兩邊同時乘含有未知數(shù)的公分母(含未知數(shù)的整式)，得到了一個整式方程，從而使原分式方程中未知數(shù)的取值圍擴(kuò)大了。對于分式方程，當(dāng)分式中分母的值為零時沒有意義。所以分式方程不允許末知數(shù)取那些使分母

4、的值為零的值。即分式方程本身隱含著分母不為零這一條件，當(dāng)我們通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程時，這種限制被取消了，于是就可能出現(xiàn)使原分式方程的分母為零的根，即“增根”。因此，在解分式方程時必須驗(yàn)根。6、驗(yàn)根的方法：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以驗(yàn)根是必要的。驗(yàn)根的方法有兩種：一種是把求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，這種方法道理簡單，而且可以檢查解方程時有無計算錯誤；另一種是把求得的末知數(shù)的值代入最簡公分母，看分母的值是否為零，如果使最簡公分母為零，那么這個解就是原方程的增根，故必須舍去。這種方法比較簡便，但不能檢查解方程過程中出現(xiàn)的計算錯誤。 7、注意的問題：把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整

5、式方程的條件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“關(guān)鍵”步驟。用分式方程中各項(xiàng)的最簡公分母乘方程的兩邊，從而約去分母。但要注意用最簡公分母乘方程兩邊各項(xiàng)時，切勿漏項(xiàng)。解分式方程可能產(chǎn)生“增根”的情況，那么驗(yàn)根就是解分式方程的必要步驟。8、列分式方程解應(yīng)用題的方法步驟：（1）審：弄清題中涉與哪些量？已知量和未知量各有幾個？量與量之間的基本關(guān)系是什么？（2）設(shè)：設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；設(shè)未知數(shù)，找出盡可能多的相等關(guān)系，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量。注意，所設(shè)未知量的單位要明確。（3）列：抓住題中含有相等關(guān)系的語句，將此語句抽象為含有未知數(shù)的等式，這就是方程（4）解：求出所列

6、方程的解；（5）驗(yàn)：用分式方程解決實(shí)際問題時，必須進(jìn)行檢驗(yàn)。這里的檢驗(yàn)應(yīng)包括兩層含義，第一，檢驗(yàn)得到的根是不是分式方程的增根；第二，檢驗(yàn)得到的根是否符合實(shí)際問題的題意。（6）答：寫出答案。三、思想方法：類比和轉(zhuǎn)化的思想。四、常見誤區(qū)提示（一）忽視檢驗(yàn)例1 解方程錯解：去分母，得解這個整式方程，得所以，原方程的解為點(diǎn)評：錯誤的原因就是沒有驗(yàn)根，這是與解整式方程最大的區(qū)別，也是同學(xué)們最容易出現(xiàn)錯誤的地方，大家應(yīng)該引起注意。正確解答：在添加檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)就可以拉。經(jīng)檢驗(yàn)，得：能夠使原方程的分母得0，所以，是增根，舍去，故原方程沒有實(shí)數(shù)根。（二）檢驗(yàn)方法不正確例2 解方程錯解：去分母，得 解這個整式方程

7、，得 檢驗(yàn)：把代入中， 左邊=右邊 所以，是原方程的解。點(diǎn)評：本解答看似進(jìn)行了驗(yàn)根，但由于驗(yàn)根的方法不對，應(yīng)把所求得的整式方程的根代入所乘的最簡公分母或代入原方程中去，而不能代入由分式方程化簡后得到的整式方程中去檢驗(yàn)。正解解答：去分母，得 解這個整式方程，得 檢驗(yàn)：把代入原方程，原方程無意義，故是增根，原方程無解。（三）忽視分子為零例3 解方程錯解：方程兩邊分別通分并整理，得由于等式左右兩邊都是分式，而且這兩個分式的分子相等，所以分母也應(yīng)該相等，故有解之，得檢驗(yàn)：把代入原方程，原方程左、右兩邊的值相等，所以，是原方程的根點(diǎn)評：兩個分式相等，可能是分子、分母分別相等，還可能是分子的值等于零（此時

8、，分母的值可以相等，也可以不相等）。上面的解答就忽視了“分子為零”這種情況，從而導(dǎo)致了失根。正解：方程兩邊分別通分并整理，得當(dāng)時，得；當(dāng)時，則有解之，得經(jīng)檢驗(yàn)知，都是原方程的根。（四）考慮問題不全面例4 若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值圍是（ ）ABC且D且錯解：把方程的兩邊同時乘以，得： 解這個方程，得 因?yàn)榉匠痰慕鉃檎龜?shù)，所以0，則1 故當(dāng)1時，原方程的解為正數(shù)點(diǎn)評：以上錯解沒有考慮是否為原方程的增根的情況，我們應(yīng)當(dāng)從1的圍排除能使為增根的的值。正解：把方程的兩邊同時乘以，得：解這個方程，得 原方程的增根只能是x=1，當(dāng)=1時，得 m=1所以，當(dāng)m=1時，才是原方程的根又因?yàn)樵匠痰慕?/p>

9、為正數(shù)，所以，0，則1 綜上所述，當(dāng)且時，原方程的解為正，故選擇D。（五）沒有真正理解分式方程有“增根”的含義例5 若關(guān)于x的方程1=0有增根，則a的值為。錯解：原方程可化為 （a1）x+2=0，所以，x=因?yàn)?，方程有增根，所以x1，即1，所以，a1分析：方程有增根應(yīng)是分母為0的x值，即x=1，而不是x1。正確解答：原方程可化為 （a1）x+2=0，而原方程的增根為使x1=0的x的值，即x=1，把x=1代入得a=1點(diǎn)評：當(dāng)我們通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程時，出現(xiàn)了使原分式方程的分母為零的根，即“增根”，因此，在解答有關(guān)“增根”問題時，應(yīng)該把增根的值代入原分式方程的分母中來解答。（六）去分母時漏乘不含分母的項(xiàng)例6 解方程錯解：去分母，得x=2+3，即x=5檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時，x-30所以x=5是原方程的根。點(diǎn)評：去分母時，整數(shù)2漏乘最簡公分母x-3。正確解答：去分母，得x=2(x-3)+3,x=2x-6+3 解這個方程得x=3把x=3代入x-3=0，x=3是原方程的增根。所以原方程無解。（七）解分式方程錯符號例7解方程 錯解：方程兩邊同乘以最簡公分母3（x+2）（x2），得：3（x+2）=3（x2）-6-x，以下步驟略。點(diǎn)評：去分母時有兩處錯誤：方程左邊一項(xiàng)乘以