信號與系統(tǒng)教案第7章 系統(tǒng)函數(shù)

1、第七章 系統(tǒng)函數(shù) 7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)收斂域與極點(diǎn)的關(guān)系四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.3 信號流圖7.4 系統(tǒng)模擬一、直接實(shí)現(xiàn)二、級聯(lián)實(shí)現(xiàn)三、并聯(lián)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第七章 系統(tǒng)函數(shù)7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，即 A(.)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點(diǎn)；B(.)=0的根1，2，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點(diǎn)。 將零極點(diǎn)畫在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。 例例：已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如示，并且h(0+)=2。求H(

2、s)的表達(dá)式。解：由分布圖可得根據(jù)初值定理，有7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性二、系統(tǒng)函數(shù)H()與時域響應(yīng)h() 沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點(diǎn)確定。 下面討論H(.)極點(diǎn)的位置與其時域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1連續(xù)因果系統(tǒng) H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。 （1）在左半平面 若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p= (0)，則A(s)中有因子(s+)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-t(t) 7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性(b) 若有一對共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-j，則A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)

3、(t) (c) 若有r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其響應(yīng)為Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1) 以上三種情況：當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。 （2）在虛軸上 (a)單極點(diǎn)p=0或p12=j，則響應(yīng)為K(t)或Kcos(t+)(t)-穩(wěn)態(tài)分量 (b) r重極點(diǎn)，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+2)r，其響應(yīng)函數(shù)為Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)遞增函數(shù) 7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性（3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。 綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)

4、確定。 H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于0。 H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。 H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于。 7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性2離散因果系統(tǒng) H(z)按其極點(diǎn)在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。根據(jù)z與s的對應(yīng)關(guān)系，有結(jié)論： H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k時，響應(yīng)均趨于0。 H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增

5、的。即當(dāng)k時，響應(yīng)均趨于。 7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性三、系統(tǒng)函數(shù)收斂域與其極點(diǎn)之間的關(guān)系根據(jù)收斂域的定義，H()收斂域不能含H()的極點(diǎn)。例：某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1) 若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);(2) 若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);(3) 若系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，求單位序列響應(yīng)h(k);解 (1) |z|3，h(k) =(-0.5)k + (3)k(k)(2) |z|0.5，h(k) =-(-0.5)k - (3)k(-k-1)(3) 0.5|z|3，h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k(-k-1)7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng) 1

6、、連續(xù)因果系統(tǒng) 若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)均在左半平面，則它在虛軸上(s=j)也收斂，有H(j)=H(s)|s= j ，下面介紹兩種常見的系統(tǒng)。 （1）全通函數(shù) 若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)| H(j)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。 凡極點(diǎn)位于左半開平面，零點(diǎn)位于右半開平面，并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。 7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性（2）最小相移函數(shù) 右半開平面沒有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。 解釋見p336 2、離散因果系統(tǒng) 若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則它在單位圓上(|z|=1)也收斂，有H(ej)=H(z)|z= ej ，式中=

7、Ts，為角頻率，Ts為取樣周期。 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、因果系統(tǒng) 因果系統(tǒng)是指，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)不會出現(xiàn)于f(.)之前的系統(tǒng)。 連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng) h(t)=0,t0 離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：單位響應(yīng) h(k)=0, k0 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義 一個系統(tǒng)，若對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 即，若系統(tǒng)對所有的激勵 |f(.)|Mf ，其零狀態(tài)響應(yīng) |yf(.)|My，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。 （1）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 若H

8、(s)的收斂域包含虛軸，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 若H(z)的收斂域包含單位圓，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的系統(tǒng)。 例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1)若為因果系統(tǒng)，求h(k)，并判斷是否穩(wěn)定。 (2) 若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k). 解 (1)為因果系統(tǒng)，故收斂域?yàn)閨z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不穩(wěn)定。 (2)若為穩(wěn)定系統(tǒng)，故收斂域?yàn)?.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件可簡化為 （3）連續(xù)因果系

9、統(tǒng) 因?yàn)橐蚬到y(tǒng)左半開平面的極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)為衰減函數(shù)。故，若H(s)的極點(diǎn)均在左半開平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 （4）離散因果系統(tǒng) 因?yàn)橐蚬到y(tǒng)單位圓內(nèi)的極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)為衰減函數(shù)。故，若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性例1：如圖反饋因果系統(tǒng)，問當(dāng)K滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)G(s)=1/(s+1)(s+2) 解：設(shè)加法器的輸出信號X(s) X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=1/(s2+3s

10、+2-k)H(s)的極點(diǎn)為為使極點(diǎn)在左半平面，必須(3/2)2-2+k(3/2)2, k2，即當(dāng)k2，系統(tǒng)穩(wěn)定。 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性例2：如圖離散因果系統(tǒng)框圖 ，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍解：設(shè)加法器輸出信號X(z) X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z) Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z) H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點(diǎn)必須在單位園內(nèi)，故|a|0，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的條件為：a10，a00 例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅

11、斯陣列： 2 12 2 1 8 02 8.5 02第1列元素符號改變2次，因此，有2個根位于右半平面。 注意：在排羅斯陣列時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個元素為0或某一行元素全為0，這時可斷言：該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性例2 已知某因果系統(tǒng)函數(shù) 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？ 解 列羅斯陣列 33 1+k(8-k)/31+k所以， 1k0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后一個元素的絕對值。 特例：對二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A

12、(-1)0 a2|a0| 7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15209-210 5641 ， 154 ， 20956 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 (-1)4A(-1)=50排朱里列表A(1)=107.3 信號流圖7.3 信號流圖 用方框圖描述系統(tǒng)的功能比較直觀。信號流圖是用有向的線圖描述方程變量之間因果關(guān)系的一種圖，用它描述系統(tǒng)比方框圖更加簡便。信號流圖首先由Mason于1953年提出的，應(yīng)用非常廣泛。 信號流圖就是用一些點(diǎn)和有向線段來描述系統(tǒng)，與框圖本質(zhì)是一樣的，但簡便多了。 一、信號流圖 1、定義

13、：信號流圖是由結(jié)點(diǎn)和有向線段組成的幾何圖形。它可以簡化系統(tǒng)的表示，并便于計算系統(tǒng)函數(shù)。 2、信號流圖中常用術(shù)語 7.3 信號流圖(1)結(jié)點(diǎn)： 信號流圖中的每個結(jié)點(diǎn)表示一個變量或信號。 (2)支路和支路增益：連接兩個結(jié)點(diǎn)之間的有向線段稱為支路。每條支路上的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）F(s)H(s)Y(s)即用一條有向線段表示一個子系統(tǒng)。 (3)源點(diǎn)與匯點(diǎn)，混合結(jié)點(diǎn)： 僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（或輸入結(jié)點(diǎn)）。 僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（或輸出結(jié)點(diǎn)）。 有入有出的結(jié)點(diǎn)為混合結(jié)點(diǎn) 7.3 信號流圖沿箭頭指向從一個結(jié)點(diǎn)到其他結(jié)點(diǎn)的路徑稱為通路。如果通路與任一結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次，

14、則稱為開通路。若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)（與其余結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次），則稱為閉通路。相互沒有公共結(jié)點(diǎn)的回路，稱為不接觸回路。只有一個結(jié)點(diǎn)和一條支路的回路稱為自回路。 (5)前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開通路稱為前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘積稱為前向通路增益。回路中各支路增益的乘積稱為回路增益。 (4)通路、開通路、閉通路（回路、環(huán)）、不接觸回路、自回路：7.3 信號流圖3、信號流圖的基本性質(zhì) （1）信號只能沿支路箭頭方向傳輸。支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。 （2）當(dāng)結(jié)點(diǎn)有多個輸入時，該接點(diǎn)將所有輸入支路的信號相加，并將和信號傳輸給所有與該結(jié)點(diǎn)相連的

15、輸出支路。如：x4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6= ex4（3）混合結(jié)點(diǎn)可通過增加一個增益為1的出支路而變?yōu)閰R點(diǎn)。 7.3 信號流圖4、方框圖流圖 注意：加法器前引入增益為1的支路 5、流圖簡化的基本規(guī)則： （1）支路串聯(lián)：支路增益相乘。 X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并聯(lián)：支路增益相加。 X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X17.3 信號流圖（3）混聯(lián)： X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X27.3 信號流圖（4）自環(huán)的消除： X3=H1X1+H2X2+ H3X3所有來向支路除1 H37.3 信號流圖例：化簡下列流圖

16、。注意化簡具體過程可能不同，但最終結(jié)果一定相同。 解：消x3消x2消x4消自環(huán)7.3 信號流圖二、梅森公式 上述化簡求H復(fù)雜。利用Mason公式方便。 系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為： 稱為信號流圖的特征行列式 為所有不同回路的增益之和； 為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和； 為所有三三不接觸回路的增益乘積之和； i 表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號 Pi 是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益； i 稱為第i條前向通路特征行列式的余因子 。消去接觸回路 7.3 信號流圖例 求下列信號流圖的系統(tǒng)函數(shù) 解 (1)首先找出所有回路： L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)求特征行列式 =1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5(4)求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3 (3)然后找出所有的前向通路： p1=2H1H2H3 p2=H1H4 7.4 系統(tǒng)模擬7.4 系統(tǒng)模擬對框圖也可利用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)。Maso