119班-最短路徑問題

1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題解放巖中學(xué) 119班 看圖思考：為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了 禁止踐踏愛護(hù)草坪兩點(diǎn)之間，線段最短2、如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？ 兩點(diǎn)之間,線段最短.A.B.A.B.A.B.A.BCCCCB(1)(2)(3)(4)討論：以下四種方案，你認(rèn)為那種方案AC+BC最?。坎⒄f明理由作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求 .B.BA.ClCA.A.Bl將軍飲馬問題： 兩點(diǎn)之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)

2、學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題： 將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是被稱為將軍飲馬而廣為流傳的問題。P兩點(diǎn)之間線段最短. 根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中 馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：將軍飲馬：A -P- B. 例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B， 途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？ AB河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對稱：最短路徑問題垂線段最短。兩點(diǎn)之間，線段最短。LAB

3、ABLC問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬 問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知BAl追問1這是一個實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將A，B 兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線 探索新知BAl（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地

4、點(diǎn)與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和； 探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個動點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時， AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D） BAlC追問1對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長度相等？ 探索新知問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)

5、C 是直 線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最?。?BlA追問2你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點(diǎn)B嗎？ 探索新知問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時，AC 與CB的和最??？ BlA作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對稱 點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交 于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求 探索新知問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？ BlABC探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？ BlABC證明：如

6、圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？ BlABCC探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？ BlABCC證明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小 探索新知BlABCC追問1證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C

7、不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ 探索新知追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？ BlABCC 問題：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短 請你自己動手 試一試！練一練例2變式：已知：P、Q是ABC的邊AB、 AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R， 使PQR的周長最短嗎？兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對稱：草地河邊.駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地 OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A，問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN(

8、三)二次軸對稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)A，A；連接A，A，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求3.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C

9、處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)C關(guān)于直線 OB 的對稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOBC 證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接點(diǎn)D,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對稱， 點(diǎn)G.H在OA上，DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（兩點(diǎn)之間，線段最短），即CG+GH+HCCM+CN+MN即CM+CN+MN最短AOB. .E

10、DMNGH例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部4. 如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線 OA 的 對稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)D關(guān)于直線 OB 的對稱點(diǎn)點(diǎn)E, 3.連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH證明：在直線OA 上另外任取一點(diǎn)G，連接點(diǎn)F,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對稱，點(diǎn)G.M在OA上，GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四邊形EFGH中，F(xiàn)G+GH+HEFE（兩點(diǎn)之間，線段最短），即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短FAOBD CEMNGHABA/B/PQ最短路線：A P Q BlMN問題 2 （造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab解決問題 2 作圖