橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)秀課件公開課

1、2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程仙女座星系星系中的橢圓一、橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)(F1、F2 )，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距|F1F2|.1、橢圓的定義： 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。M幾點(diǎn)說(shuō)明：1、F1、F2是兩個(gè)不同的點(diǎn)；2、M是橢圓上任意一點(diǎn)，且|MF1| + |MF2| = 常數(shù)；3、通常這個(gè)常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a2c；4、如果2a = 2c，則M點(diǎn)的軌跡是線段F1F2

2、.5、如果2a |F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓。因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不是橢圓 (是線段F1F2)。(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。因|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不存在。如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1、F2，并且點(diǎn)O與線段F1F2的中點(diǎn)重合.設(shè)點(diǎn)M(x, y)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c0). 焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是 (c, 0)、(c, 0)又設(shè)M與F1和F2的距離的和等于常數(shù)2a|MF1|MF2|2a2. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：講授新課OXYF1F2M如圖所示：

3、 F1、F2為兩定點(diǎn)，且|F1F2|=2c，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為定值2a（2a2c)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。 解：以F1F2所在直線為X軸， F1F2 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則:|MF1|+ |MF2|=2aOXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因?yàn)?a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其

4、中b0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時(shí)除以a2b2得：(ab0)這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上。(ab0).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且c2a2b2.它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)講授新課講授新課 如果使點(diǎn)F1、F2在y軸上，點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)是F1(0,c)、F2(0, c)，則橢圓方程為：(ab0).如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？ 橢圓的方程兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：與 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大； 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大橢圓的方程aA1yOF1F2

5、xB2B1A2cb橢圓方程的幾何意義：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義圖形方程焦點(diǎn)a、b、c之間的關(guān)系F1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)b2=a2c2分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪一根坐標(biāo)軸上 答:在 x 軸上(-3,0)和(3,0）答:在 y 軸上(0,-5)和(0,5）答:在y 軸上(0,-1)和(0,1)焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。判定下列橢圓的焦點(diǎn)在 哪個(gè)軸上，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在 x 軸上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 或 例題講解例、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4, 0 )、( 4 , 0 )，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 12yoFFMx解： 橢圓的焦點(diǎn)在x軸上設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 課堂練