線性代數(shù)線代課件3.5向量空間

1、3.5 向量空間一、向量空間的概念二、向量空間的基與維數(shù)三、空間向量的坐標(biāo)四、基變換與坐標(biāo)變換(1) 若有(2) 若有設(shè) V 是 n 維向量構(gòu)成的非空集合，滿足定義則稱集合 V 為向量空間。(1) 定義表明向量空間對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算是封閉的，注(2) 一個(gè)向量空間中必然含有零向量。一、向量空間的概念1. 向量空間的定義或者說(shuō)對(duì)線性運(yùn)算是封閉的。 P91 定義 3.8 例如(1) 設(shè)集合 V 由全體 3 維向量構(gòu)成，因此集合 V 是一個(gè)向量空間，任意兩個(gè) 3 維向量之和仍是 3 維向量；任意一個(gè) 3 維向量的數(shù)乘仍是 3 維向量，記作(2) 一般地，由全體 n 維向量構(gòu)成的集合是一個(gè)向量空間

2、，(3) 特別地，僅由零向量構(gòu)成的集合也是一個(gè)向量空間。由于如無(wú)特別說(shuō)明，后面均在實(shí)數(shù)域中討論。注記作例判別下列集合是否為向量空間.（是）（是）（是）（是）（不是）（不是）一、向量空間的概念1. 向量空間的定義2. 子空間定義設(shè) U, V 均為向量空間，且 U V，特別地，稱下面兩個(gè)子空間是 V 的兩個(gè)平凡子空間，則稱 U 是 V 的子空間。 0即僅由 V 中的零向量組成，即由 V 中的所有向量組成。 P92 定義 3.9 因此 V 是向量空間。解對(duì)于 V 中的任意兩個(gè)向量有一、向量空間的概念1. 向量空間的定義2. 子空間3. 生成的向量(子)空間定義由向量組 的所有線性組合得到的向量集合一

3、定構(gòu)成一個(gè)向量空間，記為或稱 L 為 所生成(或張成)的向量空間 .問(wèn)題 反過(guò)來(lái)，一個(gè)向量空間是否可由“少量”幾個(gè)向量生成？P92 例17 例其中(1)(2)其中 可見(jiàn)， 或 雖然由三維向量組成，只是三維空間中的“平面”或者“直線”。幾維空間呢？但實(shí)際上，它們那么它們到底算是由此可以引出向量空間維數(shù)的概念。(稍后,稍候) 同理可得證設(shè)即故則 a 為 的線性組合，又 為 的線性組合，故 a 為 的線性組合，設(shè)向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組為例則 與 等價(jià)，因此有 可見(jiàn)，上述向量空間雖然是由 r 個(gè)向量 生成，但其中有些向量是“多余”的, 它一定可由“更少量”的幾個(gè)向量生成。由此可以引出向量空間基的概念

4、。二、向量空間的基與維數(shù)稱 r 為向量空間 V 的維數(shù)，設(shè) V 是向量空間, V 中的 r 個(gè)向量 滿足定義(1) 線性無(wú)關(guān)，(2) V 中任一向量都可由 線性表示，稱 為向量空間 V 的(一個(gè))基，記為此時(shí)，稱 V 為 r 維向量空間，且有 P92 定義 3.10 (似 曾 相 識(shí)) (1) 只含有零向量的向量空間的維數(shù)約定為 0。說(shuō)明(2) 若把向量空間 V 看作向量組, 的極大線性無(wú)關(guān)組, (4) 注意區(qū)分向量的維數(shù)與向量空間的維數(shù)。例如，是由三維向量構(gòu)成的二維向量空間。(3) 一個(gè)向量空間的基可能不惟一，但維數(shù)是惟一的。二、向量空間的基與維數(shù)定理若 dim V = r , 的一個(gè)向量組

5、都是 V 的一個(gè)(組)基。那末 V 的基就是向量組V 的維數(shù)就是向量組的秩。則由 V 中的任意 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量構(gòu)成 P93 定理 3.8 已知 求 V 的基與維數(shù)。例解(1)為 V 的(一組)基，V 的維數(shù)為 dim V = 2 .(2)也為 V 的(一組)基。三、空間向量的坐標(biāo)設(shè) 是空間 V 中的一組基，定義對(duì)任意的 有稱 為向量 a 在基 下的坐標(biāo)。一個(gè)向量的坐標(biāo)是惟一的。(參見(jiàn)P80, Th3.2) 注 P94 已知 是 中的一組基，例是中的另一組基，求向量 在這兩組基下的坐標(biāo)。(1)解故 a 在基 下的坐標(biāo)為(2) 令有故向量 a 在基 下的坐標(biāo)為由于基本身也是空間中的向量，因此

6、不同的基可以相互同樣, 向量在不同的基下的坐標(biāo)也可以相互轉(zhuǎn)換.轉(zhuǎn)換。四、基變換與坐標(biāo)變換1. 基變換矩陣定義設(shè) 是向量空間 V 中兩組基，存在矩陣 使得稱 C 為基 到基 的過(guò)渡矩陣，也稱 C 為基變換矩陣。 P95 定義 3.11 令已知?jiǎng)t有 對(duì)基變換矩陣 (過(guò)渡矩陣)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)(1) 基變換矩陣的構(gòu)成記為可見(jiàn)， 為 在基 下的坐標(biāo)。(2) 基變換矩陣的可逆性根據(jù)矩陣秩的不等式有 對(duì)基變換矩陣(過(guò)渡矩陣)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)記則有可見(jiàn)，基變換矩陣為可逆矩陣(或滿秩矩陣)。故 為基 到基 的過(guò)渡矩陣。反過(guò)來(lái)，任給可逆矩陣令則 一定為向量空間中的另外一組基。思考(后面舉例)四、基變換與坐標(biāo)變換1. 基

7、變換矩陣2. 坐標(biāo)變換公式或定理設(shè) V 中基 到基 的過(guò)渡陣為 C，由 有由坐標(biāo)的惟一性，向量 a 在兩組基下的坐標(biāo)分別為 X , Y ，則有證明已知或即得 P95 定理 3.9 (1) 由 到 的過(guò)渡陣；例已知 中的兩組基求(2) 求向量 在 下的坐標(biāo) .解(1) 由 到 的過(guò)渡陣為故向量 a 在 下的坐標(biāo)為(2) 已知向量 在 下的坐標(biāo)為由 到 的過(guò)渡陣為(1)解(1) (1) 由 到 的過(guò)渡陣 C ；例已知 中的兩組基求(2) 求向量 在 下的坐標(biāo) .注意正好是可逆方陣故向量 a 在 下的坐標(biāo)為(2) 已知向量 在 下的坐標(biāo)為由 到 的過(guò)渡陣為(1)解(1) 已知0其中要證明 為空間 V 中的一組基，只需證 線性無(wú)關(guān)。注意 C 是可逆的 P97 例21 修改方法一故 線性無(wú)關(guān)。令