【優(yōu)質(zhì)版】2020合工大數(shù)二超越五套卷解析（一鍵打印版）

1、全國碩士研究生入學(xué)考試(數(shù)學(xué)二)模擬試卷一參考答案一、選擇題：18小題，每f小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合 要求的請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.由題意可知lim工一 0ax n( + 乂)x + bsinz存在.而(1)已知乂 = 0是函數(shù)/&)二二處一Jnf+z)的可去間斷點(diǎn)，則方的取值范圍是().x 十 bsinz(A) a = 1, b為任意實(shí)數(shù) (C)b=1, a為任意實(shí)數(shù) 答案選(D).(B)a#l, b為任意實(shí)數(shù)(D)b=1, Q為任意實(shí)數(shù)lim竺二冒土應(yīng)o x 十 bsiiirax 一 (x 一) + o(z3)limzf。 x + b

2、x一ez3)+o(j?)(q - l)z + -y-jc2 一 +尤3 + 0(工3 )=lim(1 + b)龍j;3 + o(jc3 )6所以只有當(dāng)b# 1時，該極限存在，選(D).方程席。 = 0的實(shí)根個數(shù)為()1(B) 2(C) 3(D) 4答案選(B).解 令/(jc) = J嚴(yán)曲曲，顯然/( 1) = 0 ,故力=一 1為一個實(shí)根.又因為牝是奇函數(shù)，由積分的奇偶性可得/(I) =0 ,故鼻=1也為一個實(shí)根.由于 f jq = xosx，當(dāng) z v o 時，fa) 1工-1無-*11yflyf 1(A)正確.記 x 1 = 1 =，貝!Ji- /(乞，夕)一 2z + 2夕 =；” /

3、XI + %,】 + ，)一于(1,1) 一 2無 + 20 = 1 出 GrIK一1嚴(yán)耙(3+ (心)2夕-*10從而lim 2B + 23 = ,故金=2工一2ZX+ o(q) 結(jié)合可微分的必要條件，所以(B),(C) 口 丿( + (心)2正確.(D)選項不正確.由(B)知f,y)在點(diǎn)(1,1)處不取極值.f( J；/)*化為極坐標(biāo)形式的二次積分為().(A)P/(r)rdrJ 0 J 0f arctanJ?CJ?(B)d9 fMrdrJ 0J 0(D)Cardan/?J 0d9/(r)dr答案選(E).解積分區(qū)域如圖1所示.設(shè)A是三階非零矩陣，滿足A2=O.若線性非齊次方程組Ax =

4、b有解，則其線性無關(guān)解向量的 TOC o 1-5 h z 個數(shù)是().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4答案選(C).解 由于A是三階非零矩陣，則r(A) $ 1 .又由于A? =O,知r(A) + r(A)3,即r(A)0 X尤一0 LJ 0答案填el.解 由題設(shè)/&)連續(xù)，及l(fā)im皿 =1得于(0) = 0,#(0) = 1.x*0 0C原式=!呼如器旨山1 +右:)町=沁血啟匕占J： 口)蚪罕 LejlimJ Lexplim/ TOC o 1-5 h z i jr2ln(l+jc)0 JC4I 4/=exp (lim 廣務(wù))丨=exp (lim于(0 ) = e萬.(lo Z x

5、)I z-*o Z丿設(shè)函數(shù)夕由方程b2工=2卍確定，則夕=夕&)的拐點(diǎn)為答案填“(一1,0)”.解法一2yy 一 2 = 2eyy,即yyf 一 1 = ez;y2 + yyf = e/2 +e 込；3$夕 + yyw = e/3 + 3e，3/夕 + 己$令=0,由得3/2=e2.再由知“工。，所以卍=1,得夕=0代入原方程得h= 1,代入得 = 最后將 2= 1,夕(一1)=0,j/( l) = 1,(一 1)=0 代人j/(一 1) = 1工0,故 y = y(x)的拐點(diǎn) 為( 1,0).解法二 將原方程化為允=;/則驚=夕一2, j = l ey,器=2.令気f = ，得夕=0,進(jìn)而有

6、無(0) = 1及器|= 一 1工0,所以x = -y2ey的拐點(diǎn)為(0, 1).再利用反函數(shù)的性質(zhì)知=夕&)的拐點(diǎn)為(一1,0)已知方程:=siruz + cosz的解均為方程y + y +ay = /(x)的解，其中a為常數(shù)，則fix)答案填“ cosh sin# ”.解 y y = sinjc + cosz 的通解為 y = Cex + sinjc，故對任意的 C , y = Ce- + sinx 為 yf + y + ay = /(jr)的解，所以 y = 為 y + 3/ + a=0 的解，代入得 a = 0 . y = sinx 為 yf + ay=/(J7),即 y + 3/ =

7、 fO 的特解，代入得 fO = COSJC sinx .或直接在/ +夕=siaz + cosz兩邊對x求導(dǎo)，并與y + y + ay = /(x)對比后即得a = 0 , =cosz sinx .設(shè)n = z(x,y)由方程卩(qn by ,bx cz ,cy ax) = 0確定，其中cp具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，貝U答案填“ b ”.嘟宇+加加窪加=0,窪=喲二如i，同理得拿=処二更，故dxdxdx acpx C(p2oy a(p c(p2dz I dz J dx dy已知三階矩陣A的特征值為1,2,3,/&) = X3 -6x2 +11-5，則/(A) = _ 答案填“E”.fl解 /(A) =

8、 A3 - 6A2 +11A- 5E, P AP=A =，則7(1)00 、10OPJ(A)P=/XA) =0f(2)0=010、00f3、001,000=E,03,心2(0)解法二 lim工0-J /(Odz/(0)心)_/(Q)2/2(0) *=黑恤石皿二隹 了 z J /Xr)ck + 力/(乂)心)一于(0)7?0)1/(Q)/(Q)于(0) /(0) +/(0) 2/2(0)6分所以 f(A)=E.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.(本題滿分10分)設(shè)/XQ可導(dǎo)，且/(0)工0(I)證明當(dāng)力0時，：/()曲/(

9、0)工.占丁 ; ( m )設(shè)尸(乂)連續(xù)，且 /(0)#0,如果當(dāng) hHO 時，f* f(t)dt = j：f(O , f(t)dt 燈()Jo0其中W介于尤與0之間.求lim .z-0(I )證 由于 lim = lim =/0)工0,所以當(dāng) 2 0 時，/(z)dz /(0)乂rO X.101J 0對(0) fCt)dt =limJoz-*0(HI) 解 lim - = lim/()= Hm *0) 一一lim *(必 苴中(”解 忸/()&好()吧 *(0)四 寸(0)_ !懸嚴(yán)(0)其中 4介于W與0之間.當(dāng)7 0時，0,“一 0.因為fS連續(xù)，且/(0)工0 ,故 lim_-M 皿

10、曲 一 =M(0) 嚴(yán)(0)汨* 2/2(0)-010分所以 lim =.z-o x Z(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)于(Q在(一8,+s)內(nèi)有定義.(I)若/XQ在點(diǎn)如 處可導(dǎo)，并取得最值，證明（如）=0； （U）若小為周期T （T0）的可導(dǎo)周期函數(shù)，證明存在&,使得 y7（&）=y7（&）=0.證（I）如果*2）在點(diǎn)氐處取得最大值，任取Zo+ZU：,有/（To+zz）W/（Ho）,所以A （如）=Hm 心+ 叮心。）$0, /； 5） = lim 色吐鋁二wo.zlr-*O_Azf（）+又*允）在如可導(dǎo)，故有fl化（心）=尸（氐），從而”（氐）=0 TOC o 1-5 h z 如果/&）在點(diǎn)如處

11、取得最小值，同理可證嚴(yán)（0）=05分（D）由于*2）可導(dǎo)，所以*刃在o,T上連續(xù)，因此于&）在o,口上取得最大值和最小值.又因為蘆（小為周期為T的周期函數(shù)，所以/Q）在0,T）取得最大值和最小值，因此存在 &eO,T）,使得于（&）為于Q）的最大值,/（&）為/Q）的最小值由（I）的結(jié)論可知/（?!）=尸（&）=010分（17）（本題滿分10分）設(shè)之=好& 夕,班砂2）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階導(dǎo)數(shù)，且 卩（冗）滿足lim卑嚴(yán)二! = 1 ,求|TI （x 1）dxdy I（1,1）解券=+巧字/；3分舟君 =/!（一1）+形卩22夕+述丹1 （一 1）+咒2卩2力如+ xy2（p_fn （

12、1）+處2卩 2xy2+y2 fz（pf 2xy + 2xy（p fi= f+ 4工屛 f； /ll + 2 工2 ）3 gf ； + 2/）32 兀 + （ 2 允2_ xy2 ） f；2 .7 分又因為卩（龍）滿足凹警弓=1，故卩（1）= 1，/ =0, /（D = 2，從而.字子|=丹（0,1）并（0,1）+4形（0,1）10分oxoy I（1,1）(本題滿分 10 分)設(shè) OVVl.證明(I) ln(l+QV；霽#； (U) (l + )l + )i/(l)=O.10分故/（攵）單調(diào)增加，所以 /（）/（1）=0,故以n（l + g）+gln（l+H）Vln4（19）（本題滿分10分）

13、求j去三歹曲,其中D為2且z孑1的部分.解由對稱性知jj乙2 j-飛尹曲=0 2分d丿記D為D的上半部分，原式=忖打場乜昇歷仙 =CdC 7，rdr = 1： (cos20_d)d0 弋十d卜誠 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document = *(0+*sin20)|：呂胡：=f -I。分(本題滿分11分)設(shè)連續(xù)函數(shù)于(工)滿足于Q) = z + 2f(l &乜)于()曲.(I)驗證/Q)滿足嚴(yán)&)+”&)2于&) = 1 ,且/(0) = 0,/(0) = 1 ；(U)求于&).證法一由于/(J；) = 2 + 2 f(t)d

14、t 一 2e_x f ef/(z)dit ,J 0J 0可知fa)可導(dǎo)，且L JoJo由知 2ex f e/()dz = x + 2 .代入上式得J 0J 0= l+z + 2 于(t)d 于&)由知 fG)二階可導(dǎo)，且 f () = 1 + 2/(j:) f (工)，即 f(J7)+ f (x) 2/(jc) = 1 .又由得/(0) = 0，由得/(0) = 1.7分證法二由于/(jc) = z + 2 2ex e(f(t)dt ,J 0J 0= 1 + 2/(x) + 2 e_x f efCtydt L= 1 + 2e_x . 3 分可知 /(jc)可導(dǎo)，且 exf(x) = xex +

15、 2ex f 2 ef()dr 兩邊求導(dǎo)，得J 0J 0+= (1 + J：)ex + 2ex J fCt)dt + 2exf(x)2exf(ix) ,3 分化簡得/(j?) + f (jr) = 1 + jc + 2 j*再兩邊求導(dǎo)，得 fO + f &) = 1 + 2/(j?),即 f (z) + f G) 一 2/(jc) = 1 .又由得AO) = 0，由得/(0) = 1.7分(U)解 由r()+/()-2/a)= l知對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+r-2 = 0,解得特征根為 心=1,廠2 = 2,故可設(shè)/ =3將其代入上式即得/ =一因此嚴(yán)Q)+”(Q2/&) = 1的通解為

16、f (力)=Ge” 十 C2e2x 由 /（0）= 0/（0） = 1 得 C = -|,C2 =，所以 /（）=彳于一寺嚴(yán).11 分36362（21）（本題滿分11分）求函數(shù)f（x9y） = x2 +V +型+ 2在區(qū)域D上的最大值與最小值，其中D 丁 21為y + y *6一1）和夕= 1 （0 元W 2）組成.2 1在+= 1 (y 2c 1)上，+ 4b + + 2 = 乂+ 6 .= y + 2x = 0+ 6 + A(jc2 + 4y2 4),由 y L； = * + 8Xy = 0 得駐點(diǎn),+ 4 j/2 4 = 0(舍去)，在夕=一1 (0乂2)上，4；/ + 巧+ 2 = j

17、? 5力 + 6,由薯=5(力一1)得 無=1,夕=一 *，且片1，一 *) = ，一 1) = /(2,0) = 6 .綜上，*1夕)在D上的最大值為7，最小值為2 .(+3尤3 +5如=0 ,10分分(22)(本題滿分11分)設(shè)線性齊次方程組Ax = Q為工22+2口=0,在此方程組基礎(chǔ)上添 l2jCi X2 +允3 +34 0.加一個方程2jci +ax2 4j?3 +4 = 0,得方程組Bx=0. ( I )求方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系和通解；(U ) 問a9b滿足什么條件時,Ax = 0與Bx = 0同解.(I)解1035、行035、行1035、行1030、A =1-1-220-1

18、一 5-3z0153Zz0150、2-113,、0-1-5T,、0001,、000丄r-3基礎(chǔ)解系為=通解為工=銘，任意ken-51、0 0 0 010 5q ,11分10 5q = 0,即a=29b為任意實(shí)數(shù)時，兩方程組同解.解法二 將Ax = 0的基礎(chǔ)解系代入Bx = 0中，得一6 5a 4 = 0,從而a=2.rl030、rl030、rl03O0150行0150行01500001000100012-2-4b.0-2-10b, r(A) = 1,則得A的三個特征值為tr(A) ,0,0,即 1,0,0.4-1r由 AB = O, B =113，知入2=入3=0對應(yīng)的的特征向量為仇=102,

19、攵1允2xx +x2 +x3 =0,，由 .取Qi =I 1 十$2 0 ,rT、1,么3 =1丄、0 1、1設(shè)Ai 1對應(yīng)的的特征向量為Zi 將1 ,02，。3單位化，得， 乃2 =21 Is (B) hI3 I2 (C) I2 I3 A (D) I3 Ji I2 答案選(D).(cosjt sinj?)dj7，故當(dāng)0 Vjc sinz,所以 I2.又當(dāng) 0 VzV 號時，tanj?sinx 9/(jc)0,故 I3厶(5)設(shè)函數(shù)于(九,了)在點(diǎn)(他，加)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足B2 - AC 0y_0(D) lim/(j：90) = lim/(0,3/)答案選(D).解 因為/(

20、D)在點(diǎn)(0,0)處一階偏導(dǎo)存在，故fSy)在(0,0)點(diǎn)關(guān)于工連續(xù)，同理關(guān)于，也 連續(xù)，即 lim/(x,0) = lim/(0= /(0,0)，故選(D).工_ 0歹0設(shè)A為m Xn矩陣,m老n, b為m維列向量，貝!J下列結(jié)論若r(A) = 7Z ,則Ax = b必有解;Ax = 0與ATAx = 0必同解；若r(A) = m ,則Ax = 必有解;ALix = ATb必有解中正確的個數(shù)是( ).(C) 2(D) 3(A) 0(B) 1(C) 2答案選(D).解 正確.若r(A”)=加，則r(AwXn) = r(AmXn，&) = m ,故Ax = b必有解；正確見強(qiáng)化班講義或同濟(jì)教材；

21、正確.因為 r(ATA)Wjr(ATA,AG)Wr(AT(A)Wr(AT)=r(A),由知玖直) =,A),則ArAx=ATb必有解.設(shè)同為九階實(shí)對稱矩陣，則相似的充要條件為().(A) A,B等價(B) A,B合同| AEA | = | AE |(D) A,B的正負(fù)慣性指數(shù)相同答案選(C).解為實(shí)對稱矩陣，其相似的充要條件為特征值相同，即丨AEA | = | AEB | 故選(C).二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.設(shè)連續(xù)函數(shù)y =夕(允)滿足夕(工)+ 1 =dt，貝！J夕=J x y 一t答案填“ 一(2刃寺”.解 兩邊對允求導(dǎo)，得y =F，所以

22、密丄工=b為一階線性方程解得y 一 xQy y =丿旳(J 甘丿旳 巧 +(；)=+C),由*)= 1 得 C = 0 ,故 7 = -j-j/3，即 y = (2z)寺.已知夕=G +C2sin + e (其中C ,C2為任意常數(shù))是某二階線性方程的通解，則該微分方程為答案填“/ + tanjc 夕 =e(l + tanrr)解 設(shè)該方程為y + P)y +Q()y = fd 根據(jù)二階線性的方程解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)可知, 力=1 ,夕2 = sinju 是方程 y + Pxy + Q(x)y = 0 的解，代入后解得 P(z) = tanx, Q(z) = 0.又 / =于是該方程的特解，解得

23、/(x) = e(l + tanx)，所以該方程為y + tanxy = ex(l + tanj?)設(shè)F&) =2 chf(u)du，其中/(x)為連續(xù)函數(shù)，則lim 拄單=J 尸 J - lrwZf 0 X答案填“2/(0)”.解先交換F&)積分次序得F(e) = J dz/ J _uf(u)dv = J /(zz) (1 一 eM) Au ,所以 FQ) = fa2)(l-e2) 2lim 呼=丄.工巾= 2/(0).設(shè)函數(shù)/&) = & R)sin2血，其中刃為取整函數(shù)，則嚴(yán)。)(羅)=.答案 填“ 100 (2兀嚴(yán)”.解法一 當(dāng) x G (1009,1010)時，/(jc)=(力 一

24、1009) sin27rx ./(100) (jc) = (h 1009)(27r)isin(27X + 100 號)+ 100 (27r)99sin2x + 99 號)，于(。)(羅)=100 (2兀)99 .號）+ 100 （2兀）99 sin（27rr + 99 號解法二 由于于&)是周期為1的周期函數(shù)，故/(r + D = 2)。進(jìn)而對于任意的尤w (0,1)以 及正整數(shù) n , /(100)(工 + 兀)=/(100)(允).當(dāng)(0,1)時，幻=0,/(x) = Jcsin2r，所以/(100) &) = 2 (2兀)】叫5(2心 + 100 嚴(yán))(羅)=嚴(yán))(壬)=10()第兀)9

25、9 .11 尹，”V0,的反函數(shù)為廣1(尤)，貝叮廣Odz =J oex 9 x 0答案 填“ 21n2 3”.解法一經(jīng)計算得廣1 (x)=鼻V 1,所以解法二J 廣i(z)cLr=一 J dj? + J nxAx = 2 /1 x | + jc(lnjc 一1)：=2 + (21n2 一 1) = 21n2 3.2fl2fx (JC)drE = 廣y-1 (x)djc .0J 0J 1y = rl(Q r_oj_i夕氏幾夕)=廣 1 (z)cLz0fln2=J yey d3/ = 21n2 一 12y =廣 1 (無)fln2廣(無)dr= ydfCy)1J 0所以 J 廣i (z)cLc

26、= 21n2 一 3 .,112、4-r-121,B =2k、011,、2(14)設(shè)人=，若存在矩陣C，使得AC = B，則k =答案填“ 一2”.解 由題意知的列向量組由A的列向量組線性表示，從而r(A)=r(A ; B),1124-r行1124-1、行1124_、-1212kp0336k-10112-1、0112、0112-1 、000 i1 0k2(A : )=，故怡=2.三、解答題4523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.(x = tsin 久(15)(本題滿分10分)設(shè)曲線L的參數(shù)方程為(0/=2兀).(I )求L的參數(shù)方程3=1

27、 COS確定的函數(shù)夕=夕&)的定義域；(n)求曲線l與龍軸圍成的平面圖形繞夕軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體 體積匚；(皿)設(shè)曲線L的形心坐標(biāo)為&,),求叢解(I)因為dd) = l COS0,且1 cos = 0的點(diǎn)不構(gòu)成區(qū)間，所以e(t)在0,2兀上連續(xù)單 增，因此夕=夕&)的定義域就是允的值域，即為久(0)山(2兀)=0,2力3分(II ) V)=2zr xy(x)dx = 27r ( sin)(l cosit)2dzJ 0J 0f 27T7T=2兀(1 cos)2 2兀 sin(l cosiDckJ 0J nC2rc= 2?rJ (丫一2 方cos + cos紅)d= 6兀3._ y()J/(

28、)+ J/ (t) dt(HI) =J 4(t) + J2 (r)曲2tt3a/2|(1 cosz) dt 32/32兀(1 一 cost) yCl cos)2 + sin2 droa/(1 cos/)? + sinL dr0J 0a/1 cost dt10分（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)z =之（力,夕）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，變換u = ax+y9 v = x + by，把 方程 4-牛鄉(xiāng)=0化為=0，試求Q,的值.dx 4 .dy6dudvm dzdz . dz d 2 Z解齊=元+元狂d 2 2：- a dudvd2z dv22 d 2 z | Q 9 2 z i d 2 z麗十 證十而

29、4分同理薛= + 2&塞+聲券由務(wù)-+券=。知， （一+）薛+2制塞+（】-存）券1 1 1 1再由題設(shè)知 = 0, 1 b2 = 0, 2a b 工 0,故 a = y, b =一 2 或 q卜心210分(17)(本題滿分 10 分)設(shè) 0 oo并求此極限.證 因為 xn = I max,tdt jcn_idt = xn-x，所以數(shù)列xn 單調(diào)遞增.J 0J 0假設(shè)o v i i,貝gxn = jomaxM_i 9tdt =八九_1(1 + tdt = jj_! + y n-i= * + 1.由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意的力W W，有0 九1,所以數(shù)列九單調(diào)有界一定存在極限. 設(shè)limxn = a

30、得到a = +寺；，解得q = 1 ,所以lim九=18CiCi-*OO10分（18）（本題滿分10分）設(shè)D：01, 0夕1，計算二重積分I =允+ ;yln： ；dz旳，其中D為取整函數(shù).解法一 D 由 x + y = 1 分成兩部分 D：0e +，1, D2：lWz + yV2. 在Di上，允+夕=0 ；在1)2上，攵+丿=1 ,所以I = JJln ； ；(lzdy = JJln(7 + Ddjcd jjln(jc + Ddrcdj/ ,D2 D2 D26分其中l(wèi)n(jz + l)dzdy = dj/ ln(j/ + Ddjc =j/lnCj/ + l)d3/JJJo J 1-yJ 0D

31、2(夕 + l)dj2=掃 ln( 1 + y) | ；寺J：鳥dy | ； = #,jjln(jc + Ddjrdj/ = J Az ln(jr + l)dj/ = J xnx + l)dy = -|- 故 I = JJln= 0 .解法二 D 由 x + y = 1 分成兩部分 D：0Wz + yVl, D2 ：1+ y 0 , fO 單調(diào)遞增；當(dāng) z & （3,1）時，f 3 VO,/（re）單調(diào)遞減;當(dāng) h (l,+oo)時，f3 0,/()單調(diào)遞增.又 /( 3) = 6e-3 ,/(1) =一 2e, lim /(x) = 0, lim /(jc) =+ oo，所以當(dāng)k V 2e時

32、，方程（* 3） koTx = 0沒有實(shí)根；當(dāng)怡6e-3及k =一 2e時，方程（無？ 3） kex = 0僅有一個實(shí)根； 當(dāng)一 2eVW0及k = 6L3時，方程（x2 3） k,亍 =0有兩個實(shí)根;10分當(dāng)0 V怡V 6e-3時，方程 3）鳳一* = 0有三個實(shí)根.（20）（本題滿分11分）設(shè)炮彈以初速度譏且與水平線成a角從炮口射出，如果空氣的阻力與速度 成正比，比例系數(shù)為k，其中k0，炮彈質(zhì)量為m，求當(dāng)k = mg時，炮彈飛行過程中的最高高度（其中 g為重力加速度）.解 以炮彈的射出點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，設(shè)夕=夕（）為炮彈在飛行過程中的/時刻縱向位移函 數(shù)，依題知及牛頓第二定律得到關(guān)于夕

33、0）的二階微分方程為所以對應(yīng)的齊次方程少+ &寄=0的通解為Y = G + C2e .非齊次方程害+ g亨=g的一個特解可設(shè)為/ =心，代入方程得A =1 ,所以通解為Y = G + C2e-gi t由初始條件得所以y = yCt) = (1 + Dosina) 一 一(1 + 7?osina)e_gr gg又 0,令卩()= +g(x)2= f f2 (jc)djr + 2i /(jc)g(jc)dj?+ g29J aJ aJ aJ a則卩()為二次多項式，且對VW( *,+*),均有卩(C$0,因而有2 /(jc)g(jc)dj：-| 4 f f2(ix)dx g2(jc)dj：W0,J

34、aJ aJ a即J /(z)g(E)cLr wj f2 Cx)dx J g2 (j?)djr. f2f g2 (j?)dj:,則 F(q)=0,且 J qJ aF(/) =2/Xr)g(t) f /(jc)g(j;)djc /2 () g(Qclr g?()f f2 (x)dx= LfWgCx)-g(t)/(j;)2djc0 ,所以F(b)F(a)=0,即得J /(j7)g(jc)djc| w f2 (jr)djr J g2 (jr)dj;.證法三記D：aWWb, aVWb,則由輪換對稱性知f2(J7)djr g2 (x)dx= f f2 (jc)djc f g2 (y)dy= ff f2 (

35、jr)g2 (y)dxdy=f2 Cy)g2 (jc)djrdj/,J aJ aJ aJ aJJJJ TOC o 1-5 h z DDJ 嚴(yán)(無)dzj g2(N)dz =*于2(無)g2(y)+g2(z”2()dzd；y Df(x)g(y)g(jc)f(y)dxdy= Jf fCy)g(y)dyDa即JW f2 (x)dx g2 (jc)djc.(U ) J xfxAxbrbrbx2 f(x)dx= x2 fQxAx.=f(jc)g(x)dx f f(x)g(x)dx =11分(本題滿分11分)已知三階方陣A滿足關(guān)系式A22AB=E.12 0(I)證明 AB=BA； (1)若8 =，求秩 r

36、(AB-2BA + 3A).0 3a、005證 (I )由 A2-2AB=E 得 A(A 2B)=E,故 A】=A 2B,從而(A2B)A = E,故 AB=B4.5分(H )由(I )知 AB2BA + 3A = 3A-AB=A(3E-B)，由于 A 可逆，從而r(AB-2BA + 3A)=r(A(3E-B)=r(3E-B) = 2.11 分(23)(本題滿分11分)設(shè)A是三階實(shí)對稱矩陣，|A| = 12, A的三個特征值之和為1,且 a= (1,0,2)丁是方程組(A* 4E)x=0的一個解向量.(I)求矩陣A； (U)求方程組(A*+6E)x=0的通解.解 (I)由Aa = 4a得Aa

37、= 3a,所以a=(l,O,2)丁是A的對應(yīng)特征值A(chǔ)3 = 3的特征向量； 設(shè)A的另外兩個特征值為右，入2，則|A1 + *九解得右=入2 =2.右入2 入3= |A| =-12,設(shè)Al =A2 = 2對應(yīng)的特征向量為兀=(允1 口2 ,力3)丁，由正交性得尤1 2 =0,其基礎(chǔ)解系為 7分gi = (0,1,0)丁，2 = (2,0,l)T.0 Z10 、Xr2，貝！J P AP=A =22-3，所以10 2 A = PAP = 020.、2 0 2,(II) (A* +6E)x = 0 ,得(4V +6A)x = 0，則有(A 2E)x=0，其通解為x=k, (0,1,0)丁+爲(wèi)(2,0,

38、1)丁，k19k2 為任意常數(shù).U 分全國碩士研究生入學(xué)考試(數(shù)學(xué)二)模擬試卷三參考答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要 求的請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)乂一 0時，下列無窮小中與分同階的無窮小是( ).& 一 1fsiaz 2fjr-siaz -一 dt (C) (er -l)dz (D)(A) 111(1 +產(chǎn))曲(B) 答案選(B)l COSZ eZ d0t1COSH0tJ 0J 0解 lim 0同理可得,x2limzf 0eeg _ i. sing1 COSJC=y，選(B).ln(l +產(chǎn))曲lim .Kf

39、OX.ln(l +)3f* sirLX2i. Jo(1)曲(申，工 一 )cosz . sin2jccosjtlim7 = lim2 = lim工0JC尤03 JCjt*03 uCx3 4jtsiaz /COSZ dt/7;、Hm jo _ cosCh 一 sinz)(丄cosz)工一oxz(2)設(shè)/(j?)在z = 0處二階可導(dǎo)，/(0)3x20,若1血/(刃十門2小=1,則().x-osmx(B) /(0)是fS的極小值(D)以上結(jié)論均不正確(A)yxo)是/&)的極大值(C)(o,/(o)是曲線 g 的拐點(diǎn)答案選(B)解 因為 lim sinx = 0，所以+ 尸(2z) = /(0)

40、+/(0) = 0，又因為 /(0) = 0 ,所以x-0/(0) = 0，則lim 心)+3 = iim 色2 + iim 0，所以/(0)是 g 的極小值，選(B)解 hsiz為一個特解，則該微分方程有特征根1 土 i；工為一個特解，則該微分方程有特征根0(至少二重)，于是該方程至少為4階，對應(yīng)特征方程為廠一廠一 (1 i)r2 = 0 ,即/ 2異+ 2廠2 = 0，故該微分方程至少為4階，方程為夕一2Z + 2/ = 0 .設(shè)n為正整數(shù)，g = sinVck，則(B) /&)必為有界函數(shù)(D)當(dāng)n為奇數(shù)時，g 為周期函數(shù)sinVdr .(A) 必為偶函數(shù)(C)當(dāng)兀為偶數(shù)時，為周期函數(shù)

41、答案選(D).f卄2兀r xfCx + 27r) = sinhdz = sirf7d +J 0J 0rr tv當(dāng) n 為奇數(shù)時，sintd = sinck = 0 ,故 /(x + 2兀)=f(x),選(D).設(shè) D = (z,y) | j? + 3/ W 1,11Dxy | Ax Ay ,I2 =JJ(e+，- l)dxdy , D則三者大小依次為()(A) I. I2 I3 (B) IT I3 I2 (C) I3 It J2 (D) I3 I2 Ii 答案選(C).解 由于ln(l+ |l)0,Jo答案填“2”.解 由于fix）連續(xù)，故FO）可導(dǎo)，且FQ） = /（j;）, 當(dāng)力V1時，F(xiàn)

42、J）遞減，F(xiàn)Q）為凸函數(shù)；當(dāng)一1 V允V 0時，F(xiàn)Q）遞增，F(xiàn)Q）為凹函數(shù)；當(dāng)z0時，F(xiàn)J 遞減，F(xiàn)Q）為凸函數(shù)；故點(diǎn)（一1,F（ 1）和（0,F（0）為曲線y = FQ）的拐點(diǎn).設(shè)0= (尤,夕)| b 1，則二重積分JJ(cos2jc + sin2)drd3/ = .D（14）設(shè)為三階矩陣，A相似于，右=1,入2 = 1為A的兩個特征值，又B1 I =*，則3E)TOO+(-丹)(A_3E)t3分解|A| = | =3,從而入3 = 3為A的特征值，故A-3E的特征值為一4,2,6.|A3E| =48,| (A-3E)1 | =一寺B* +（-jB） =B* -4B- = |B|B -4B

43、 =-B 1 , | B l =-y. 原行列式=點(diǎn)x（ *）=擊,故應(yīng)填擊三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)/（*,，）=力+丿I0,x2 y2 = 0.證明（1）&,丿），（d）存在；（U）在點(diǎn)（0,0）處尤（如夕），&,夕）不連續(xù)，但可微分.j?2sin 0證 (I ) (0,0) = lim = 0，同理，(0,0) = 0.由對稱性,（H）沿直線夕=7,有上述極限不存在，所以（心夕）在點(diǎn)（0,0）處不連續(xù).同理，（廠夕）在點(diǎn)（0,0）處不連續(xù).7分因為I 心，4 *0,0) |(j

44、? + j/2 )sin 2 T=00 + 03/ + 0( ,所以/(工,夕)在點(diǎn)(0,0)處可微分.10分x1,1無o +limF&)= limF(z)=F(0), 得 G=G=F(O).6 分22允， 一lWeVO,綜上F（Q=G,+ J? + h + G，1 2 nx x 0由于 Fl （0） = limz0_OVrrgl y（l + 1） = 1.2允卄1 0,3分故由歸納法原理知，對任意自然數(shù)72, 1(72 = 2山，).由于所以數(shù)列如單調(diào)遞增.由前所證知1 ,故丄1 1(72 = 1,2,)，從而有Xn 0CX -r (乞2 ) + (乞3 乞2 ) + +(J7n 力”_1

45、) 0，則嚴(yán)(血)=lim= lim0，所以在&QQOC工 0 H JCq內(nèi)_(L 0 .可得f(jr)在氐的左右兩側(cè)異號，故QoJ&o)為曲線y = /(rr)的拐點(diǎn).5分X 一 Xq(U)由極限的性質(zhì)有+/&) = 0 = F(0) + 廠(0) = 03 嚴(yán)(0) =0.又由0lim fSU) = lim&)尸(0) +尸 Q)十(0)=r-0ln(l 4- JC)工fOX(20)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)/Q)在 Sb)上可導(dǎo),acb,得/(0)+r(0)= 1，所以嚴(yán)(0)= 1工o ,故(0,/(0)為曲線=f(x)的拐點(diǎn). 10分 f(x)dx = j /(jc)dj? = 0 .

46、(I )證明存在 & G(Q,c) , & G (c,b),使得于(&) = 2 fCx)dx ；(H )證明存在 G (a,b),使得 f Jrj)=/XQdH . TOC o 1-5 h z 證(I )令 F(h) = f f(i)dt9 x G，則F(a) = F(c) = 0, F(6) = J /XQdrc + J fQx)doc = 0 ,且 F(z)在a,刃上二階可導(dǎo)，F(xiàn)(z) = f(x),豆(z) = f Q) .3 分令卩(h) = F(x)ex ,x G a，則甲(a)=卩(c)=認(rèn)b) = 0 .由羅爾中值定理，存在& G (a,c), & G (c,b)，使得卩(&)

47、 = 0, (&) = 0，得 F(&) F(&) = 0, F(&) F(&) = 0，即有/(fi ) = 1/(&) = 2.6 分J aJ a(n) /&)= fq) f(q幾 工e sb)，則(&)=處&)= o.再由羅爾中值定理，存在 7?e (&,&) u (a,b)，使得 ”5)= 0，得 F5)F(“)= 0 ,即有yz(7)=于(力)山.ii分(21)(本題滿分 11 分)計算 JJminM-2/ - 2b , x2 +j2dr ,其中 D：*+b W 壬，皿 0 .D解 令丿3 2 乂 22b =*+夕2，得= 1 .用半圓周冗2+夕2 = 1 (夕$0)把D分成兩部分口

48、，。2如圖4所示.原積分=+ b )+(/3 2x2 2y2 )dtjD= AO r2 rdr + d(93 2r2 rdrJ 0 J 0J 0 J 1= + 7t411分79、，05101711,B =-3414775 、672 ,（22）（本題滿分11分）設(shè)人=,問是否存在X,使得AXA = X?(+)(3 _ 2廠2 )3/2 浮若存在，求所有的X；若不存在，說明理由.32-r解 （A）X=A,其中A於=43-3、103 ,32 -1；37(A-B : A)=43 -317 -031 77,|A=0,故 A1?不可逆.9、V03775、行1101-5-9-7-35000000得 r(A,

49、B) = r(A-B i A),故存在 X,使得(A E)X=A,且7 3k5 327 3k3 11分X= 9 + 5尿 一3 + 5爲(wèi) 一7 + 5慫，其中尿，爲(wèi)，忽是任意常數(shù). TOC o 1-5 h z 、虹k2k3 ,（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（i皿，竝）=i + 0，則積分/(jc)cosjcdj:的值為().(D)非負(fù)由此知應(yīng)選(D).(C)非正(A)恒正(E)恒負(fù)答案選(A).解法一 J /(j;)cosjcdj7 = /(jc)sinj; | J 于(jOsinzdz /(jc)sinj：dj7 f /z x + 7T)” (dsinzclr0.0J 0解法二 J /

50、XQcoszcLc = /XjOsiriH J /z(j：)sinxdxr2jr， ;, 22兀=J /7(H)sinzdz = /，(Z)cosH J /(Qcoszdr/z(2) /z(0) f (x)cosjcdj; = f f ()(1 cosjc)dx 0.J 0Jo(4)設(shè)函數(shù)于(刃 可導(dǎo)，且#Q) 0,廣】(乂)為十(工)的反函數(shù)，則(廣】&)=()(A) - /(2 77) /(/()答案選(D).(D)1”（廣】&）解 令夕=廣匕），則工=心），兩邊同時對乂求導(dǎo)得1 = ”（夕）獸，故(廣“=忐=”3) x2 y+y2、o，（A）連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在（C）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 答

51、案選（E）則在點(diǎn)（0,0）處（ ）.=0,（B）不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在丁 4解 由于 limf(x9y) = lim4 . 4y=X-0 X1 + Xx-0y H /（0,0），故/（了,夕）在（0,0）處不連續(xù).又因為*（0,0）= 0,/；（0,0） = 0 ,知在（0,0）處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在.（6）將極坐標(biāo)系下的二次積分P d0 7（1 +rcos9rsinWrdr轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系下的二次積分J 0 J 0嚴(yán)ri r J nF(叫心 f dyj(如小山+匸巧J淳 ri+ J-孑piJ。djJfx,yAx + |府旳答案選(D).& = 1 + rcosO.，引入夕

52、2r J)2于(2,3/)旳 + J dr Jf(j：,y)dy 7i-2C1+ y l-yZ)J _石訂(4夕)山解)y = rsin1時，方程為y-xy = x,通解為y=l + c2e 2 .又因為&)可導(dǎo)，故工2lim (x1 + Ci eJ:) = lim (1 + c2 e 2 ),1 .+得d=e+c2辰,所以通解為 TOC o 1-5 h z x 1 + (e+c2蟲),乂1,，(無)=f_2、1 +c2 e 2 ,Z1.設(shè)函數(shù)n =之(乞,夕)由方程x az = (pQy 一衣)確定，其中卩可導(dǎo)且a b(pf工0 ,則 dz y dza+bd =答案填“ 1 ”.解 方程兩邊

53、對乂求偏導(dǎo)，得1 普 * dx T字)，所以宇=一方程兩邊對夕求偏導(dǎo), dx a b(p得一 Q字=/(1一字)，所以字=一 一 ，從而dydydy a 一 b(pdz . j dza +方亍=1 .dx dyr J (號)3r二重積分djy cosrc2dx =J oJ內(nèi)答案填“ *(號一1) ”.解 原式 Pcosj? dx f* dy g3 cosjcMjc = P tcostdr = * (善-1).J 0J 0J 0Z J 0ZZ 丿(14)設(shè) A 是 3 階矩陣，b = (3,3,3)T，方程組 Ax =方有通解 4 ( 1,2, 1)丁 + 爲(wèi)(0, 1,1)丁+ (1,1,1)

54、丁，其中碼，爲(wèi)是任意常數(shù)，則A的特征值為.答案填“ 0,0,3”.-1是Ax = 0的兩個線性無關(guān)的解向量，即& 是A的對應(yīng)于入=0的兩個線性無關(guān)特征向量，所以A = 0至少是A的二重特征值.又因為tj= 1是Ax = b的特解，即At=b = 3r,故A的特征值為0,0,3.三、解答題：1523小題，共94分請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.(本題滿分10分)(I)求cos(sinz)的帶有皮亞諾余項的四階麥克勞林公式.(H)設(shè)/Q) =1 cos(sin) +川n(l +*)，其中a是參數(shù)，試討論當(dāng) 0時，g 是攵的多少階無窮?。空堈f 明理由.丁35解

55、法一(I)由于siz = z yy +亍 + o(j?)，所以 3! o!cos(sinjc) = cos(z-芻 + 芻 + o(n5 )j吉(需+希+。&5)匸+吉G菁+養(yǎng)+。&)+。(分)1 允2 + 0(力 )解法二 令爭(乂)= cos(sinz)，經(jīng)計算卩(0) = 1,屛(0)=0,卩(0) = 1,卩(0)=0,爭(0)=5,故卩(Q = l 。(分).(II) ln(l + j?) = x2 + o(j?)/(x) = 1 (1 + 尋+ oE) 4- ax2 號允 + O(J34 )=（寺+J才_（菁+號）分+03）因此當(dāng)a工一時，fix）為當(dāng)力f 0時的二階無窮小.當(dāng)a

56、=一 *時，fCx）為當(dāng)無_ 0時的四階無窮小.10分（16）（本題滿分10分）已知平面上兩點(diǎn)A（4,6）,B（6,4）, C為橢圓辛+ = 1上的點(diǎn)，求AABC 面積的最大值和最小值.解 過A, B兩點(diǎn)的直線為工+夕=10.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（尤，夕），則ZXABC的面積為 S =42 | xy10 |.4 分記1 = Q + y10尸+入（號+ 1）,令L； = 2（z + 夕一10） + 甲入=0,00時，-ln（l+） ；1 + x（U）設(shè) IQ） = P ln（l 土壟2cos -tdt ,求 lim S J otz”o+ X證 （I）由于 ln（l +允）lnl = :g，其中 0 Vg

57、Vz ,所以 10,01,冶吟型 *，得士 5（1扌滋2 V進(jìn)而 TOC o 1-5 h z 1 + 血 1 + XtT-J-COS rt Sd + ）COS V 2COS t .1 + x 2xLL在（0,1）內(nèi)對 積分，得Z ： Z（龍）V x，故Z 7（力）?.因為 lim 纟 1 t =Hi10分7t 1十 2TT7T丄十 允X7t7T 丄十尤 7T由夾逼定理得lim =bo+ x兀（18）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域D：0Cl,0j/2，計算I-J （夕一1）解 jp 力d0時，e存_ 1與h為同階無窮小，則n =().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4一 g(z)答案選(B).解

58、 0時,eEE 1丿1 +心(：穿f ,而/(J7)= /(0) + /?(0) + *廠(O)J? + O(J72) ,g(z) = g(0) +g(0)z + -|g/Z(O)J72 + O(J72),又 /(0) = g(0) , /z(o) = g(0) , /z(0) H g(0),所以 n = 2.(2)當(dāng)0 V。V寺時,方程心 =lz的實(shí)根個數(shù)為()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3答案選(C).解定義域兄 0，考察曲線fS =戸與直線，=0有幾個交點(diǎn).f =-學(xué)蘭=o，得駐點(diǎn)x =4，此時/Xz)取最大值/(7e)=寺.又因為絞步，凹L霽可知當(dāng)GV/時，心=霽與直線Q有兩

59、個交點(diǎn)，故方程有兩個根，故選(C).設(shè)函數(shù)/&)在0,1上二階可導(dǎo)，/() 0,/(0) = 0，則().(A) /(I) 2f()(B) /(I) 2/()(D) /(I) 0知J&)在0,1上為凹函數(shù)故于(字)V加導(dǎo)，即得, 所以(A)正確，(B)不正確.若取 (無)=x2，則 f O = 2x,f (無)=2 0,/(0) = 0，但 /z(l) = 2/Z(y) = 2，所以(C), (D)均不正確.積分 I = tanjc ln(l + etanx)dju =().(A) 0(B) 1(D)1-f答案選(D)tanjclnd + etarir) dr + tanjclnCl + et

60、arir ) dx.tan(-z)ln(l + etan(-)d TOC o 1-5 h z 2Lp2L4 tanz：ln(l + etant) 一 tandz： =一 tanj?ln(l + etani)dx + tan2xdjuoJ oJ o故 I = tan2xdjr = (tanjr 一 jc) I 4 = 1 一 手. J o104).（A）單調(diào)增加的奇函數(shù) （C）單調(diào)增加的偶函數(shù) 答案選（B）.（5）設(shè)兀工）是連續(xù)且單調(diào)增加的奇函數(shù)，F(xiàn)Q）=社（2況一工”& 況）血，則F3 是（B）單調(diào)減少的奇函數(shù)（D）單調(diào)減少的偶函數(shù)解 令 a u = t,則 F（jr） = f* （re 一