數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)報(bào)告5

1、左上方框里填寫(xiě)學(xué)號(hào)后兩位，學(xué)習(xí)委員按此順號(hào)（報(bào)告展開(kāi)排序）交給老師 31數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)報(bào)告專(zhuān)業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班級(jí) 15級(jí)1班 組別 指導(dǎo)教師 許小芳 姓名 史博強(qiáng) 同組人 實(shí)驗(yàn)時(shí)間 2017 年 11 月 4 日 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn) k7403 實(shí)驗(yàn)名稱(chēng) 數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪斫庖浑A、二階微分法在建模過(guò)程中的應(yīng)用，熟悉利用MATLAB軟件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的泛性。實(shí)驗(yàn)儀器：1、支持Intel Pentium 及其以上CPU，內(nèi)存256MB以上、硬盤(pán)1GB以上容量的微機(jī)； 軟件配有Windows98/2000/XP操作系統(tǒng)及LINGO軟件等。2、了解LINGO等軟件的特點(diǎn)及系

2、統(tǒng)組成，在電腦上操作LINGO等軟件。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、步驟及程序：實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積V的融化速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)K>0. 假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀，已知初始半徑為r0的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其原體積的7/8，問(wèn)該雪堆全部融化需要多少時(shí)間？過(guò)程：1分析雪堆的融化過(guò)程；2建立雪堆融化的微分方程模型；3利用所給數(shù)據(jù)，確定參數(shù)；4確定初始條件，求解方程（模型）5擴(kuò)展討論：雪堆形狀不同時(shí)的建模和求解方法（供參考，不作要求）模型建立：解：設(shè)雪堆在t時(shí)刻的體積為。由題設(shè)知，積分得r=-kt+C,由又。因雪堆全部融化時(shí)r=0,可得t=6,即雪堆全部融化需要

3、6個(gè)小時(shí)。程序：format longglobal rr=10r0=rtspan=0:10T,Y=ode45('funf',tspan,r0)N=find(Y<=0)t=T(N(1)y=dsolve('Dy=k','y(0)=r0')function dy=funf(t,y)global rdy=-r/6;運(yùn)行結(jié)果：tspan = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y = 10.00000000000000 8.33333333333333 6.66666666666667 5.

4、00000000000000 3.33333333333333 1.66666666666666 -0.00000000000000 -1.66666666666667 -3.33333333333334 -5.00000000000000 -6.66666666666667t = 6y =k*t+r0結(jié)果分析：因雪堆全部融化時(shí)r=0,可得t=6,即雪堆全部融化需要6個(gè)小時(shí)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：現(xiàn)有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米處，假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問(wèn)兔子能否安全回到巢穴？過(guò)程：（1）建立

5、狼的運(yùn)動(dòng)軌跡微分模型。 （2）畫(huà)出兔子與狼的運(yùn)動(dòng)軌跡圖形。 （3）用解析方法求解，問(wèn)兔子能否安全回到巢穴？ （4）用數(shù)值方法求解，問(wèn)兔子能否安全回到巢穴？模型建立：?jiǎn)栴}分析：1. 以t0時(shí)，兔子的位置作為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，兔子朝向狼的方向?yàn)閤軸正向；則顯然有兔子位置的橫坐標(biāo) 2. 對(duì)狼來(lái)說(shuō)，當(dāng)x100，y0，即在t0剛開(kāi)始追擊時(shí)，狼的奔跑方向朝向兔子，此時(shí)即x軸負(fù)方向， 則有Y B-60C（x,y）y=f（x）XA（100,0） 0 兔子與狼的運(yùn)動(dòng)軌跡追擊方向的討論：由于狼始終朝向兔子，則在狼所在位置P),(yx點(diǎn)過(guò)狼的軌跡處的切線方向在距y軸上的截為1y。 設(shè)切線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（X，Y），則切線

6、方程為 - 在（1）中，令X0，則截距。 此時(shí)。 則此時(shí)截距等于兔子所跑過(guò)的路程，即：， 從而可得 狼與兔子速度關(guān)系的建模： 在t時(shí)刻，兔子跑過(guò)的路程為 ，由于狼的速度是兔子的r倍，則狼跑的路程為 = 狼跑過(guò)的路程可以用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分知識(shí)得到，如下。 ¢+ 聯(lián)立（2）、（4）、（5）得 =¢+ò 對(duì)（6）兩邊求對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)得 =¢¢ 微分方程（7）式的初始條件有： 是否追上的判斷： 要判定狼是否追上兔子，可以通過(guò)（7）式判定。 對(duì)（7）式， 當(dāng)x0，如果計(jì)算求解得到60>=y，則視為沒(méi)有追上； 當(dāng)x0，如果計(jì)算求解得到60<y

7、，則視為兔子被追上； 程序：t=100:-0.1:0.1;y0=0 0;T,Y=ode45('odefun',t,y0)n=size(Y,1);Y(n,1)plot(T,Y(:,1),'-')x1=0 0;y1=0 60;plot(T,Y(:,1),'-',x1,y1,'r')y=dsolve('t*D2y=sqrt(1+Dy2)/2','y(100)=0','Dy(100)=0')function f=odefun(x,y)f(1,1)=y(2)f(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x);運(yùn)行結(jié)果：ans = 63.50067735974328y =10/3*(-3+1/100*t)*t(1/2)+200/3結(jié)果分析：根據(jù)運(yùn)行結(jié)果知， 63.50067735974328大于60，故沒(méi)有追上。實(shí)驗(yàn)小結(jié)：通過(guò)此次試驗(yàn)，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可以轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行求解，要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決生活的問(wèn)題。 教師評(píng)語(yǔ)：1. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及解釋?zhuān)海?準(zhǔn)確合理、 較準(zhǔn)確、