空間向量與立體幾何(建系途徑)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)空間向量與立體幾何建立空間直角坐標(biāo)系的途徑途徑一：利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系:當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點的三條直線，可以利用這三條直線直接建系垂直線線垂直線面垂直面面垂直1、如圖，在長方體ABCDEA1B1C1D1xyz中，AD=1，AB=2，點E在棱AB上移動。建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。 （1）證明：；（2）求平面的一個法向量及單位法向量。解：設(shè)，則，。 （）證明：由，有，于是。 （），。設(shè)平面的法向量為，單位法向量為，由，解得。于是。2、如圖，四棱

2、錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點。（）求證：EF平面PAB；（）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值。 ABCDEFxyzP圖 5法1：（）證明：取PA中點G，連結(jié)FG，DG，。法2：證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖5），設(shè)AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .得，。由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB。（）解：由，得，即。得，。 有，。 設(shè)平面AEF的法向量為，由，解得。于是。 設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為。 則。3、在長方體AB

3、CDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BCa，M是AD的中點。求證：平面A1MC平面A1BD1；解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.,求出平面A1MC的一個法向量為: ,又,求出平面A1BD1的一個法向量為: , ,即平面A1MC平面A1BD1.4、在正三棱錐ABCA1B1C1中，求證：.途徑二：利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系:圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系5、如圖，在正四棱錐中，, 求二面角的余弦值.解：設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為.

4、設(shè)平面的法向量為, . 6、如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱， ， ，為的中點。求異面直線AB與MD所成角的大小。方法1：作于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系.方法2：（利用菱形對角線互相垂直）連結(jié)BD，設(shè)交AC于E，取OC中點為F，以E為原點，EB、EC、EF所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 途徑三利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系:圖形中有兩個互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點的三條直線，建立坐標(biāo)系7、在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PAB等邊三角形. 求二面角BACP的余弦值

5、。解 （1）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A（1，0，0），B（1，0，0），則P（0，0，），C（1，2，0）設(shè)為平面PAC的一個法向量，則又令z=1，得得又是平面ABC的一個法向量，設(shè)二面角BACP的大小為，則8、如圖，在三棱錐中，平面平面. （）求證：； （）求二面角的余弦值；（）求異面直線和所成角的正弦值. 解：作于點， 平面平面，平面.過點作的平行線，交于點.如圖，以為原點，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . . .，. （）證明 . 又. （）解 作于點，連結(jié).平面， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. 在中， ， 從而，。 （）解，異面直線和所成角的正弦值為平

6、行于垂直證明A1C1CBAB1一、平行9、已知正三棱柱ABCA1B1C1，D為AC中點。求證：直線AB1平面C1DB；二、求角10、如圖在直三棱柱點是的點求異面直線與所成角的余弦值解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系 則 異面直線與所成角的余弦值為 11、如圖所示，AF、DE分別是O、O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直徑，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直線BD與EF所成的角的余弦值.解 ()AD與兩圓所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角B

7、ADF的大小為450.()以O(shè)為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，0）所以，.12、如圖，在三棱錐中，平面平面，于點， ，（1）證明為直角三角形；（2）求直線與平面所成角的正弦值（1）證明1：因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分記邊上的中點為，在中，所以因為，所以3分因為，所以為直角三角形因為，所以4分連接，在中，因為，所以5分因為平面，平面，所以在中，因為，所以6分在中，因為，所以所以為直角三角形7分證明2：因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分記邊上

8、的中點為，在中，因為，所以 因為，所以3分連接，在中，因為，所以4分在中，因為，所以，所以5分因為平面，平面，所以6分因為，所以平面 因為平面，所以所以為直角三角形7分（2）解法1：過點作平面的垂線，垂足為，連，則為直線與平面所成的角8分由（1）知，的面積9分因為，所以10分由（1）知為直角三角形，所以的面積11分因為三棱錐與三棱錐的體積相等，即，即，所以12分在中，因為，所以13分因為所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法2：過點作，設(shè)，則與平面所成的角等于與平面所成的角8分由（1）知，且，所以平面因為平面，所以平面平面過點作于點，連接，則平面所以為直線與平面所成的角10分在中，因為，所以

9、11分因為，所以，即，所以12分由（1）知，且，所以13分因為，所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法3：延長至點，使得，連接、，8分在中，所以，即在中，因為，所以，所以因為，所以平面9分過點作于點，因為平面，所以因為，所以平面所以為直線與平面所成的角11分由（1）知，所以在中，點、分別為邊、的中點，所以12分在中，所以，即13分因為所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法4：以點為坐標(biāo)原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，8分 則，于是，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個法向量為12分設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為14分第（1）、（2

10、）問都用向量法求解：（1）以點為坐標(biāo)原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，1分 則，于是，因為，所以所以所以為直角三角形7分（2）由（1）可得，于是，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個法向量為12分設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為14分13、如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()證明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值.解()取AB中點E,連結(jié)CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面

11、, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,|為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 有題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),則=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 設(shè)=是平面的法向量, 則,即,可取=(,1,-1), =, 直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為 14、如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。（）求證：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大??；（）求點C到平面A1BD的距離；（）證明

12、 取中點，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzABCDOFy取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面（）解 設(shè)平面的法向量為，令得為平面的一個法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）解 由（），為平面法向量，點到平面的距離圖形的翻折問題15、如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，C=135，沿對角線AC將此四邊形折成直二面角B-AC-D（1）求證：AB平面BCD（2）求平面ABD與平面ACD所成的角；（3）求點C到平面ABD的距離解：（1）ABC中，AB=BC=a，ABC=90，BAC=ACB=45ACD=135-45=90，得ACCD二面角B-AC-D為直二面角，平面ACD平面ABCCDAC，平面ACD平面ABC=AC，DC平面ABCAB平面ABC，CDAB又ABBC， AB平面BCD16、如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.() 證明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.COBDEACDOBE圖1圖2() 在圖1中,易得 連結(jié),在中,由余弦定理可得 由翻折不變性可知, 所以,所以, 理可證, 又,所以平面. () 傳統(tǒng)法(幾何法):過作交的延長線于,連結(jié), 因為平面,所以, 所以為二面角的平面角. 結(jié)合圖1