2020屆福建省廣東省高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)-(文)-試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020屆福建省廣東省高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué) （文） 試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由，解得.因為，所以.【點睛】本題考查集合的交集，考查運算求解能力與推理論證能力.2已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求得，由此求得.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查運算求解能力.3在中，內(nèi)角的對邊分別為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】先求得，

2、然后利用正弦定理求得.【詳解】因為，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查解三角形，考查運算求解能力.4已知，則（ ）ABCD【答案】D【解析】利用“分段法”比較出的大小關(guān)系.【詳解】因為，所以.故選：D【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出（單位：元）情況，抽取了一個容量為的樣本，并將得到的數(shù)據(jù)分成，四組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中支出在的同學(xué)有24人，則（ ）A80B60C100D50【答案】A【解析】先求得支出在的頻率，然后求得的值.【詳解】由頻率分布直方圖可得，支出在的頻率為.根據(jù)題意得，解得.故選：A【點睛】本題考查頻率分布

3、直方圖，考查數(shù)據(jù)處理能力.6已知雙曲線與拋物線有相同的焦點，點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)拋物線的交點求得雙曲線半焦距，根據(jù)雙曲線焦點到漸近線的距離求得，從而求得，進而求得雙曲線離心率.【詳解】由題意知拋物線的焦點為，所以.又因為點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，所以，從而，.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查運算求解能力.7若，則（ ）ABCD【答案】A【解析】令，將轉(zhuǎn)化為，然后利用二倍角的余弦公式求得的值.【詳解】令，則，所以.因為，所以.故選：A【點睛】本題考查三角恒等變換，考查運算求解能力.8十二生肖是十二地支的形象化代表，

4、即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龍）、巳（蛇）、午（馬）、未（羊）、申（猴）、酉（雞）、戌（狗）、亥（豬），每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物中的一種，即自己的屬相.現(xiàn)有印著六種不同生肖圖案（包含馬、羊）的毛絨娃娃各一個，小張同學(xué)的屬相為馬，小李同學(xué)的屬相為羊，現(xiàn)在這兩位同學(xué)從這六個毛絨娃娃中各隨機取一個（不放回），則這兩位同學(xué)都拿到自己屬相的毛絨娃娃的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求得基本事件的總數(shù)和符合題意的事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】小張、小李同學(xué)各取一個毛絨娃娃，共有種取法，這兩位同學(xué)都拿到自己屬相的毛絨娃娃有1種取法，故所求概

5、率.故選：B【點睛】本題考查古典概型，考查應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).9圓被直線截得的弦長的最小值為（ ）ABCD【答案】B【解析】求得直線恒過定點，當時，弦長最小，結(jié)合勾股定理求得此時的弦長.【詳解】直線可化為，故直線恒過點.圓：的圓心為，半徑為當直線垂直于直線時，截得的弦長最短，此時弦長.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線過定點，屬于基礎(chǔ)題.10將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是的圖象的一條對稱軸，則（ ）A為奇函數(shù)B為偶函數(shù)C在上單調(diào)遞減D在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)圖象變換求得的表達式，根據(jù)是圖象的一條對稱軸，求得的值，由此求得與的表達

6、式，進而判斷出與的奇偶性和單調(diào)性，由此判斷出正確選項.【詳解】由題意知，因為直線是的圖象的一條對稱軸，所以，故，因為，所以，為非奇非偶函數(shù)，所以A選項錯誤.因為，則，所以在上單調(diào)遞減，所以C選項正確.因為，所以為奇函數(shù)，所以B選項錯誤.當時，所以在上單調(diào)遞減，所以D選項錯誤.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查運算求解能力.11已知某圓柱的底面直徑與某圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，圓錐的底面積是圓錐側(cè)面積的一半，則此圓錐與圓柱的體積之比為（ ）ABCD【答案】A【解析】首先設(shè)出圓錐的底面半徑和母線長，根據(jù)圓錐的底面積是圓錐側(cè)面積的一半，求得.利用勾股定理求得圓錐的高

7、，由此求得圓錐的體積.根據(jù)題意求得圓柱的底面半徑，根據(jù)圓錐與圓柱的表面積相等，求得圓柱的高，由此求得圓柱的體積.從而求得圓錐與圓柱的體積之比.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則，即，所以圓錐的高，圓錐的體積.由題意，知圓柱的底面半徑為，設(shè)圓柱的高為，因為圓錐與圓柱的表面積相等，所以，解得，所以圓柱的體，故.故選：A【點睛】本題考查簡單幾何體的表面積與體積，考查空間想象能力.12已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A0B4C3D2【答案】D【解析】先求得，構(gòu)造函數(shù)，判斷出圖象關(guān)于對稱.求得時的解析式，結(jié)合圖象的對稱性畫出的圖象，由此判斷出的解，進而求得函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】由，知.令，則，

8、所以，即的圖象關(guān)于直線對稱.當時，；當時，.作出的圖象可知，函數(shù)的解有2個，所以函數(shù)的零點個數(shù)個.故選：D【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.二、填空題13已知向量，若，則_.【答案】【解析】利用向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查運算求解能力.14已知實數(shù)滿足，則的最小值是_.【答案】【解析】畫出可行域，將基準直線平移到可行域邊界點位置，由此求得目標函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，基準直線平移到可行域邊界點時，目標函數(shù)取得最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查

9、利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，則的圖象在點處的切線斜率為_.【答案】【解析】首先根據(jù)奇函數(shù)的定義，求得當時的解析式，由此利用導(dǎo)數(shù)求得的圖象在點處的切線斜率.【詳解】當時，則，此時，所以，所以.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三、雙空題16在正三棱柱中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_；三棱錐的外接球的表面積為_.【答案】 【解析】作出異面直線與所成角，利用余弦定理求得其余弦值.利用三角形和三角形的外心，作出三棱錐的外接球的球心，計算出外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解

10、】如圖，取的中點，連接.因為，所以即異面直線與所成角或其補角.因為，所以，所以.記，的外心分別為，過分別作平面、平面的垂線，則兩條垂線的交點即三棱錐的外接球的球心.因為，所以的外接圓半徑，的外接圓半徑，所以三棱錐的外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：(1). (2). 【點睛】本題考查異面直線所成角及外接球，考查空間想象能力.四、解答題17已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）求得數(shù)列的通項公式，進而利用裂項求和法求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證得.【詳解】（1）由，得，因為

11、，所以，化簡得，即數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以，則.因為，是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當時，取得最小值，當接近無限大時，趨于，故.【點睛】本小題主要考查已知求，考查裂項求和法，考查數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.18每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，從2018年開始我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)贊成的人數(shù)（1）從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此人年齡在的概率為，求出表格中的值；（2）在被調(diào)查的人中，年齡低于35歲的人可以認為“低齡人”，年齡不低于

12、35歲的人可以認為“非低齡人”，試作出是否贊成“延遲退休”與“低齡與否”的列聯(lián)表，并指出有無的把握認為是否贊成“延遲退休”與“低齡與否”有關(guān)，并說明理由.附：.【答案】（1）；（2）列聯(lián)表見解析；有的把握認為是否贊成“延遲退休”與“低齡與否”有關(guān)【解析】（1）先求得的值，然后根據(jù)“從贊成延遲退休的人中任選1人，此人年齡在的概率為”列方程，求得的值.（2）填寫列聯(lián)表，計算的值，由此判斷有的把握認為是否贊成“延遲退休”與“低齡與否”有關(guān).【詳解】（1）因為總共抽取100人進行調(diào)查，所以.因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此人年齡在的概率，所以.（2）是否贊成“延遲退休”與“低齡與否”的列聯(lián)表如

13、下：贊成“延遲退休”不贊成“延遲退休”總計低齡人18725非低齡人304575總計4852100，所以有的把握認為是否贊成“延遲退休”與“低齡與否”有關(guān).【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查古典概型有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.19如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面底面，為的中點，是棱的中點，.（1）證明：平面平面.（2）求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）首先證得，由此根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而證得平面平面.（2）利用，通過求四面體的體積，求得四面體的體積.【詳解】（1），為的中點，四邊形為平行四邊形，.，即.又平面平面，且平面平面，平面，平面.平面，平

14、面平面.（2），.由（1）可知四邊形為矩形，.，為的中點，.平面平面，且平面平面，平面.在中，.【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20已知橢圓的長軸長為，右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的標準方程；（2）若點關(guān)于直線的對稱點在上，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓長軸長求得，根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，也即求得，由此求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出點的坐標，得到線段中點的坐標，根據(jù)在直線上以及列方程，由此求得的表達式，并利用基本不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）由，可知.因為拋物線的焦點為

15、，所以.由，可得.所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)點，則線段的中點，所以直線的斜率.又中點在直線上，所以.令，得，即.由，得，所以.當時，當且僅當時等號成立.同理可得，當時，當且僅當時，等號成立.所以的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查拋物線的焦點坐標的求法，考查橢圓方程的求法，考查點關(guān)于直線對稱點有關(guān)問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.21已知函數(shù).（1）當時，求的最值；（2）當時，若的兩個零點分別為，證明：.【答案】（1），無最大值（2）證明見解析【解析】（1）當時，先求得函數(shù)的定義域，然后求得其導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間，進而求得的最值.（2）利用導(dǎo)數(shù)，

16、結(jié)合零點存在性定理求得所在區(qū)間，由此證得不等式成立.【詳解】（1）解：當時，定義域為，當時，；當時，.可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值.（2）證明：，因為，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當時，當時，.所以的最小值為，因為，所以在上存在一個零點；因為，可知在上也存在一個零點；所以，故.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題.22在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）若射線與曲線相交于點，將逆時針旋轉(zhuǎn)后，與曲線相

17、交于點，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）消去曲線參數(shù)方程中的，求得其普通方程，再根據(jù)極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化的公式，求得曲線的極坐標方程.利用極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化的公式，求得的直角坐標方程.（2）將代入的極坐標方程，求得的值，然后將曲線的極坐標方程，求得的值.根據(jù)列方程，求得的值，進而求得的大小.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），可得其普通方程，由，得曲線的極坐標方程.，由，得曲線的直角坐標方程.（2）將代入，得.將逆時針旋轉(zhuǎn)，得的極坐標方程為，代入曲線的極坐標方程，得.由，得，.即，解得.因為，所以.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，考查極坐標下長度的計算