大學(xué)課件電磁學(xué)-環(huán)路定理及電偶極子

1、力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與 所經(jīng)歷的路徑無(wú)關(guān)，這類(lèi)力叫做保守力。如： 萬(wàn)有引力、彈性力、靜電力。萬(wàn)有引力fg =呷r2庫(kù)侖力fe =警r 24 nso r 21.4.1 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理一、靜電場(chǎng)的保守性1. 點(diǎn)電荷場(chǎng)E = er F = q0E4ns0r2 rw0dA = F dl = q0 E dlqq4 ns0 r 2 a12 =1 dA = MI 1 - 1 124 n I rir 丿=q0 E cos 0 dl =P2P1A = f (q0, r1, r2 ) 靜電場(chǎng)力的功與路徑無(wú)關(guān)2.任何靜電場(chǎng)PzP2(力12 = J q0E dl = J qo g Ei J dZP2

2、P2P1P1P2 一 Pz 一Pz 一=J qo Ei “ + J qo E2 “+J qoEn “P1P1P1=f qqi （丄_ 丄、i=l4n0 I ri 1 ri2 丿結(jié)論n試驗(yàn)電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功只 與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。 靜電力是保守力，靜電力場(chǎng)是保守力場(chǎng)。、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理circuital theorem of electrostatic field）1. 表述: 靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分恒為零2.f E dl = 0L（任意）場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流恒為零證明:靜電場(chǎng)力是保守力f F dl =f qo E - dl = 0LLf E -

3、dl = 0L*靜電場(chǎng)的基本方程 *保守場(chǎng)（無(wú)旋場(chǎng)）1.4.2 靜電勢(shì)能 (Electric potential energy)靜電場(chǎng)力做功等于相應(yīng)電勢(shì)能的減量P2 -Ai2 =!F dl = Wi 一 W2P1P1 點(diǎn)電勢(shì)能取 WP0= 0P2 點(diǎn)電勢(shì)能電場(chǎng)力所做的功等于電 勢(shì)能增量的負(fù)值（或電 勢(shì)能的減少）。電勢(shì)能的零點(diǎn)。P0(PP0)定義上W = As、= q0 J Edl即：電荷q0在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能等于把電荷從該點(diǎn)沿任意路徑0移動(dòng)到電勢(shì)能零點(diǎn)靜電場(chǎng)力所做的功。電勢(shì)能差b Wa - Wb = Aab = qo J E dla討論M 1.電勢(shì)能零點(diǎn)電勢(shì)能零點(diǎn)的選擇原則上是任意的：有限大

4、小帶電體，選無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)能的零點(diǎn)。無(wú)限大帶電體，選有限遠(yuǎn)處為電勢(shì)能的零點(diǎn)。工程上取大地或金屬外殼為電勢(shì)能的零點(diǎn)。電勢(shì)能wa = q0 J電勢(shì)能零點(diǎn)E - dl討論 2. 電場(chǎng)力所做的功有正（例如在斥力場(chǎng)中）有負(fù)（例如在引力場(chǎng)中），所以電勢(shì)能 有正有負(fù)。電勢(shì)能是屬于電荷q0和產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷系所共有的。電勢(shì)能和試驗(yàn)電荷有關(guān)，不能用來(lái)描述電場(chǎng)。 1.4.3電勢(shì)和電勢(shì)差一、電勢(shì)(Electric potential)E PA12 =PF dl = qofpE dl = Wi - W2根據(jù)靜電場(chǎng)的環(huán)路定理定義Wl_ Wqoqo電勢(shì)PP E dl =五-W Piqoqo p Wo與試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)，Po l

5、 l反映了電場(chǎng)在Pi、 W = qo fE dl P2 兩點(diǎn)的性質(zhì)PW(p = qo勢(shì)能零點(diǎn) l l pP =fE dl（p）任意路徑電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)等于把單位正電荷自該點(diǎn) 沿任 意路徑移動(dòng)到電勢(shì)零點(diǎn)靜電場(chǎng)力所做的功， 等于場(chǎng)強(qiáng)從該點(diǎn)沿任意路徑到電勢(shì)零點(diǎn)的線積 分。勢(shì)能零點(diǎn)- pP =JE - dl（P）任意路徑1）電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)與零點(diǎn)的選取有關(guān)。2）電勢(shì)零點(diǎn)確定后，電勢(shì)值唯一確定，相應(yīng)的電勢(shì)是空間位 置的函數(shù)。0 =（p（ x, y, z）3）電勢(shì)零點(diǎn)的選取視方便而定，一般有三種情況：a）生場(chǎng)電荷為有限大小，通常選“無(wú)限遠(yuǎn)：處電勢(shì)為零。記為：pP = Jp E - dl， Poo = 0

6、b）帶電體為“無(wú)限大”，通常指定某位置P.電勢(shì)值為零。場(chǎng)點(diǎn)P處電勢(shì)為：pP =JpP Edl， Pp = 0c）實(shí)際工作中，常選大地為電勢(shì)零點(diǎn)。電器外殼接地時(shí)的電勢(shì)為零。地 = 0（4）電勢(shì)的量綱SI制：V （伏特）5) 電勢(shì)和電勢(shì)能的關(guān)系 電勢(shì)零點(diǎn)即電勢(shì)能零點(diǎn)點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中的電勢(shì)能為W = qo0 任意帶電體在電場(chǎng)中的電勢(shì)能為W = gq 把電荷q從。沿任意路徑移動(dòng)到方靜電場(chǎng)力所做的功為Aab = q0a 一申b )注意 電勢(shì)是描述電場(chǎng)能量性質(zhì)的物理量，與試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)；二、電勢(shì)差 (Electric potential difference)*電場(chǎng)中單位正電荷在Pi、P2兩點(diǎn)定乂的電勢(shì)能之差

7、稱為Pi、P2兩點(diǎn)的電勢(shì)差(電壓)。i 2(P2 )- U12 =01 - 02 = J E - dl (p )任意路徑電場(chǎng)中任意兩點(diǎn) P1、 P2 的電勢(shì)差，等于把單位正電荷從 P1點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)到P2點(diǎn)靜電場(chǎng)力所做的功，等于場(chǎng) 強(qiáng)沿任意路徑從P1點(diǎn)到P2點(diǎn)的線積分。力12 = q0 U12力12 =昭一 W2 = q0（0l一 02）= q0U12Lightning EnergyA charge q = -30 C is pushed from cloud to ground.U = 2 x 108 V.Energy gained= Work done by electric field

8、 = -qU= -( -30 C)(2 x 108 V)= 60 x 108 J腦電圖儀(EEG) 視網(wǎng)膜電圖儀(ERG)電勢(shì)能零點(diǎn)-W = qoJ E d/（P）任意路徑W(P = q0J E: di（p）任意路徑(P2)-電勢(shì)差 U12 =申 一 02 = J E d / (Pi )任意路徑電場(chǎng)力的功出2 = qE d/ 二 Wi - W2 二 q（0-02）電勢(shì)的計(jì)算 場(chǎng)強(qiáng)積分法(由定義)電勢(shì)零點(diǎn)亠- J E - dl(P)任意路徑步驟：(1) 計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)；(2) 選擇合適的路徑 L；(3) 分段積分(計(jì)算)。Q r P E dl例點(diǎn)電荷場(chǎng)的電勢(shì)公式8 丨積分路徑沿徑向 dl = J dr

9、r 4 no r= J E - dl (p )8Q八=J 洛r 4 no rQ4 ne0 r曠球?qū)ΨQ奇標(biāo)量：正負(fù)Q 0，Q R E = e r4 ne0 r若場(chǎng)點(diǎn)在球面內(nèi)，即r R8 -8 Q(p= E dl =dr =pr 4 nso r*電勢(shì)分布討論r、r p 4 hq Rr ? r p 4 ns0 r以無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。由于在球面外直 到無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的分布都和電荷集中在 球心處的點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)分布一樣，因此 球面外任一點(diǎn)的電勢(shì)與電量集中在球心 0 的點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布相同。例求無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線（+1外一點(diǎn)P的電勢(shì)。解：E m孟嘰 TOC o 1-5 h z 1_rpEP町，Q設(shè)% = 0,則p點(diǎn)

10、電勢(shì)： 不合理申 P mJ E，d T mJ 1d r_-1(lnnT)Pr 2 ns0 r2 n0選 %Q m 0Q - P1亠 亠Q亠 亠 Q -%P = j e di = j e di + j e di = J e diTo 1dr 二 1 ln ro1. r r0,(pP 0r 2nsor 2n$o r2. r 0以乩和盡分別表示 電暈極與集電極的半 徑，L表示集電極 筒高度，通常L R2,已知空氣的擊穿 場(chǎng)強(qiáng)為耳。請(qǐng)計(jì)算 出管式靜電除塵器的 除塵電壓。例無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓筒(Ri, R2)，已知空氣的 擊穿場(chǎng)強(qiáng)為Em。求兩筒面之間的電壓。解： P 的場(chǎng)強(qiáng)為： e =1 er 一2 ns

11、0 r內(nèi)外兩極間電壓為R2亠亠U =申 R 0R2 = J E dl12 R1=JR2-1R12 ns0 r=兒山R2 ns0 R1例 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電筒(R1,R2)，已知空氣的解：擊穿場(chǎng)強(qiáng)為Em。求兩筒面之間的電壓。E =er2 ne0 rU = fE - d/ =2-ln Rr2 nSoRl=11ln(R2 Ri)Ur ln(R2 R1)r ln( R2/ R1)由于電暈線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度最大，使它達(dá)到 空氣電離的最大電場(chǎng)強(qiáng)度 Em 時(shí)，就可獲得高 壓電源必備的除塵電壓U = Em RJn RR1例 巧克力碎屑的秘密 II 巧克力粉末及其電荷被均勻地以體電荷密度 r =-11 xlO-3 C

12、/m3散布在半徑為R = 5.0 cm聚氯乙烯管 管道中。(1)求管道中的電勢(shì)(設(shè)在接地的管壁上電勢(shì) 為零)；(2)管道中心與其內(nèi)壁之間的電勢(shì)差是多少？ 解：Eint=r尸申= Eint -血=Jdr = 依2 一 r 2 )rr 2q4。在r = 0處，center =気人一”宀V 故 U = 0center 一洙=776xl04 V-a例 平行板電容器兩板間的電勢(shì)差 解：平行板電容器內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為E /0兩板間的電勢(shì)差：U12 =(j)E d/ =(j Edl(+)(+)(-)=E J dl(+)U12 二 Ed1.4.4 電勢(shì)的計(jì)算一、電勢(shì)疊加原理（電勢(shì)零點(diǎn)）-（P = JE dl =（p

13、 ）qi吒列電4n%r(電勢(shì)零點(diǎn)L -(電勢(shì)零點(diǎn))-J ZEi dl =Z JEi dl(P) ii (P)0 = J d0 =J&dq4 ns0Mi （電勢(shì)零點(diǎn)）二、任意帶電體電勢(shì)列（電勢(shì)零點(diǎn)）-1）由定義式出發(fā)0= JEdl（P）2）電勢(shì)疊加原理0 = 00 = J d 0方形的四個(gè)頂角上，各頂角與正方形中心 O 的距離例點(diǎn)電荷q1, q2, q3, q4均為40 xlO-9 C,放置在一正均為 5.0 cm， (1) 計(jì)算 O 點(diǎn)的電勢(shì)；(2) 將試驗(yàn)電荷 q0 = 1.0 xlO-9 C從無(wú)限遠(yuǎn)處移到O點(diǎn)，電場(chǎng)力做的 功為多少？(3) 電勢(shì)能改變多少？是增加還是減少？q1 -Q q4q

14、2二解 (1) 選無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，根 據(jù)電勢(shì)疊加原理， O 點(diǎn)電勢(shì)為：9O =01 +02 +03 +04=401 = 4- = 2880 V4 ns0 r A = 00(08-00)= -2.88 x 10_6 J(3)壯一 WO = A = -2.88 x 106 J電勢(shì)能改變 WO 一 W= 2.88 x 106 J增加0 = 3 OP = r4ne0 r_1 q i 1 (- q)+4ns0 r+4ns0 r_甲=申+七甲_ =1 qlcos 3例 求距電偶極子相當(dāng)遠(yuǎn)處的電勢(shì)。解：1q0+ =4ns0 r+r+ r cos 3 r r + cos 3+ 2 _ 21 q 10= 4

15、nS0 r cos 3 4nS0 r + - cos 3 4ns0 r 221_p er _ 1 p rOH* TBIMfrz 03=寸2 Q I ILrol0SOV70 I s解：取 dqdq = l dx =dx例均勻帶電直線，長(zhǎng)/,帶電為Q，求其延長(zhǎng)線上離桿 B 端距離為 a 的 P 點(diǎn)的電勢(shì)。l ldxp點(diǎn)電勢(shì)伽=0吠(p =(p =3. 電量可非均勻分布。例 求均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì) (R，q)。另解：圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：E =q-i方向沿軸線指向無(wú)限遠(yuǎn)4 ns0 (-2 + R 2距環(huán)心為-處p點(diǎn)的電勢(shì)為：Vr/ (P = p E - d =iP Ed-q-d-_ q4 n

16、s0yl - 2 + R 2例 己知：均勻帶電總電量Q,半徑R。求：盤(pán)軸線上任意點(diǎn) P 處的電勢(shì)。解：利用電勢(shì)積分法。1.分割合適電荷元 dq = adS ” nR 2dS = 2n pdpd0 = 4 ns0 rdq2.電荷元dq在P處電勢(shì)3總電量Q在P處電勢(shì)0=J d0=JQQ 4 ns0 (p2 + x2 卜0 = d = JQQ 4 no (r2dq+ x2nb 2 - pdpR04n0(p2 + x2) 2 =Q4 ns0 R 2=(IR2 + x2 - x)2n0 R21 p2 + x 20環(huán)0 = 4注意：0盤(pán)o = 2環(huán)o例 兩個(gè)半徑分別為 R1 和 R2 的帶電球面同心放置,

17、所帶電量分別為Qi和Q2,求其電 場(chǎng)的電勢(shì)分布。解：Q1 產(chǎn)生的電勢(shì)分布為r Ri)14 ns0 r區(qū)域內(nèi)殼貢獻(xiàn)外殼貢獻(xiàn)總電勢(shì)r R10 -Q1內(nèi)-4n0R0 -Q201內(nèi)+ 02內(nèi)R1 r R201外 - 4n0r02 外 _d 24 ns0 r01外+ 02外解： 總電勢(shì)分布為0 = 0 +Ql + Q(r R1)4 ns0 R14 ns0 R2= - +Q1(R1 v r R2)dq 10內(nèi)4 ns0 r 4 ne0 rB 負(fù)(R - rB )+ 4nB 3 尿-R1)例均勻帶電球?qū)觬內(nèi)外半徑為R1, r2,求：a、b兩點(diǎn)的電勢(shì) 解：取帶電球面 dg = p4 nr 2dr1.求申AR2

18、 dqR2 p4nr2dr=J dW = =r1 4 ns0 r=P倨-R1)2旬2求(pBR2pB =0於外+伽內(nèi)=JrB6.0 3 R - rB -驚當(dāng) R1 = 0 時(shí)，均勻帶電球體內(nèi)% =務(wù)3 R 一 rB)一）已知電荷分布求電勢(shì)1.點(diǎn)電荷q 一 4n%r2.點(diǎn)電荷系申_2叭_2 qi=14 no r3.電荷連續(xù)分布的帶電體d = q4 ns0 r二）已知電場(chǎng)分布求電勢(shì)電勢(shì)零點(diǎn)-=JE dl電勢(shì)的計(jì)算方法P （任意路徑L ）（1）零點(diǎn)的選取注意 （2）最方便的路徑（3）E 分區(qū)時(shí)，分區(qū)積分02 一01 =03 一02等勢(shì)面 1.4.5 等勢(shì)面(Equipotential Surface

19、s) 一、定義由電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的面叫等勢(shì)面 滿足方程0( x, y, z ) = C 當(dāng)常量C取等間隔數(shù)值時(shí)，可以得 到一系列的等勢(shì)面。 等勢(shì)面的法線方向指向電勢(shì)增高的 方向。規(guī)定：任意兩個(gè)相鄰等 勢(shì)面之間的電勢(shì) 差相等。電偶極子人心臟的等 電勢(shì)線，類(lèi) 似于電偶極 子。cos0 = 0二、等勢(shì)面與電場(chǎng)線的關(guān)系過(guò)等勢(shì)面與電場(chǎng)線處處正交證：設(shè)一試探電荷 q0 沿等勢(shì)面電場(chǎng)力所做的元功d/ = q0E dl = q0Edlcos0 = 0 nn乂f&= n E丄dl2電場(chǎng)線指向電勢(shì)降的方向設(shè)申c %，AF指向電勢(shì)升高的方向2 = qoE - Af = qO0a 一 qO0c V 0E - AF V

20、 0 , E與A反向Ef 指向電勢(shì)降落的方向等勢(shì)面的疏密反映了場(chǎng)的強(qiáng)弱設(shè)電場(chǎng)中任意兩個(gè)相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差為一定的值0+A0 EAn 或 E 0AnAn T 0E = limAmO An等勢(shì)面密的地方場(chǎng)強(qiáng)大真空中靜電場(chǎng)小結(jié)兩個(gè)物理量 E 申兩個(gè)基本定理Y Q內(nèi)isE -dS = JlE d/ = 00兩種計(jì)算思路E = J dE0= J d0(Q)(Q)Y Q內(nèi)P(0)Js E - dS -0= J E dl強(qiáng)調(diào)兩句話 (P)點(diǎn)電荷 均勻帶電球面（體）注重典型場(chǎng)無(wú)限長(zhǎng)的帶電線（柱）注重疊加原理無(wú)限大的帶電面（板）1.2.3.1.4.6 電勢(shì)梯度 (Potential gradient)、電場(chǎng)

21、強(qiáng)度和電勢(shì)的關(guān)系 積分關(guān)系式% = f E -血b = 0a微分關(guān)系式E = - grad% = -V%grad%, V%:電勢(shì)梯度SI單位：伏/米(V/m)二、電勢(shì)梯度兩等勢(shì)面電勢(shì)分別為0和0 + d0且呦0er: P1點(diǎn)處法線方向的單位矢量花Z、P3dw:兩個(gè)等勢(shì)面之間在P1點(diǎn)處的法向距離pd7 對(duì)任意 dldn d00 0 + d0dw dl在Pl點(diǎn)處，沿er方向的電勢(shì)增加率最大grad0 = d0erdn電勢(shì)梯度:在方向上與該 點(diǎn)處電勢(shì)增加率最大的方 向相同，在量值上等于沿 Gl=i注意 電勢(shì)梯度是矢量三、 電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)微分關(guān)系的證明已知：在靜電場(chǎng)中，等勢(shì)面與電場(chǎng)線 處處正交。電場(chǎng)線的方向，亦P2即電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，指向電勢(shì) Xd p 降落的方向。eXp 3當(dāng)單位正電荷從電勢(shì)為(P的p