1.3秦九韶算法 (2)

1、1.3中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例秦九韶算法 秦九韶秦九韶（1208年1261年）南宋官員、數(shù)學(xué)家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。字道古，漢族，自稱魯郡（今山東）人，生于普州安岳（今屬四川）。精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓劍、營造之學(xué)，歷任瓊州知府、司農(nóng)丞，后遭貶，不久死于梅州任所，著作數(shù)書九章，其中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：知識與技能：了解秦九韶算法的計算方法和步驟，了解秦九韶算法的程序框圖。過程與方法：改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏輯思維能力。情感態(tài)度與價值觀：體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢

2、獻(xiàn)，增強愛國主義情懷。重點：秦九韶算法的計算方法和步驟難點：體會秦九韶算法案例中蘊含的算法思想，利用它解決具體問題新課探究:思考1：怎樣求多項式f(x)=2x3- 4x2+3x+1 當(dāng)x=2時的值呢？算法1：問：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？f(2)=3+2+1=6次乘法運算，3次加法運算f(2)=求多項式f(x)=2x3-4x2+3x+1 ，當(dāng)x=2時的值?算法2：共做了3次乘法運算，3次加法運算。f(x)=2x3- 4x2+3x+1 改寫為：f(x)=( (2x-4)x+3)x+1問：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？接下來應(yīng)該如何計算？思考2：如何用秦九韶算法完成一般多項式的求值

3、問題？一、數(shù)書九章秦九韶算法設(shè)f(x)是一元n 次的多項式首先多項式改寫為：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0= .=(.(anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0先算最內(nèi)層的一次多項式的值，即然后，由內(nèi)到外逐層計算一次多項式的值，即 共計算n次乘法，n次加法這種將求一個n次多項式f(x)的值轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的方法，稱為秦九韶算法。f(x)=(.(anx+an-1)x+an-2)x

4、+.+a1)x+a0共計算多少次乘法，多少次加法？比較:一元n次多項式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 常規(guī)方法計算需要多少次乘法，多少次加法？n+(n-1)+(n-2)+.+2+1= 次乘法n次加法秦九韶算法的優(yōu)點：大大減少了乘法的計算次數(shù),提高計算效率 這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。遞推公式：二、程序框圖：輸入ai開始輸入n, an, xi=0?輸出v結(jié)束v=vx+aii=i-1YNi=n-1V=an思考3:該算法的程序框圖如何表示？例1：已知多項式f(x)=3x4+2x2+4x+2，用秦九韶算法求f(-2)的值及V1,V3的值。解：

5、理論遷移補全 f(x)=3x4+0 x3+2x2+4x+2改寫成 f(x)=( 3x+0 ) x+2) x+4) x+2 注意:n次多項式有n+1項,因此缺少哪一項應(yīng)將其系數(shù)補0.共用了多少次乘法，多少次加法？4次乘法，3次加法練習(xí)1：已知多項式f(x)=3x4+2x3-5x2-5x+1當(dāng)用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x=-1時的值,并統(tǒng)計需要多少次乘法計算和多少次加法計算？1.用秦九韶算法計算多項式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1當(dāng)x=0.4時的值時,需要做乘法和加法的次數(shù)分別是( ) A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5A2.(2010山東模擬)利用秦九韶算法計算函數(shù)f(x)=x+2x2+3x3+4