2·3·2等比數(shù)列的前年n項(xiàng)和

1、2.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（一） 沈陽市第五十三中學(xué) 劉杰課堂合作探究總結(jié)提升反饋2.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案復(fù)習(xí)1：什么是數(shù)列前n項(xiàng)和？等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么？推導(dǎo)思想？復(fù)習(xí)2：等比數(shù)列定義？通項(xiàng)公式？課堂合作探究課堂合作探究 課堂合作探究 課堂合作探究 課堂合作探究 課堂合作探究 課堂合作探究 課堂合作探究 這一格放的麥?？梢远殉梢蛔?課堂合作探究 由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：分析：課堂合作探究 由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：分析：課堂合作探究它是以1為首項(xiàng)，公比是2的等比數(shù)列，

2、 由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：分析：課堂合作探究它是以1為首項(xiàng)，公比是2的等比數(shù)列， 由于每格的麥粒數(shù)都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麥粒數(shù)依次為：麥粒的總數(shù)為:分析：課堂合作探究課堂合作探究新知：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是，公比為q0，課堂合作探究公式的推導(dǎo)方法一（累和）a2=a1qa3=a2qa4=a3qan-1=an-2qan=an-1q將這n-1（n2）個(gè)式子兩邊分別相加，得a2+a3+an=（a1+a2+a3+an-1）q即 sn-a1=（sn-an）q整理，得 當(dāng)時(shí)，（n2）當(dāng)n=1時(shí)，以上等式也是成立的。很明顯，當(dāng)

3、q=1時(shí)，當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是什么？公式的推導(dǎo)方法二：（錯(cuò)位相減法）則（結(jié)論同上）課堂合作探究課堂合作探究公式的推導(dǎo)方法三：（等比數(shù)列定義和等比定理）由等比數(shù)列的定義，有，即 . （結(jié)論同上）課堂合作探究公式的推導(dǎo)方法四：（提取公比q）. （結(jié)論同上）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式當(dāng)q1時(shí)，當(dāng)q1時(shí)，或當(dāng)q1時(shí)，【注意】運(yùn)用公式時(shí)，注意公比q是否為1；當(dāng)已知a1, q, n 時(shí)用公式 （1）當(dāng)已知a1, q, an時(shí)，用公式 （2）課堂合作探究解決問題有了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，就可以解決剛才的問題。由可得=1.8410191.841019這個(gè)數(shù)很大，按每千粒麥子的質(zhì)量為40g計(jì)算，麥粒的

4、總質(zhì)量超過了7000億噸（我國2016年小麥總產(chǎn)量為13926.0萬噸）。因此，當(dāng)國王了解到這一情況時(shí)，才明白他是不可能實(shí)現(xiàn)國際象棋發(fā)明者的要求的。課堂合作探究公式應(yīng)用等比數(shù)列基本量運(yùn)算例1：等比數(shù)列的公比q=,求前8項(xiàng)的和。 【法一】因?yàn)閍8=a1q7，所以a1=27. 因此 有別的解法嗎？將這個(gè)數(shù)列的前八項(xiàng)倒過來排，試一試。【法二】由題知：a1=1，q=2 因此求等比數(shù)列2,4,8,16的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和課堂合作探究公式應(yīng)用等比數(shù)列基本量運(yùn)算例1：等比數(shù)列的公比q=,求前8項(xiàng)的和。求等比數(shù)列1，2,4,8,的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和方法1： 觀察、發(fā)現(xiàn)：方法2： 此等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)從第5項(xiàng)

5、到第10項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的 等比數(shù)列：首項(xiàng)為 ，公比為，項(xiàng)數(shù)為【練習(xí)】在等比數(shù)列中：請完成下表： (3)(2)(1)題號(hào)課堂合作探究公式應(yīng)用一.等比數(shù)列基本量運(yùn)算46536課堂合作探究公式應(yīng)用一.等比數(shù)列基本量運(yùn)算【小結(jié)】等比數(shù)列基本量運(yùn)算在等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有五個(gè)量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程組求出另外兩個(gè)量課堂合作探究（二）應(yīng)用題：公式應(yīng)用例2（1）“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。怎樣用學(xué)過的知識(shí)來說明它？ （2）某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元，月平均增長率為p（p0），求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和。（1）這句古文用現(xiàn)代文敘述是：一尺長的木

6、棒，每天取它的一半， 永遠(yuǎn)也取不完。 如果將每天取出的木棒長度排成一個(gè)數(shù)列，則得到一個(gè)首項(xiàng) 的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為不論n為何值，總大于0，這說明一尺長的木棒按上述方法永遠(yuǎn)也取不完。并能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型、解決求和問題。課堂合作探究公式應(yīng)用例2（1）“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。怎樣用學(xué)過的知識(shí)來說明它？ （2）某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元，月平均增長率為p（p0），求這個(gè)工廠去年全年產(chǎn)值的總和。（二）應(yīng)用題：（2）該工廠去年2月份的產(chǎn)值為a（1+p）元，3月，4月的產(chǎn)值 分別為a（1+p）2， a（1+p）3，.去年12個(gè)月的產(chǎn)值組成以a為 首項(xiàng)， （1+p）為

7、公比的等比數(shù)列。因此，該廠去年全年的總產(chǎn)值為答：該工廠去年全年的總產(chǎn)值為元。課堂合作探究公式應(yīng)用（二）應(yīng)用題：【小結(jié)】解數(shù)列應(yīng)用題的思路和方法：具體方法步驟是：(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，還是遞推數(shù)列問題？是求an還是Sn？特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)為多少弄清題目中主要的已知事項(xiàng)(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 課堂合作探究公式應(yīng)用（三）分組求和：例3求和

8、：（1）9+99+999+999（n個(gè)9）（2）求和sn=（a+1）+（a2+2）+（a3+3）+（an+n）（1）分析：數(shù)列9,99,999，不是等比數(shù)列，不能用公式求和，但將它 轉(zhuǎn)化成10-1,100-1,1000-1，就容易解決了。解：原式=（10-1）+(102-1)+(10n-1) =(10+102+10n)-n =課堂合作探究公式應(yīng)用（三）分組求和：例3求和：（1）9+99+999+999（n個(gè)9）（2）求和sn=（a+1）+（a2+2）+（a3+3）+（an+n）(2) sn=(a+a2+a3+an)+(1+2+3+n)當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，總結(jié)提升反饋【 學(xué)習(xí)小結(jié)】1.知識(shí)：等

9、比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；2.思想：分類討論思想，方程思想及轉(zhuǎn)化思想3.方法： “知三求二”問題，即：已知等比數(shù)列之組可以求出其余的兩個(gè).錯(cuò)位相減法求和及分組求和法。五個(gè)量中任意的三個(gè)，列方程總結(jié)提升反饋【當(dāng)堂檢測】（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）1.數(shù)列1，的前n項(xiàng)和為（ ）. B. C. D. 以上都不對(duì)A.2.等比數(shù)列中，已知，則A. 30 B. 60 C. 80 D. 160（ ）.DCB3.在等比數(shù)列an中,Sn表示前n項(xiàng)和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q等于（ ） A.-3 B.3 C.-1 D.1總結(jié)提升反饋【當(dāng)堂檢測】（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）4.等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，若5. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則a .，則它的前5項(xiàng)和為 .211-1總結(jié)提升反饋【課后作業(yè)】.1. 等