2020-2021學年高中數(shù)學北師大版必修一同步課件：5.2.2-用函數(shù)模型解決實際問題-

1、2.2用函數(shù)模型解決實際問題必備知識自主學習1.幾種常見函數(shù)模型(1)常見函數(shù)模型正比例函數(shù)模型:y=kx(k0);反比例函數(shù)模型:y= (k0);一次函數(shù)模型:y=kx+b(k0);二次函數(shù)模型:y=ax2+bx+c(a0);導思1.如何構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題?2.各種常見函數(shù)模型之間有什么區(qū)別?指數(shù)函數(shù)模型:y=max+b(a0,且a1,m0);對數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+c(m0,a0,且a1);冪函數(shù)模型:y=kxn+b(k0).(2)本質(zhì):許多實際問題,一旦認定是函數(shù)關(guān)系,就可以通過研究函數(shù)及其性質(zhì),使問題得到解決.(3)應(yīng)用:用來解決實際生活中常見的函數(shù)類型問題.【思考】選擇

2、函數(shù)模型時應(yīng)注意什么問題?提示:選擇函數(shù)模型時,要讓函數(shù)的性質(zhì)、圖象與所解決的問題基本吻合,根據(jù)散點圖選取適當?shù)暮瘮?shù)模型、通過待定系數(shù)法求解析式,再通過數(shù)據(jù)驗證.2.數(shù)學建模(1)定義:用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程,叫作數(shù)學建模.(2)過程:如圖所示.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”).(1)函數(shù)y=x2比y=2x增長的速度更快些.()(2)當a1,n0時,在區(qū)間(0,+)上,對任意的x,總有l(wèi)ogaxxnax成立.()(3)函數(shù)y= 衰減的速度越來越慢.()提示:(1).指數(shù)函數(shù)增長的最快.(2).在同一個坐標系中,畫出三個函數(shù)的圖象,知結(jié)論錯誤.(3).對數(shù)函數(shù)

3、變化的速度越來越慢.2.一輛汽車在某段路上的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示,那么圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型為() A.分段函數(shù)B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù)D.對數(shù)函數(shù)【解析】選A.由圖象知,在不同時段內(nèi),路程折線圖不同,故對應(yīng)的函數(shù)模型為分段函數(shù).3.(教材二次開發(fā):例題改編)某人從A地出發(fā),開汽車以60 km/h的速度,經(jīng)2 h到達B地,在B地停留1 h,則汽車離開A地的距離y(單位:km)是時間t(單位:h)的函數(shù),該函數(shù)的解析式是.【解析】當0t2時,y=60t;當20),為了保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量x小于m,以便留出適當?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y和實際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空

4、閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k0).(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出該函數(shù)的定義域;(2)求魚群年增長量的最大值.【解析】(1)根據(jù)題意知,空閑率是 ,故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=kx ,0 xm.(2)由(1)知,y=kx =- x2+kx= 0 xm,則當x= 時,y取得最大值,ymax= .所以魚群年增長量的最大值為 .類型二用分段函數(shù)模型解決實際問題(數(shù)學建模)【典例】國慶期間,某旅行社組團去風景區(qū)旅游,若旅行團人數(shù)在30人或30人以下,飛機票價格為900元;若旅行團人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠:每多1人,飛機票價格就減少10元,直到達到規(guī)定人數(shù)75人為止.

5、旅行團乘飛機,旅行社需付給航空公司包機費15 000元.(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);(2)旅行團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?【思路導引】(1)分段函數(shù)模型,(0,30,(30,75為兩個分段區(qū)間;(2)利潤函數(shù)也是兩段,要分別求最大值.【解析】(1)設(shè)旅行團人數(shù)為x,飛機票價格為y元,(2)設(shè)旅行社獲得利潤為S元, 因為S=900 x-15 000在區(qū)間(0,30上單調(diào)遞增,當x=30時,S取最大值12 000,又S=-10(x-60)2+21 000在區(qū)間(30,75上,當x=60時,S取最大值21 000.故當x=60時,旅行社可獲得最大利潤.【解題策略】解決分段函數(shù)問題

6、的注意點(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏;(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集;(3)分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結(jié)論.【跟蹤訓練】已知A,B兩地相距150千米,某人開汽車以60千米/時的速度從A地到B地,在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地.(1)把汽車離開A地的距離x(千米)表示為時間t(小時)的函數(shù);(2)求汽車行駛5小時與A地的距離.【解析】(1)汽車以60千米/時的速度從A地到B地需2.5小時,這時x=60t;當2.5t3.5時,x=150;汽車以50千米/時的速度返回A地需3小時,這時x=150-50(t-3.5)

7、.所求函數(shù)的解析式為x= (2)當t=5時,x=-505+325=75,即汽車行駛5小時離A地75千米.類型三指數(shù)(對數(shù))函數(shù)模型(數(shù)學建模)【典例】2020年初,我國暴發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情,某校復學后,對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y= (a為常數(shù)).如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:(1)從藥物釋放 ,求每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)據(jù)測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室,那么從藥物釋放,至

8、少需要經(jīng)過多少小時后,學生才能回到教室?【思路導引】(1)根據(jù)題目、圖象提供的數(shù)據(jù),利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)每立方米的含藥量低于0.25毫克,列出不等式,求解.【解析】(1)設(shè)藥物釋放過程中即t(0,0.1)時,y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=kt,將(0.1,1)代入y=kt,得1=0.1k,所以k=10,y=10t.t0.1,+)時,將(0.1,1)代入y= ,得 =1,a= .故所求函數(shù)關(guān)系式為:y= (2)由(1)知,y在0.1,+)上單調(diào)遞減.令 ,所以t .即 小時也就是36分鐘后,學生才能回到教室.【解題策略】1.在實際問題中,常常遇到有關(guān)平均增長率的問題,如果原來產(chǎn)值的

9、基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y,可以用下面的公式y(tǒng)=N(1+p)x表示.解決平均增長率的問題,要用到這個函數(shù)式.2.對數(shù)函數(shù)模型可設(shè)為y=klogax+b.利用條件確定系數(shù),對數(shù)函數(shù)模型解題的關(guān)鍵是對數(shù)運算.【跟蹤訓練】燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn),燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v=5log2 (單位:m/s),其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位;(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度是多少?【解析】(1)由題知,當燕子靜止時,它的速度v=0,代入題中給出的函數(shù)關(guān)系式,可得0=5log2 ,解得Q=

10、10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.(2)將耗氧量Q=80代入題中給出的函數(shù)關(guān)系式,得v=5log2 =5log28=15.即當一只燕子的耗氧量是80個單位時,它的飛行速度為15 m/s.課堂檢測素養(yǎng)達標1.已知變量y=1+2x,當x減少1個單位時,y的變化情況是()A.y減少1個單位B.y增加1個單位C.y減少2個單位D.y增加2個單位【解析】選C.結(jié)合函數(shù)y=1+2x的變化特征可知C正確.2.下列函數(shù)中,增長速度最快的是()A.y=2 021xB.y=x2 021C.y=log2 021xD.y=2 021x【解析】選A.指數(shù)函數(shù)y=ax,在a1時呈爆炸式增長,并且隨a值的增大,增長速

11、度越快.3.(教材二次開發(fā):練習改編)某商場以每件30元的價格購進一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與售價x(元/件)之間的關(guān)系滿足一次函數(shù):m= 162-3x.若要使每天獲得最大的銷售利潤,則該商品的售價應(yīng)定為()A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件【解析】選B.設(shè)每天獲得的銷售利潤為y元,則y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+ 432(30 x54,xN),所以當x=42時,獲得的銷售利潤最大,故該商品的售價應(yīng)定為42元/件.4.如圖,一動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā),沿正方形的邊界逆時針運動一周,再回到點A.若點P經(jīng)過的路程為x,點P到頂點