2.2.2　反證法

1、問題一：證明我的杯中沒有水？問題二：將9個(gè)球分別染成紅色或白色，無論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？情景創(chuàng)設(shè)：葫蘆島市第九高級中學(xué)李文舉 2.2.2反證法選修22 第二章 推理與證明1反證法的定義由證明pq轉(zhuǎn)向證明 qrt，t與矛盾，或與某個(gè)矛盾，從而判定，推出的方法，叫做反證法假設(shè)真命題q為假q為真解釋：假設(shè)原命題不成立，（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立這樣的證明方法叫做反證法。（1）伽利略妙用反證法： 1589年，意大利25歲的科學(xué)家伽利略，為了推翻古希臘哲學(xué)家亞里士多德的“不同重量的物體從高空下落的

2、速度與其重量成正比”的錯(cuò)誤論斷，他了拿兩個(gè)重量不同的鐵球登上著名的比薩斜塔當(dāng)眾做實(shí)驗(yàn)來說明外，還運(yùn)用了反證法加以證明： 假設(shè)亞里士多德的論斷是正確的，設(shè)有物體A、B且A重B重，則A應(yīng)比B先落地.現(xiàn)把A與B捆綁在一起成為物質(zhì)AB，則（A+B）重A重，故A+B比A先落地，又因A比B落得快，A、B在一起時(shí)，B應(yīng)減慢A的下落速度，所以AB又應(yīng)比A后落地，這樣便得到了自相矛盾的結(jié)果.這個(gè)矛盾之所以產(chǎn)生.是由亞里士多德的論斷所致，因此這個(gè)論斷是錯(cuò)誤的.情景創(chuàng)設(shè)：（2）囚犯妙用反證法死里逃生： 從前有個(gè)國王總認(rèn)為自己是個(gè)“至高無上的權(quán)威”，又是個(gè)“大慈大悲”的救世主.在處決犯人前,總要叫犯人抽簽決定自己的命

3、運(yùn)，即在兩張小紙片上，一張寫“活”，一張寫“死”字，抽到“活”字可幸免一死，一個(gè)囚犯一天將要被處決，他的死對頭買通了獄史，把兩張紙片都寫上了“死”字讓他去抽，心想這下犯人必死無疑.誰知道那個(gè)獄史把此消息透漏給了犯人，犯人一聽，樂的眉開眼笑，高興的說：“這下我可死里逃生了?！彼玫氖裁疵罘兀?原來國王宣布抽簽開始后，那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一紙片，看也不看便放進(jìn)嘴里，就吞下肚子，這倒使在場的人慌了手腳，因?yàn)檎l也搞不清犯人抽到的是“死”還是“活”，此時(shí)，國王查看剩下的紙片上是“死”字，由此反證，可知犯人吞下去的是“活”字了，于是國王下了命令，將犯人痛打一頓，以責(zé)罰他不該擅自吞吃紙片，隨后又

4、不得不將犯人釋放了.犯人機(jī)智地運(yùn)用反證法保全了性命，真可謂棋高一籌.教學(xué)與目標(biāo)知識與能力過程與方法情感、態(tài)度、價(jià)值觀 通過實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生用反證法證明簡單問題的推理技能，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察能力、分析能力、邏輯思維能力及解決問題的能力.了解反證法證題的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動充滿探索性和創(chuàng)造性；滲透事物之間都是相互對立、相互矛盾、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想。在學(xué)習(xí)和生活中遇到困難的時(shí)候，要學(xué)會換個(gè)角度思考問題，也許會使問題出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī)。1、理解反證法的概念和在用反證法證明時(shí)對命題的假設(shè)。2、體會反證法證明命題的思路方法及反證法證題的步驟。3、用反證法

5、證明簡單的命題。重點(diǎn)難點(diǎn) 理解“反證法”證明得出“矛盾的所在”即矛盾依據(jù)。問題3：證明命題“設(shè)p為正整數(shù)，如果 是偶數(shù)，則p也是偶數(shù)”證明命題“設(shè)p為正整數(shù)，如果p2是偶數(shù), 則p也是偶數(shù)”，我們可以不去直接證明p是偶數(shù)，而是否定p是偶數(shù)，然后得到矛盾，從而肯定p是偶數(shù)。具體證明步驟如下：假設(shè)p不是偶數(shù)，可令p=2k+1，k為整數(shù)?？傻?p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇數(shù)，這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)p不是偶數(shù)不成立，從而證明p為偶數(shù)。p2 反設(shè)：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立歸謬：從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，推出矛盾。結(jié)論：因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立。（2）反證法的主要步驟討論：

6、什么情形適用反證法？結(jié)論詞 反設(shè)詞 結(jié)論詞 反設(shè)詞 是存在平行垂直大(小)于都是至少有一個(gè) 對所有x成立 至多有一個(gè) 對任意x不成立 至少有n個(gè) p或q 至多有n個(gè) p且q 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的.不是不存在不平行不都是不大(小)于不垂直一個(gè)也沒有 存在某個(gè)x0不成立 至少有兩個(gè) 存在某個(gè)x0成立 至多有n1個(gè) 非p且非q 至少有n1個(gè) 非p或非q 例1寫出用“反證法”證明下列命題的第一步“假設(shè)”.(1)互補(bǔ)的兩個(gè)角不能都大于90. (2)ABC中,最多有一個(gè)鈍角.(3)自然數(shù)a、b、c,中至少有一個(gè)是正數(shù).解：（1）假設(shè)互補(bǔ)的兩個(gè)角

7、能都大于90（2）假設(shè)ABC中，至少有兩個(gè)鈍角。（3）假設(shè)自然數(shù)a、b、c,中沒有正數(shù)。返回 歸謬是反證法的關(guān)鍵，但必須從反設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式。常見的幾種矛盾 1.與假設(shè)矛盾；2.與已知的公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論矛盾；3.與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾(例如，導(dǎo)出01，00之類的矛盾)。返回3、應(yīng)用反證法的情形：(1)直接證明困難;(2)需分成很多類進(jìn)行討論(3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)” -類命題； (4)結(jié)論為 “唯一”類命題； 例題講解例2證明 不是有理數(shù)。證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，把 兩邊平方得到，2q2=p2， 式表明p2是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于是令p=2l，l是正整數(shù)，代