《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題全解模擬試題及答案

1、 數(shù)學(xué)分析續(xù)論模擬試題及答案、單項(xiàng)選擇題(65)設(shè)n為單調(diào)數(shù)列，若存在一收斂子列，n，這時(shí)有jA.lima=liman;nnjnjJD.當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)先假設(shè)了卷為有界數(shù)列時(shí)，才有A成立.nB.b，不一定收斂；C.bn不一定有界;nn設(shè)f(x)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有 # #當(dāng)I為開區(qū)間時(shí)f(I)必為開區(qū)間;當(dāng)f(I)為閉區(qū)間時(shí)I必為閉區(qū)間; # #當(dāng)f(I)為開區(qū)間時(shí)I必為開區(qū)間;D.以上A、B、C都不一定成立. # 這時(shí)有A；B若f在x連續(xù)，則A成立;0設(shè)f(x)在某去心鄰域U(x0)內(nèi)可導(dǎo).A若limf(x)=A存在，則f(x0)=xxoC若f(xo)=A存在，貝Ulimf(x)=A;D以上A

2、、B、C都不一定成立.xxo設(shè)f(x)在a,b上可積，則有A.f(x)在a,b上必定連續(xù)；B.f(x)在a,b上至多只有有限個(gè)間斷點(diǎn);C.f(x)的間斷點(diǎn)不能處處稠密;D.f(x)在a,b上的連續(xù)點(diǎn)必定處處稠密.設(shè)un為一正項(xiàng)級(jí)數(shù).這時(shí)有n=1 # #A.若limu=0貝Iu收斂;nnB-若u收斂，則lim1；nun=1nn # #C.若uninn=1收斂，則limn1;D.以上A、B、C都不一定成立. 、計(jì)算題(104)試求下列極限: # #limn8k/1+3+(2n1)n丿limX+8(fX22Jetdt(0丿JXe212dt0 #設(shè) # #x1u“,u“y02f(u)“arctan #

3、 #試求f(u)與f(u0). # #(3)試求由曲線y“，直線x“2，以及二坐標(biāo)軸所圍曲 # 邊梯形的面積S(4)用條件極值方法(Lagrange乘數(shù)法)導(dǎo)出從固定點(diǎn)(xQ,yo)到直線Ax+By+C“0的距離計(jì)算公式三、證明題(103)(1)設(shè)f(x)與g(x)在a,b上都連續(xù).試證：若f(a)g(a),f(b)”g(b)，貝I必存在xo-(a,b)，滿足f(xo)“g(xo)-證明f(x)“xlnx在其定義域上為一嚴(yán)格凸函數(shù)，并導(dǎo)出不等式aabbcc,其中a,b,c均為正數(shù).(提示：利用詹森不等式.)證明：0 、答(1)A；(2)C；(3)B；(4)D；(5)D.、解(1)lim1+3+

4、(2n-1)-n-3n，lim，3；nf8、n+3丿nf8n+3limxf+8Jxe2t2dt2x2廠0t2dtlimxf+8e2x22fx2et2dt2ex2lim0，lim，0 xf+8ex2xf+82xexe12dt丫I0丿2)222xex+y222yex+y“2e545f，(u)，yx，f，(u0)=2丄x2+y2x2+y2553)所圍曲邊梯形如右圖所示.其面積為SJ(1-x201)dx1+(0 x)由題意，所求距離的平方(d2)為(xx需滿足Ax+By+C，0，故此為一條件極小值問題.依據(jù)Lagrange乘數(shù)法，設(shè)L=(xxo)2(yyo)2(AxByC)， #33 并令 #33 #

5、LxLyL久(F)2(x一x0)+九A0,2(y-y)+九B0,Ax+By+C0. #33 #由方程組(F)可依次解出: #33 # #33 #九Axx一xx02一CAx+ByAx0九Byy0一，02九cc(A2+B2),2By0 #33 #九Axo+By #33 # 33 #(x一x0)2(y一y0)2+B2)(Axo+By0+C)2Ax0By0CA2+B2d(x一x0)2(y一y0)2最后結(jié)果就是所求距離d的計(jì)算公式.注上面的求解過程是由(F)求出九后直接得到d2,而不再去算出x與y的值,這是一種目標(biāo)明確而又簡捷的解法.三、證(1)只需引入輔助函數(shù)：h(x)f(x)一g(x).易知h(x)

6、在a,b上連續(xù)滿足h(a)0故由介值性定理(或根的存在定理)，必存在x00,x(0,+x),所以f(x)為一嚴(yán)格凸函數(shù).根據(jù)詹森不等式，對(duì)任何正數(shù)a,b,c，恒有a+b+ca+b+c1ln()一(alna+blnb+clnc)333a+b+cnln()a+b+cln(aabbcc)最后借助函數(shù)lnx的嚴(yán)格遞增性，便證得不等式a+b+c)a+b+c,aabbcc.由于較難直接求出該級(jí)數(shù)的部分和，因此無法利用部分和的極限來計(jì)算級(jí)數(shù)的,n2n+1和.此時(shí)可以考慮把該級(jí)數(shù)的和看作幕級(jí)數(shù)S(X)丄丄上在X1處的值,2n+1n0于是問題轉(zhuǎn)為計(jì)算S(X).不難知道上述幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,1，經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到S(x)(-1)nx2n,x-1,1;n0這已是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)，其和為S(x)(-x