數(shù)學(xué)一第7-10套答案續(xù)

1、數(shù)學(xué)一（第七套）答案填空題1、答案：考點(diǎn)：泰勒公式解析：2、答案：2考點(diǎn)：變上限積分求導(dǎo)解析：提示 .3、答案： 考點(diǎn)：二階線性微分方程 解析：特征方程 則齊次方程的通解為 用特定系數(shù)法，設(shè)原方程的一個(gè)特解為非齊次二階常系數(shù)方程求解問題，根據(jù)非齊次項(xiàng)的形式設(shè)定特解形式，用特定系數(shù)法求出特解 代入原方程得 ，B=2，即原方程的通解為 4、答案： 考點(diǎn)：矩陣乘積變換與逆矩陣運(yùn)算、 解析： 5、答案：考點(diǎn)：基本概率及條件概率事件解析：6、答案：5考點(diǎn)：期望、方差解析：二、選擇題7、答案：B考點(diǎn)：向量基本關(guān)系，空間直線解析：的方向向量分別為2，1，1與2，1，3，不平行，但有公共點(diǎn)，故選B。8、答案：

2、A考點(diǎn)：連續(xù)，可導(dǎo)概念解析： 要使上式極限存在，由于存在且為所以應(yīng)使存在，又當(dāng)時(shí)才存在，故應(yīng)選A。9、答案：D考點(diǎn)：二重積分的積分次序變換，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的積分轉(zhuǎn)換解析：累次積分是函數(shù)，在積分域：上的二重積分的極坐標(biāo)系下的累次積分表達(dá)形式，于是在直角坐標(biāo)系下的累次積分為 若則圓心在x軸上；若則圓心在y軸上。10、答案：D考點(diǎn)：級(jí)數(shù)斂散性解析：例如收斂，亦收斂；收斂，發(fā)散。11、答案：B考點(diǎn)：多元函數(shù)的極值判定解析：所以在內(nèi)D部不可能有極值點(diǎn)，從而最值點(diǎn)必在D的邊界上。12、答案：C考點(diǎn)：初等矩陣乘積運(yùn)算解析：右乘矩陣A相當(dāng)于對(duì)第二列、第三列互換，左乘矩陣相當(dāng)于對(duì)該矩陣第二，第三行互換，經(jīng)驗(yàn)證

3、只有C符合題意。13、答案：C考點(diǎn)：矩陣乘積解析：A、表示三個(gè)平面互相平行，至多有兩重合。 B、表示條件必要，但不充分 C、中任兩個(gè)線性無(wú)關(guān)任兩個(gè)平面均相交，而不能由線性表出方程組無(wú)解（即排除三平面交于一條直線的情形），可見C入選。14、答案：B考點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望，相關(guān)系數(shù)解析：設(shè)t 為0 ，1上均勻分布，的概率密度函數(shù)相關(guān)系數(shù)為1，故A錯(cuò) 故B正確故C錯(cuò)三、解答題15、考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及積分變換中值定理解析：（1）若是偶函數(shù)，則 故F( x )與f ( x )有相同的奇偶數(shù)。（2）因?yàn)?由定積分中值定理 間）故 因?yàn)榉窃觯谑钱?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)均有，即有F ( x )非減。16、考點(diǎn)：二

4、重積分解析：根據(jù)被積函數(shù)中有，這個(gè)因子的特點(diǎn)，以為分界線，將全面劃分成為兩個(gè)子區(qū)域，于是 注意：是積不出來(lái)的，所以在D1上要先對(duì)x積分，而在D2上要先對(duì)y積分，因此 作代換則17、考點(diǎn)：三角積分，級(jí)數(shù)斂散性解析：（1）因?yàn)?所以 （2）因?yàn)樗詳?，從而收斂?8、考點(diǎn)：空間解析幾何直線方程解析：直線L1與L2的方向向量分別為取點(diǎn)（1，3，0），則L1與L2的對(duì)稱式方程分別為 l的方向向量為過(guò)L1且平行于是s的平面的法向量為的方程為將的參數(shù)方程：代入平面的方程，求得于是得直線與平面的方程，求得于是得直線與平面的交點(diǎn)為，最后得公垂線l的方程： 19、考點(diǎn)：積分不等式解析：由 故 20、考點(diǎn)：矩陣特

5、征值、特征向量解析：依題設(shè)，有即因此， 21、考點(diǎn)：求解方程組解析：（1） 故（I）的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為（1，1，2，1）T，（I）的通解為 （k為任意實(shí)數(shù)）。（2）將（I）的通解代入方程組（II），得 若（I）的解均是（II）的解，則上述方程應(yīng)對(duì)任意k成立，故得t =5，n =2，m =1，即當(dāng)m =1，n =2，t =5時(shí)，（I）的解均是（II）的解，當(dāng)m =1，n =2，t =5時(shí)由方程（II）知，故知I、II是同解方程。22、考點(diǎn)：利用隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解析：設(shè)Z表示商店每周所得的利潤(rùn)，則X與Y的聯(lián)合概率密度為 故 23、考點(diǎn)：置信區(qū)間解析：因2000相對(duì)于

6、50很大，故可認(rèn)為所抽取的50戶獨(dú)立隨機(jī)樣本，n = 50，戶為非偷漏稅戶戶為偷漏稅戶令 則由中心極限定理 而滿足的點(diǎn)故問題歸結(jié)為估計(jì)參數(shù)p，使整理該不等式得其中從而求得故p的95%的置信區(qū)間為（0.366，0.634）數(shù)學(xué)一（第八套）答案填空題1、答案：考點(diǎn)：型極限值解析：原式（這步變換很常見且重要，需牢記） 2、答案：考點(diǎn)：變上限定積分求導(dǎo)解析：因?yàn)?所以 當(dāng)k 0時(shí)，所求通解為4、答案：考點(diǎn)：矩陣變換，矩陣逆運(yùn)算解析：因?yàn)樗跃仃嘝可逆，于是由AP=PBP-1，又故 5、答案：考點(diǎn)：伯努力分布解析：則 又 即 故知參數(shù)，因此EX = 2。二、選擇題7、答案：A考點(diǎn)：空間解析幾何解析：本題

7、重在理解直線的意義，設(shè)兩條直線一過(guò)A3，平行于一過(guò)A1，平行于A2A3，因是滿秩的，故A1、A2、A3不共線，由右面示意圖即知道兩直線相交。8、答案：B考點(diǎn)：變上限定積分求導(dǎo)和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解析：9、答案：D考點(diǎn)：多元函數(shù)求偏導(dǎo)解析：因?yàn)槭怯蛇B續(xù)初等函數(shù)復(fù)合而成的，顯然二階混偏導(dǎo)數(shù) 均存在并且連續(xù)，故必有，因而選D。10、答案：D考點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂性解析：應(yīng)選D。因?yàn)榧?jí)數(shù)顯然為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由根值差別法有由此得知級(jí)數(shù)發(fā)散，C也正確，故選D。11、答案：C考點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)微分方程解析：求得駐點(diǎn)為此外，有（1）當(dāng)時(shí)，駐點(diǎn)為，從而 于是 而，即駐點(diǎn)均為極大值點(diǎn)，因而函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)極大值。（2）當(dāng)時(shí)，駐點(diǎn)為此時(shí)

8、于是 即駐點(diǎn)為非極值點(diǎn)。綜合上述，故選C。12、答案：D考點(diǎn)：矩陣乘法解析：由題設(shè)ABC=AE，可知A，B，C均可逆，且ABC=BCA=CAB,將ABCD與以上比較，可知D入選。13、答案：B考點(diǎn)：線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，由于 則向量組線性相關(guān)，選項(xiàng)A不對(duì)。同樣地，對(duì)于選項(xiàng)C，D，有 這兩個(gè)向量組也線性相關(guān)，故選項(xiàng)C，D均不對(duì)。對(duì)于選項(xiàng)B，由于向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組也線性無(wú)關(guān)，設(shè)有一組數(shù)使得由于線性無(wú)關(guān)，得線性方程組 系數(shù)先列式 方程組僅有零解，即所以，向量組線性無(wú)關(guān)，因此本題應(yīng)選B。14、答案：B考點(diǎn)：樣本空間概率分布解析：顯然于是 則又 由于獨(dú)立，從而相互獨(dú)立。于是 可見Y服

9、從自由度為n-1的t分布，故B入選。三、解答題15、考點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)解析：方程兩邊求導(dǎo)得 上式再求導(dǎo) 或解 將 代入上式得 16、考點(diǎn)：曲面積分解析：曲面積分應(yīng)用題，由重心公式列出相應(yīng)的積分式。解：以球心為原點(diǎn)，鉛垂直徑為Z，軸建立右手坐標(biāo)系，則球面方程為任一點(diǎn)的密度是，且由對(duì)稱性可知，半球殼的重心坐標(biāo)中有只需求出其中S是上半球面，、因?yàn)?所以 其中D是S在xoy平面上的投影區(qū)域上述M的計(jì)算利用極坐標(biāo)較方便，有 重心坐標(biāo)為17、考點(diǎn)：級(jí)數(shù)求和解析：解方程得通解為代入得于是，18、考點(diǎn)：空間解析幾何解析：設(shè)所求的直線方程為平衡的法矢量由直線與平面平行，所以 （*）因?yàn)閮芍本€相交，故有 （*）

10、解方程（*），（* *）得 令 故 所求直線為 19、考點(diǎn)：中值定理解析：上滿足柯西值定理?xiàng)l件，于是，使 又 在a,b上滿足拉格朗日中值定理， ，使得 由上面二式可得 20、考點(diǎn)：正交矩陣解析：由行列式乘法公式，得（1）如那么從而（2）如那么得到又因所以不論，總有21、考點(diǎn)：線性方程組求解解析：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，有 （1）當(dāng)時(shí)，即a=1且b=3時(shí)，方程組有解。（2）當(dāng)a=1，且b=3時(shí)，有 原方程組的同解方程組為 （*） 導(dǎo)出組的同解方程組為 自由未知量分別取值（1，0，0）T，（0，1，0）T，（0，0，1）T，得導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 （3）在方程組（*）中，令得原方程組的一個(gè)

11、特解 因此原方程組的全部解為其中k1, k2, k3為任意常數(shù)。22、考點(diǎn)：隨機(jī)變量概率分布解析：隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 于是，隨機(jī)變量的概率概率密度為 23、考點(diǎn)：無(wú)偏估計(jì)、樣本均值、樣本偏差解析：設(shè)為樣本值，似然函數(shù)為 則 令 解得 從而得到a的極大似然估計(jì)量 （2） 以替換E（X），得解出a ，得到a的估計(jì)量 數(shù)學(xué)一（第九套）答案填空題1、考點(diǎn)：e2解析：由于可導(dǎo)，故在x = 0處連續(xù)，因此又故 原式=2、答案：考點(diǎn)：定積分解析： 前一個(gè)積分中則所以 3、答案：考點(diǎn)：二階線性常微方程解析：特征方程為解得原方程的通解為：由初始條件，有 故 4、答案：（1）n考點(diǎn)：矩陣變換解析：為n 個(gè)線性無(wú)

12、關(guān)列向量，則矩陣可逆，即且滿足注意到 （矩陣列互換）故 注：將已知條件轉(zhuǎn)為 是關(guān)鍵5、答案：考點(diǎn)：重復(fù)試驗(yàn)解析：記事件分別表示甲、乙在第i次投籃中投中，i為甲、乙二人投籃的總次數(shù)；i =1,2,3,4,記事件A，B分別表示甲、乙取勝，則 是一個(gè)公比的幾何級(jí)數(shù)求和問題。由于，該級(jí)數(shù)收斂，且 若要甲、乙勝率相同，則即 這種游戲規(guī)則，只有當(dāng)時(shí)，甲、乙勝負(fù)概率相同。6、答案：考點(diǎn)：離散事件的數(shù)學(xué)期望解析：令X表示在取到正品之前已取出的廢品數(shù)，則X是一隨機(jī)變量，有三個(gè)可能取值：0，1, 2.X的概率分布為 數(shù)學(xué)期望 二、選擇題考點(diǎn)：曲面切平面解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則曲面在P點(diǎn)處的法向量為，而平面的法向量為依

13、題意，應(yīng)與平行，故有 由此得因P點(diǎn)在曲面上，故故應(yīng)選C。8、答案：D考點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性和極限解析：推得 （1）及 （2） 由于在處連續(xù)，所以由（1）得由（2）得 從而知存在在的一個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有9、答案：B考點(diǎn)：多元函數(shù)偏導(dǎo)，隱函數(shù)求偏導(dǎo)解析： 故 注：此題也可舉特例驗(yàn)證，如10、答案：C考點(diǎn)：級(jí)數(shù)斂散性解析：設(shè)則A、B、D不正確又 發(fā)散。故C正確。11、答案：D考點(diǎn)：積分函數(shù)奇偶性，大小估計(jì)解析：由于M的被函數(shù)在上是奇函數(shù)，則M=0。 故D入選。12、答案：C考點(diǎn)：矩陣秩解析：因故，（或），故應(yīng)有又因，故（若則矛盾）。13、答案：C考點(diǎn)：線性相關(guān)解析：將一個(gè)分量均變?yōu)?，相當(dāng)于減少一個(gè)分量，此時(shí)

14、新向量組可能變?yōu)榫€性相關(guān)，B屬初等（行）變換不改變矩陣的秩，并未改變換列向量組的線性無(wú)關(guān)性，D增加向量分量也不改變線性無(wú)關(guān)性。14、答案：B考點(diǎn)：正態(tài)分布解析：的概率密度函數(shù)為因而 三、解答題15、考點(diǎn)：積分變換連續(xù)解析：對(duì)第一個(gè)積分取，對(duì)第二個(gè)積分取，則上式右邊為其中在之間。令時(shí)，有16、考點(diǎn)：曲面積分解析：由得投影區(qū)域D的邊界為 由方程，得 于是原式17、考點(diǎn)：級(jí)數(shù)求和解析：取為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) 再取為的泰勒級(jí)數(shù) 兩級(jí)數(shù)相乘得 故 注：如果級(jí)數(shù)都收斂，作這兩個(gè)級(jí)數(shù)乘積，其中如也收斂，則必有18、考點(diǎn)：微分方程應(yīng)用解析：設(shè)為子彈在木板內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，阻力為，按題意其中即 由 得 設(shè)子彈穿過(guò)木板所用

15、的時(shí)間為T，則有從而 又 即 又 故 由 得所求時(shí)間為T。19、考點(diǎn)：中值定理解析： 又 故 即 其中 20、考點(diǎn)：方程組求通解解析：由已知有是相應(yīng)的齊次方程組的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，系數(shù)矩陣的秩又 系數(shù)矩陣有二階子式 系數(shù)矩陣的秩， 系數(shù)矩陣的秩為2。 齊次方程組的基礎(chǔ)解系包含2個(gè)解向量，即 是齊次方程組的基礎(chǔ)解系。 該方程組的通解為 21、考點(diǎn)：矩陣特征值解析：因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，是A的二重特征值，所以A的對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，故秩經(jīng)過(guò)行的初等變換 于是，解得 矩陣 其特征多項(xiàng)式 由此得到特征值：解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 22、考點(diǎn)：條件概率解析：由題設(shè)

16、條件知，的密度函數(shù)皆為 于是 因此 故 23、考點(diǎn)：極大似然估計(jì)解析：設(shè)的分布密度為 因此a , b的似然函數(shù)為 因?yàn)橛伤迫环匠探M 求不出a , b，故不能用解似然方程組的方法求出a 和b的極大似然估計(jì)量，為此，令 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，似然函數(shù)取最大值，所以為的極大似然估計(jì)。數(shù)學(xué)一（第十套）答案填空題1、答案：3考點(diǎn)：求極限解析：這是“”型，數(shù)列極限，不能直接用洛必達(dá)法則，可以利用連續(xù)變量的極限，即得用求得原式當(dāng)時(shí)，于是也可由原式2、答案：考點(diǎn)：分部積分解析：由于被積函數(shù)為應(yīng)聯(lián)想分部積分法 3、答案：考點(diǎn)：微分方程解析：特征方程有相異的實(shí)根設(shè)原方程的一個(gè)特解為代入原方程，得故原方程組的通解為4、答案：考

17、點(diǎn)：矩陣運(yùn)算，伴隨矩陣解析：由得 故應(yīng)填 5、答案：考點(diǎn)：概率分布 Z 0 1P 解析： X 0 0 1 1Y 0 1 0 10 1 1 1 1由可知 6、答案：考點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望望應(yīng)用解析：由題設(shè)可知X的分布密度為 =二、選擇題7、答案：B考點(diǎn)：空間解析幾何、向量運(yùn)算解析：若兩邊同時(shí)數(shù)乘c，則得共面，以共面是的必要條件，設(shè)共面，例如故共面不是成立的充分條件。注：對(duì)于不好確定的定義，采用反例推理是一種可行方法。8、答案：C考點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性解析：令顯然當(dāng)時(shí)，恒有可見A，B，D不入選，故C入選。9、答案：C考點(diǎn)：偏導(dǎo)、全微分解析：當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)（0，0）連續(xù)，又但不是時(shí)的高階無(wú)窮小，故不可微。10

18、、答案：C考點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂性解析：由于而且級(jí)數(shù)均收斂，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即C正確。11、答案：D考點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)求極值解析： 因?yàn)樵谔庍B續(xù)，又不妨設(shè)在的鄰域內(nèi)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，（的空心鄰域），即是極小值。當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，不是極值，選D。還可舉特例進(jìn)行難證12、答案：C考點(diǎn)：先將行列式拆分為兩個(gè)行列式之和，得到再利用兩列一調(diào)，行列式變號(hào)的性質(zhì)，得到因而C對(duì)，其余的都不對(duì)。13、答案：D考點(diǎn)：線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)解析：顯然A，B都不對(duì)，例如它們都不是零向量，且任意兩個(gè)向量的分量不成比例，它們線性相關(guān)，故A，B不是線必?zé)o關(guān)的充分條件，顯然也不是必要條件。若線性無(wú)關(guān)，則其個(gè)數(shù)m不超過(guò)向量的維數(shù)n 即這是向量組線性無(wú)關(guān)的必要條件，但不是充分條件，例如有但線性相關(guān)。可知只有D成立。14、答案：C考點(diǎn)：正態(tài)分布性質(zhì)解析：對(duì)任意為常數(shù)。因?yàn)?三、解答題15、考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)連續(xù)性解析： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在處可導(dǎo)，且綜合以上有 顯然6因