5.3二次曲線的切線匯總課件

1、5.3 二次曲線的切線定義 5.3.1如果直線與二次曲線相交于相互重合的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線就叫做二次曲線的切線，這個(gè)重合的交點(diǎn)叫做切點(diǎn).規(guī)定：如果直線全部在二次曲線上，我們也稱它為二次曲線的切線。直線上的每一點(diǎn)都可以看作切點(diǎn).現(xiàn)在我們來求經(jīng)過二次曲線(1)的直線總可寫成切線方程上的點(diǎn)的切線方程.因?yàn)橥ㄟ^(2)那么根據(jù)5.1 的討論,知道直線(2)與二次曲線(1)的交點(diǎn)的參數(shù)滿足容易知道直線成為二次曲線的切線的條件，因此當(dāng) 時(shí)因?yàn)?在(1)上，所以 ；(3) 如果 與 不全為零，那么得：(3) 當(dāng) 時(shí)，直線(2)成為二次曲線(1)的切線的條件除了 外，唯一的條件仍然是(3).因此過 的切線方程

2、為或?qū)懗苫蚪夥ㄒ灰驗(yàn)榍依?1 求二次曲線的點(diǎn) 的切線方程.即奇點(diǎn) 如果那么(3)變?yōu)楹愕仁剑?3)從而切線不確定，切線的方向 不能唯一地被確定,所以 是二次曲線上的正常點(diǎn)，因此得在點(diǎn) 的切線方程為我們就把這樣的直線也看成是二次曲線的切線.這時(shí)通過的任意直線都和二次曲線相交于相互重合的兩點(diǎn)，奇點(diǎn):定義 5.3.2 二次曲線上滿足條件 的點(diǎn) 叫做二次曲線的奇異點(diǎn)，簡稱奇點(diǎn)； 二次曲線的非奇異點(diǎn)叫做二次曲線的正常點(diǎn).定理 5.3.1 每一條直線都是二次曲線的切線.(3)正常點(diǎn)才能用如果 是二次曲線的正常點(diǎn)，如果 是二次曲線的奇異點(diǎn)，那么通過 的切線方程是(3)，是它的切點(diǎn).那么通過 的切線不確定，或

3、者說通過點(diǎn) 的(5.3-4)對(duì)比 公式(5.3-4)便于記憶，記憶的方法是在原方程(1)中，把寫成就得出(5.3-4).推論 如果 是二次曲線的正常點(diǎn)，那么通過 的切線方程是然后每項(xiàng)中的一個(gè) 或 用 或 代入后，寫成證把(5.3-3)改寫為再根據(jù)本章開始時(shí)介紹得恒等式，上式又可寫為(5.3-5)(5.3-3)即從而得(5.3-4).所以點(diǎn) 不在曲線上,解法一所以不能直接應(yīng)用公式(5.3-3)或(5.3-4).因?yàn)槔们芯€定義來做.例 2 求二次曲線 通過點(diǎn) 的切線方程.因?yàn)檫^點(diǎn) 的直線可以寫成其中 為參數(shù)， 為直線的方向數(shù). 又因?yàn)樗愿鶕?jù)直線與二次曲線的相切條件(5.3-1)得化簡得從而有即再由過點(diǎn) 的直線方程得消去參數(shù)得這兩直線的方向分別為1:2與1:(-1)，顯然它們都不是已知二次曲線的漸近方向，所以這兩直線就是所求的過點(diǎn) 的切線.或或設(shè)過 的切線與二次曲線相切于解法二那么切線方程為即(3)因?yàn)樗ㄟ^ ,所以 滿足方程,將 代入化簡得(4)另一方面點(diǎn) 在曲線上，所以又有(5)聯(lián)立解(4),(