傳熱學(xué)-第四章-熱傳導(dǎo)問題數(shù)值解法課件

1、作業(yè)：第四版：3-2，3-31，3-482022/7/151第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法Numerical Method forHeat Conduction2022/7/153主要內(nèi)容（重點(diǎn)掌握）：導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)外節(jié)點(diǎn)離散方程的建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法 Friday, July 15, 20224特點(diǎn)： (1) 分析法 a 能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)； b 分析解具有普遍性，各參數(shù)的物理意義及影響清晰 c 局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問題無法求解；前述2、3章對(duì)導(dǎo)熱問題的求解思路：導(dǎo)熱微分方程+邊界條件+初始條件穩(wěn)態(tài)問題：直接積分法非穩(wěn)態(tài)問題：分離變量法

2、解析解（analytical solution）局限性：簡(jiǎn)單幾何形狀及邊界條件工程實(shí)際中面臨的大部分問題幾何形狀和邊界條件要復(fù)雜的多，由于數(shù)學(xué)上的困難還不能給出解析解，導(dǎo)致目前解析解只能作為某些簡(jiǎn)單問題的參照依據(jù)，不能解決實(shí)際問題。研究傳熱學(xué)問題的三種基本方法：(1)理論分析法； (2)實(shí)驗(yàn)法；(3)數(shù)值計(jì)算法4-0 引言Friday, July 15, 20225(2) 實(shí)驗(yàn)法: 是傳熱學(xué)的基本研究方法：a 偏向于機(jī)理研究；b.受場(chǎng)地，燃料動(dòng)力源等因素的影響，無法完全復(fù)現(xiàn)研究對(duì)象，具有時(shí)間、空間上的局限性c.費(fèi)用昂貴(3) 數(shù)值方法數(shù)值方法：把原來在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)

3、上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解a. 在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)；適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；b. 與實(shí)驗(yàn)法相比成本低數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 邊界元法（boundary- element）、 分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD） Friday, July 15, 202264-1 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（建立網(wǎng)格系統(tǒng)）針對(duì)所有節(jié)點(diǎn)建立某物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程解的分析是

4、改進(jìn)初場(chǎng)否是否收斂步驟：Friday, July 15, 20227研究對(duì)象：二維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源導(dǎo)熱問題1.建立控制方程，給出定解條件：B.C.Friday, July 15, 202282.區(qū)域離散化-建立網(wǎng)格系統(tǒng)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離步長(zhǎng)（step length）節(jié)點(diǎn)（node）：網(wǎng)格線的交點(diǎn)，是需要確定溫度值的點(diǎn)，是每個(gè)子區(qū)域的代表。網(wǎng)格線：一系列與坐標(biāo)軸平行且相互交叉的網(wǎng)格線，將求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域元體（element）或控制容積（control volume）：相鄰兩節(jié)點(diǎn)中錘線構(gòu)成的區(qū)域。xyn=1mm=Mn=Nm=1(m,n)Friday, July 15, 202293

5、.建立物理量的代數(shù)方程節(jié)點(diǎn)(m,n)上物理量的代數(shù)方程稱為離散方程（discretization equation），是數(shù)值求解的重要環(huán)節(jié)。4.設(shè)立迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的解法分為直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中每一個(gè)未知數(shù)都需要給定一個(gè)初值，其合集稱之為初場(chǎng)（initial field）5.求解代數(shù)方程組各項(xiàng)系數(shù)（l等）經(jīng)確定后，在求解過程中不發(fā)生變化線性問題r，c，l，e隨溫度變化各項(xiàng)系數(shù)在每次迭代中更新非線性問題6.解的分析獲得溫度場(chǎng)不是最終目的，根據(jù)傅里葉定律獲取界面處的熱流q，熱應(yīng)力，熱變形等。若把矩形看成肋片，最終目的可能是求其肋效率等。Friday, July 15

6、, 202210建立離散方程的常用方法：(1) 泰勒級(jí)數(shù)展開法；(2) 多項(xiàng)式擬合法；(3) 控制容積積分法；(4) 控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法Friday, July 15, 202211一. 泰勒級(jí)數(shù)展開法Friday, July 15, 202212a，b相加得：略去無窮小量有：Friday, July 15, 202213同理，在y軸方向有：這種使用被離散點(diǎn)本身、前后兩點(diǎn)作近似的差分方法稱為中心差分傳熱學(xué)中常用到的一階二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式如下表所示（均分網(wǎng)格）：Friday, July 15, 202214Friday, July 15, 2022

7、15二. 熱平衡法思路：類似于導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)，利用傅里葉定律，直接寫出每個(gè)控制體的能量守恒方程。均分網(wǎng)格：直接將能量守恒原理與傅里葉定律應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)所代表的控制體。物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡(jiǎn)潔，應(yīng)予以重點(diǎn)掌握！非均網(wǎng)格只需對(duì)界面面積做適當(dāng)處理即可(m,n)Friday, July 15, 2022164-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解第一類邊界條件：已知全部邊界的溫度，作為已知值加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)封閉第二類邊界條件或第三類邊界條件：部分邊界溫度未知。

8、不封閉(m,n)Friday, July 15, 2022171.邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：qwxyqw(1) 平直邊界上的節(jié)點(diǎn)(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)Friday, July 15, 202218(2) 內(nèi)部角點(diǎn)xyqw(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)(m+1,n)Friday, July 15, 202219(3) 外部角點(diǎn)xy(m,n)(m,n-1)(m-1,n)qwFriday, July 15, 202220熱流邊界qw分為三種情況討論：第三類邊界條件：(3) 輻射邊界條件：Friday, July 15, 2022212.節(jié)點(diǎn)方程組的求

9、解思路：寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程；使得未知節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)=代數(shù)方程式個(gè)數(shù)代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法迭代法：給出初場(chǎng)，在迭代中不斷改進(jìn)，直至滿足收斂條件為止。直接求解：矩陣求逆，高斯消元法等經(jīng)過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程的精確解。Friday, July 15, 202222直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解; 矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到每?jī)纱沃g的迭代結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度

10、的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值Friday, July 15, 202223在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：第 k 次迭代完全結(jié)束后的節(jié)點(diǎn)溫度：Friday, July 15, 202224判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：當(dāng)有溫度t接近于零的時(shí)，選此準(zhǔn)則較好迭代次數(shù)，表示第k次迭代表示第k次迭代所得計(jì)算域內(nèi)的最大值Friday, July 15, 202225例題：Friday, July 15, 202226Friday,

11、July 15, 202227 4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)值解法的特點(diǎn)： （1）非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程多了非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，因此單值性條件中增加了初始條件； （2）除了對(duì)空間域進(jìn)行離散外，還需要對(duì)時(shí)間域進(jìn)行離散； （3）利用熱平衡法導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)溫度方程時(shí)需要考慮控制容積的熱力學(xué)能隨時(shí)間的變化； （4）由于時(shí)間和空間同時(shí)離散，在有些情況下空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)不能任意選擇，否則會(huì)帶來節(jié)點(diǎn)溫度方程求解的穩(wěn)定性問題。 Friday, July 15, 202228第三類邊界條件下，常物性、無內(nèi)熱源無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例。 1) 求解域的離散 2) 節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的建立 運(yùn)用熱平衡法可以

12、建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程。1. 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值求解： Friday, July 15, 202229內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度差分方程 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)n所代表的控制容積在i時(shí)刻的熱平衡： 時(shí)間項(xiàng)一階導(dǎo)數(shù)采用向前差分，擴(kuò)散項(xiàng)采用當(dāng)前（i）時(shí)層上的值來表示，熱平衡方程式可寫成 左側(cè)導(dǎo)入熱量右側(cè)導(dǎo)入熱量計(jì)算第i+1時(shí)層溫度值時(shí)，用第i時(shí)層的已知值內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度方程的顯式差分格式 Friday, July 15, 202230兩點(diǎn)結(jié)論： (a) 任意一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)n在(i+1)時(shí)刻的溫度都可以由該節(jié)點(diǎn)及其相鄰節(jié)點(diǎn)(n-1) 、(n+1)在i 時(shí)刻的溫度由上式直接求出，不必聯(lián)立求解方程組，這是顯式

13、差分格式的優(yōu)點(diǎn)。這樣就可以從初始溫度出發(fā)依次求出各時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)溫度；(b) 必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即 穩(wěn)定性條件說明，一旦空間步長(zhǎng)x或時(shí)間步長(zhǎng)的數(shù)值確定之后，另一個(gè)步長(zhǎng)的數(shù)值的就不能任意選擇，必須滿足穩(wěn)定性條件。 物理意義: Friday, July 15, 202231隱式差分格式： 如果節(jié)點(diǎn)溫度取下一時(shí)層(i+1)的溫度值，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)n所代表的控制容積的熱平衡方程式可寫成: 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度方程的隱式差分格式 Friday, July 15, 202232隱式格式與顯式格式的區(qū)別：Friday, July 15, 202233 (2) 邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程 邊界節(jié)點(diǎn)0所代表的控制容積在k 時(shí)刻的熱平衡： 時(shí)間項(xiàng)一階導(dǎo)采用向前差分，擴(kuò)散項(xiàng)采用前一時(shí)層（i）溫度（顯示格式），熱平衡方程式可寫成： 上式寫成顯函數(shù)的形式Friday, July 15, 202234同內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度方程的顯式差分格式的道理相同，需將上一時(shí)層的信息傳遞到下一時(shí)層去，因此必須滿足：Friday, July 15, 202235 第四章小結(jié) （2）掌握有限差分法的原理; 重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容： （3）能夠根據(jù)導(dǎo)熱問題的特點(diǎn)，