華中科大08年數(shù)學(xué)分析(共5頁)

1、數(shù)學(xué)分析(sh xu fn x)試卷03一、 求極限(jxin) 解: 一方面顯然(xinrn)另一方面，且由迫斂性可知。注：可用如下兩種方式證明令，則即，從而由有。二、證明為某個(gè)函數(shù)的全微分，并求它的原函數(shù)。證明：記，則，是某個(gè)函數(shù)的全微分設(shè)原函數(shù)為，則三、設(shè)是空間區(qū)域(qy)且不包含原點(diǎn)，其邊界為封閉光滑(gung hu)曲面：用表示(biosh)的單位外法向量，和，證明：證明：設(shè)的方向余弦為。因?yàn)榈姆较蛴嘞覟?，所以，由于原點(diǎn)不在空間區(qū)域，根據(jù)高斯公式，有注：當(dāng)原點(diǎn)也在該區(qū)域時(shí)，結(jié)論也成立，詳細(xì)參考課本P296第8題答案。四、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：證明：記，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上連續(xù)，從而在

2、上可積。而對(duì)每個(gè)，存在，從而累次積分也存在，同理也存在。于是即五、設(shè)，證明收斂并求其極限。證明：一方面由歸納法易知，即有界。另一方面于是(ysh)單調(diào)(dndio)，從而收斂(shulin)。設(shè)，則解得六、設(shè)反常積分絕對(duì)收斂且，證明收斂。證明：由于，故，當(dāng)時(shí)，此時(shí)再由絕對(duì)收斂知，對(duì)，有取，則故收斂。注：這里還差0不是 的瑕點(diǎn)這一條件，若不然討論由下題可知絕對(duì)收斂，但發(fā)散。這是因?yàn)榘l(fā)散；收斂。七、討論反常積分的斂散性（包括絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散），其中為常數(shù)。解：記先討論（可以用瑕積分收斂判別的推論）由可知，當(dāng)時(shí)，是定積分，只需考慮當(dāng)時(shí)，由收斂知收斂，且絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，由發(fā)散知發(fā)散。再討論(t

3、oln)當(dāng)時(shí)，由收斂(shulin)知絕對(duì)(judu)收斂當(dāng)時(shí)，條件收斂，這是由于對(duì)任意，有，而單調(diào)趨于0，由狄利克雷判別法知收斂。另外，其中滿足狄利克雷條件，是收斂的。但是發(fā)散的。所以當(dāng)時(shí)，是條件收斂的。綜上所述， 當(dāng)時(shí)，條件收斂；當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散。八、將函數(shù)展開為余弦級(jí)數(shù)。解：對(duì)作偶式周期延拓，則的傅里葉系數(shù)為：即，（）九、證明(zhngmng)函數(shù)在上可微證明(zhngmng)：對(duì)，收斂(shulin)記，則。與在上均連續(xù)由于對(duì)，因此即在上收斂故在上可微且十、設(shè)在上二階可導(dǎo)，且在上成立，。證明在上成立。證明(zhngmng)：根據(jù)(gnj)泰勒公式，分別將與在處展開(zhn ki)：兩式相減得內(nèi)容總結(jié)（1）數(shù)學(xué)分析試卷03一、 求極限 解: 一方面顯然另一方面，且由迫斂性可知（2）二、證明為某個(gè)函數(shù)的全微分，并求它的原函數(shù)（3）注：這里還差0不是 的瑕點(diǎn)這一條件，若不然討論由下題可知絕對(duì)收斂，但發(fā)散（4）七、討論反常積分的斂散性（包括絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散），其中為常數(shù)（5）當(dāng)時(shí)，由發(fā)散知發(fā)散（6