天津科技大學(xué)11-12學(xué)年高等數(shù)學(xué)(一.二)A卷

1、題號(hào)一二三四五六七八總成績(jī)得分判卷人復(fù)核人得分一、填空題（每小題3分,共15分）1. 設(shè)函數(shù)，則 . 答：1 2. 函數(shù)的極小值是 . 答：03. 交換二次積分的次序?yàn)?答：4. 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)條件收斂，此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 答：3 5. 若是圓周取逆時(shí)針一周，則 答：0 得分二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分,共15分）請(qǐng)把答案寫在括號(hào)里1. 若函數(shù)由方程確定，則（ ）. 答：B（A）； （B）；（C）； （D）.2若區(qū)域：，則（ ） 答：B （A） 1； （B）2； （C）4； （D）3若區(qū)域由直線及兩坐標(biāo)軸圍成，記，則與的大小關(guān)系是（ ）答：A（A）； （B）； （C）； （D）無法確定. 4設(shè)是位

2、于第一卦限的平面，則對(duì)面積的曲面積分（ ） 答：C（A）； （B）； （C）； （D）5函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)為（ ）， 答：D（A）； （B）；（C）；（D） 得分三、多元函數(shù)計(jì)算題（共2題,每題6分,共12分）1.求函數(shù)的全微分.解：由，有，（2分） 由變量的對(duì)稱性,得（3分）；又.（4分）所以， （6分）2.設(shè)函數(shù)，驗(yàn)證該函數(shù)滿足方程.證明：由于, （2分）； （3分） .（5分）所以, .（6分）得分四、重積分計(jì)算題（共2題,每題6分,共12分）1計(jì)算二重積分，區(qū)域由直線及圍成解： （3分）（6分）若區(qū)域?yàn)椋ǎ?，利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分解： （3分） （4分）（6分）得分五、線面積分計(jì)算題

3、（共2題,每題7分,共14分）1計(jì)算曲線積分，其中是螺旋線上對(duì)應(yīng)于從到的一段弧（其中）解： （4分） （7分）2. 計(jì)算曲面積分，其中是圓錐面及平面，圍成的立體的表面外側(cè)解：由高斯公式，原式 （2分）（5分）（7分）得分六、級(jí)數(shù)題（共3題,每題6分,共18分）1. 判定級(jí)數(shù)是否收斂，如收斂求其和.解：設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為，則 （1分）（3分），（4分）所以，級(jí)數(shù)收斂，且和為（6分）2. 判定級(jí)數(shù)的收斂性，收斂時(shí)，說明是條件收斂，還是絕對(duì)收斂.解：令，（1分）而，（3分）故級(jí)數(shù)收斂，（4分） 因此，級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂 （6分）3.求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間解：由，（2分）故收斂半徑（4分）因此，冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是（6分）得分七、極值題（8分）要造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方形容器,已知底部造價(jià)為每平米20元,側(cè)面造價(jià)為每平米10元.現(xiàn)想用360元造一個(gè)容積最大的容器,求該長(zhǎng)方形容器的尺寸.解：設(shè)容器的長(zhǎng)、寬、高分別為.則容器的容積為,且滿足條件,即. （2分）設(shè)，（3分）由 （4分）得到（5分）。代入 得唯一可能的極值點(diǎn)（米）（6分）。因?yàn)橛蓡栴}本身可知的最大值一定存在，所以其最大值一定在這個(gè)極值點(diǎn)處取得（7分）。因此，當(dāng)米時(shí)，長(zhǎng)方形容器的尺寸最大，其最大容積為立米。（8分）得分八、證明題（6分）設(shè)，,且級(jí)數(shù)收