2歷年課件4.3序列相關(guān)性

1、4.3 序列相關(guān)CLRM 假設(shè)：不同觀察值下的隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)。實(shí)際中，不同觀察值下的隨機(jī)誤差常相關(guān)。內(nèi)容：序列相關(guān)含義、4.3.1 序列相關(guān)的含義一、序列相關(guān)的含義、檢驗(yàn)、修正。序列相關(guān)表達(dá)： cov t , s E t s 0for t s如家庭消費(fèi)模型中的隨機(jī)誤差存在序列相關(guān)。對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，序列相關(guān)意味著消費(fèi)的隨機(jī)干擾項(xiàng)與過(guò)去消費(fèi)的隨機(jī)干擾項(xiàng)有關(guān)，消費(fèi)具有慣性；對(duì)于截面數(shù)據(jù)，序列相關(guān)意味著每個(gè)家庭消費(fèi)之間的隨機(jī)相互受影響。二、序列相關(guān)存在的原因慣性模型設(shè)定誤差（變量、函數(shù)形式）數(shù)據(jù)加工三、序列相關(guān)的形式序列相關(guān)常稱(chēng)為自相關(guān)，是指隨量與其滯后項(xiàng)之間的相關(guān)，這里主要指回歸模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)

2、的自相關(guān)。當(dāng)誤差項(xiàng)只與其滯后一期有關(guān)時(shí)，即 t =f( t-1)，稱(chēng)誤差項(xiàng)具有一階自回歸形式，記 AR(1)。當(dāng)誤差項(xiàng)不僅與前一期有關(guān)，而且與前若干期都有關(guān)時(shí)，即 t =f(t-1, t-2,)，稱(chēng)誤差項(xiàng)具有高階自回歸形式。下面誤差項(xiàng)具有線性一階自回歸形式的一元回歸模型：Y X , N 0, for t 1,.,T2ttttcovv , v 0, cov 0 v , v N 0,2, vtt 1ttvtst 1t 的含義：由于t t1 vt 滿足 CLRM 假設(shè)，所以 的 OLS 估計(jì)為：TT t t t 1 21t 2t 2另外，將 t 和 t-1 看作兩個(gè)變量，它們樣本相關(guān)系數(shù)為：TTT

3、t 1 t t 1 t 22t 2t 2t 2當(dāng)大樣本時(shí)， 。對(duì)于總體參數(shù)而言，有 。于是， t t 1 vt 常寫(xiě)作： t t 1 vt , 1cov cov , v 2tt 1ttt 1cov , s 2t st1于是，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差-協(xié)方差陣為：1.T 2T 1 1.T 2 var = 22.1T 1另外，從 與 的關(guān)系：22vt 1vt 2 var var var v 22 22vtt 1t 2 v ，隨機(jī)誤差2方差。1 2四、序列相關(guān)的特征正自相關(guān)的隨量變化特征m1 growth rate_序列相關(guān).wf1M1g 為 1979 年 1 月至 2008 年 9 月（n=357）中國(guó)狹

4、義貨幣同比增速plot M1g（時(shí)序圖）60scat M1g(-1) M1g（散點(diǎn)圖）605050404030302020101000-10-10-10 010 20 30 40 50M1G(-1)1980 1985 1990 1995 2000 200560M1G無(wú)自相關(guān)的隨ls m1g c m1g(-1) series e=resid plot e（時(shí)序圖）30量變化特征scat e(-1) e（散點(diǎn)圖）302020101000-10-10-20-20-30-30-30 -20 -1001020E(-1)1980 1985 1990 19952000 200530E因此，我國(guó)狹義貨幣增長(zhǎng)率

5、為 AR(1)時(shí)間序列。負(fù)自相關(guān)的隨量變化特征tablef5-2.wf1 （n=204）series infl=100*cpi_u/cpi_u(-1)-100 ls infl-infl(-1) c unempseries e=resid2M1GEplot e（時(shí)序圖）scat e(-1) e（散點(diǎn)圖）3210-1-2-3-3-2-10123E(-1)4.3.2 序列相關(guān)的一、OLS 估計(jì)量仍線性無(wú)偏且一致ee 22二、估計(jì)量為誤差項(xiàng)方差的有偏估計(jì)T k以誤差項(xiàng)具有線性一階自回歸形式的一元回歸模型為例Yt Xt tet Yt Xt , and are OLS estimators 2 T 2 1

6、 2 r e2 E t 2 E T 2 T 2 t sx 。 t其中， r 2當(dāng) 0 時(shí)， E ；222e當(dāng) 0 時(shí)， E ，即為 有偏估計(jì)。222t2T 2當(dāng) 0 和解釋變量在數(shù)據(jù)上呈正自相關(guān)（即 r 0 ）時(shí)，T 2 1 2 r2E 2T 2T 2 2 1 2 r2 2T 2誤差項(xiàng)的方差估計(jì) 低估 。圖形直觀理解2E ：2223E3210-1-2-350 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 E等著計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型與經(jīng)濟(jì)(第 4 版)圖 6-1 正序列相關(guān)注：圖來(lái)自上圖說(shuō)明當(dāng)誤差序列相關(guān)時(shí)，OLS 估計(jì)量無(wú)偏，但 OLS 估計(jì)量的方差估計(jì)卻低估了真實(shí)方差。三、OLS 估計(jì)

7、量的方差估計(jì)量有偏 1這里指用公式X X作為 var 的估計(jì)量，而2 1 XX 1 。var 2對(duì)于誤差項(xiàng)具有線性一階自回歸形式的一元回歸模型： xt t 222xt t tx var var22xts cov t , s t2222xxt 2 tx x t ss t s2 tx222xtx 作為 var 估計(jì)，可能低估也可能 t因此，用 22的22x 是 var 有偏估計(jì)。 t方差。簡(jiǎn)言之， 222四、置信區(qū)間法和顯著性檢驗(yàn)(t 和 F 檢驗(yàn))不可靠當(dāng) 0 和解釋變量在數(shù)據(jù)上呈正自相關(guān)時(shí)， t2x 低估2var ，造成 t 值偏大，從而把不重要的解釋變量保留在模型中，2使顯著性檢驗(yàn)失去意義。

8、4.3.3 序列相關(guān)的檢驗(yàn)一、殘差的時(shí)序圖和自相關(guān)散點(diǎn)圖二、Durbin-Watson 檢驗(yàn)1、Durbin-Watson 檢驗(yàn)前提條件回歸模型包含截距項(xiàng)解釋變量為非隨量因此，解釋變量不能包含滯后被解釋變量隨機(jī)誤差項(xiàng)t 有特征： t t1 vt , 1即為一階自回歸，記 AR(1)因此，Durbin-Watson 檢驗(yàn)對(duì)如下的自回歸模型不適用：Yt 1 2 Xt 3Yt 1 t42、Durbin-Watson 統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)H0: = 0對(duì)立假設(shè) H1: 0構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量：TTt 1 t22Det 2t 1TTTTe2Dt t 2t 2t 2t 1TTTt 2 2e 2e e2e2t 1 ttt

9、 t 2t 2 2 1 ,TT t t t e e 2e ，是e 對(duì)e回歸的斜率系數(shù)，或者e其中，1tt 1tt 2t 2和et 1 的相關(guān)系數(shù)。于是，1 10 DW 4實(shí)際上， 1表示存在根的序列。其中，H0: 不存在正序列相關(guān)*H0 : 不存在負(fù)序列相關(guān)DW 統(tǒng)計(jì)量有兩個(gè)臨界值：下限 dL 和上限 dU ，有 3 個(gè)參數(shù)：顯著水平、樣本容量 T 和解釋變量個(gè)數(shù) k / (不包括常變量)。3、利率（該例來(lái)自R3 月期erest rate.wf1）計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型與經(jīng)濟(jì)第4 版P104。和國(guó)債利率，為年利率，：%IP的工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)（1987=100）儲(chǔ)備M2名義貨幣供給（十億）PW所有商品的生產(chǎn)價(jià)

10、格指數(shù)（1982=100）series gm2=(m2-m2(-1)/m2(-1)genr gpw=(pw-pw(-1)/pw(-1)5完全正相關(guān)無(wú)自相關(guān)完全負(fù)相關(guān) = 1 = 0 = 1DW=0DW=2DW=4smpl 1960m1 1995m8ls r c ip gm2 gpw(-1)n428Rt 1.214 0.048IPt 140.31GM 2t 104.59GPWt 16.00t 2.20 8.793.89 0.216,s 2.48,DW 0.18R2一般地，利率與貨幣供給成反相關(guān)系，但 GM2 系數(shù)為正，問(wèn)題出在哪？DW=0.18 揭示，殘差可能存在正序列相關(guān)，于是觀察殘差的時(shí)序圖

11、和自相關(guān)散點(diǎn)圖：12840-4-8-8-404812E(-1)殘差存在明顯的正自相關(guān)。三、Durbin h 檢驗(yàn)當(dāng)解釋變量包含滯后因變量時(shí)，盡管誤差項(xiàng)確實(shí)存在序列相關(guān)，但常常 DW2。Durbin 提出用 Durbin h 統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)性。但從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上看，這一檢驗(yàn)不如 Breusch-Godfrey檢驗(yàn)有效力，因此，不常使用 Durbin h 檢驗(yàn)。4.3.4 序列相關(guān)的克服與異方差相似，序列相關(guān)性可能由于遺漏相關(guān)變量或者函數(shù)形式錯(cuò)誤造成，因此，必須在正確設(shè)定模型后再修正序列相關(guān)。模型：Yt 1 t t 1 vt , t ,t 1,.,Tk Xkt 1covv , v 0

12、for t s,cov 0v N 0,2, vt 1ttvts一、廣義差分思路：序列相關(guān)序列無(wú)關(guān)將模型滯后一期： 1 k Xkt 1 t 1Yt 1原模型減去 倍的滯后一期模型：1 vY *X *t1kktt Y YY *t 1X 2t 1ttX kt 1變換后的模型滿足 CLRM 假設(shè)。因此，估計(jì)量具有 BLUE 性質(zhì)，6E12840-4-81960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995E該估計(jì)法叫廣義最小二乘法(GLS)。前一節(jié)的(WLS)也屬于廣義最小二乘法。當(dāng) 1時(shí)，變換為一階差分。在模型變換過(guò)程中觀察值損失了一個(gè)，在小樣本時(shí)，式補(bǔ)充觀察值:最小二乘法可

13、用下 1 2 YY *1X *1 1 2 X2121 1 2 XX *k1k1廣義差分法可平行推廣到誤差項(xiàng)二階、三階序列相關(guān)情形。以上似乎很好地解決了序列相關(guān)問(wèn)題，但還有一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是為多少？二、 的估計(jì)1、一階差分，即 =1實(shí)際上，變換后模型的估計(jì)對(duì)于 值并不敏感。一階差分后，可估計(jì) ,., ，但截距項(xiàng) 。 可用下式計(jì)算：2k11 Y X1k2、從 DW 統(tǒng)計(jì)量估計(jì) 1 DW 2 ，在樣本較大時(shí)，3、從 OLS 殘差估計(jì)et et 1 vt例 利率( erest rate.wf1)smpl 1960m1 1995m8ls r c ip gm2 gpw(-1)到較好的 的估計(jì)。n428原模型

14、1 DW 2 0.9077 殘差序列的自回歸 0.9089 series e=residls e c e(-1)scalar a=c(2)ls r-a*r(-1) c ip-a*ip(-1) gm2-a*gm2(-1) gpw(-1)-a*gpw(-2)廣義差分模型1-0.9089 2.61 0.23761Rt 2.61 0.049IPt 62.65GM 2t 7.63GPWt 1t 4.049 -5.7842.245與原模型比較：Rt 1.214 0.048IPt 140.32GM 2t 104.59GPWt 1t 2.20 8.783.896.0074、Cochrane-Orcutt 計(jì)算

15、法模型： Yt 1 tk Xkt(1)對(duì)模型采用 OLS 估計(jì)，得殘差e(1)t(2)對(duì)殘差回歸： e(1) e v ，得 (1)(1)(1)t 1tt(3)用 (1) 進(jìn)行廣義差分變換： 1 ( vY *X *t1kktt對(duì)變換后的方程進(jìn)行估計(jì)，得原截距 以及所有偏回歸系數(shù)1, ,., ，將它們代入原模型，計(jì)算新的回歸殘差：23k Y X . Xe(2)tt122tkkt(4)對(duì)新的殘差回歸： e(2) e v ，得 (2)(2)(2)tt 1t(5)重復(fù)(3)和(4)，直到相鄰的 估計(jì)充分接近至精度要求5、Hildreth-Lu 方法如果殘差正序列相關(guān)，則取 的網(wǎng)格點(diǎn)值 0, 0.1, 0

16、.2, 0.9, 1.0，用這些值分別作廣義差分，選擇使得廣義差分方程的殘差平方和 ESS 最小的。在該鄰域內(nèi)繼續(xù)該過(guò)程，直到滿足精度為止。 三、AR 模型在 Eviews 中的估計(jì)例 利率( erest rate.wf1)ls r c ip gm2 gpw(-1) AR(1)Dependent Variable: R Sample: 1960M01 1995M08Included observations: 428Convergence achieved after 13 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-S isticProb.C IPGM2

17、 GPW(-1)AR(1)-49.585860.244097-62.407336.2120350.998771140.55960.0406239.5189512.9703870.004546-0.3527756.008774-6.5561152.091322219.69790.72440.00000.00000.03710.0000R-squaredAdjusted R-squaredS.E. of regres0.9682980.9679990.499600Durbin-Watson s1.642936實(shí)際上，Eviews 用非線性估計(jì)方法估計(jì) AR 模型。例如，對(duì)于二元回歸模型，將其廣義差

18、分方程整理為：8 Yt1 1 1 X 3t 1 vtYtX 3t然后用 Marquardt 非線性估計(jì)法同時(shí)估計(jì)參數(shù)、 、 和 。四、Newey-West 異方差和自相關(guān)修正后的標(biāo)準(zhǔn)差與異方差情況相似，在自相關(guān)情況下，OLS估計(jì)量無(wú)偏且一致，只是方差非有效。Newey and West (1987)發(fā)展了一個(gè)計(jì)算OLS估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差的方法，但要求大樣本。OLS估計(jì)量的方差協(xié)方差矩陣估計(jì)：var 1 1TX e2 XtttX X 1X XX + Xt ltt -lt lt l 1 t l 11 1， L T 14 。其中，4.4.3 序列相關(guān)性分析（4.4 實(shí)證分析 P142）表 4.6.wf1Y

19、糧食總產(chǎn)量 X1播種面積 X2成災(zāi)面積 X3化肥施用量X4農(nóng)村勞動(dòng)力ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(xseries e=residls e c e(-1)c(2)=0.570DW 0.85, 1 DW 2 0.575一階廣義差分：series gy=log(y)-0.575*log(y(-1) series gx1=log(x1)-0.575*log(x1(-1) series gx2=log(x2)-0.575*log(x2(-1) series gx3=log(x3)-0.575*log(x3(-1) series gx4=log(x4)-0

20、.575*log(x4(-1) ls gy c gx1 gx2 gx3 gx4DW1.26落在不確定區(qū)域二階廣義差分：ls e c e(-1) e(-2) scalar r1=c(2) scalar r2=c(3)series ggy=log(y)-r1*log(y(-1)-r2*log(y(-2)series ggx1=log(x1)-r1*log(x1(-1)-r2*log(x1(-2) series ggx2=log(x2)-r1*log(x2(-1)-r2*log(x2(-2)See (9-27) on page 273 and (20-17) on page 920 from Eco

21、nometricysis (7thEdition, 2012) by Greene.9RESID4).06.04.02.00-.02-.04-.06-.08-.08-.04.00.04.08RESID(-1)series ggx3=log(x3)-r1*log(x3(-1)-r2*log(x3(-2) series ggx4=log(x4)-r1*log(x4(-1)-r2*log(x4(-2) ls ggy c ggx1 ggx2 ggx3 ggx4DW1.71Eviews中的估計(jì)：ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(x4) ar(1) ar(2)

22、比較三個(gè)回歸結(jié)果：ls gy c gx1 gx2 gx3 gx4ls ggy c ggx1 ggx2 ggx3 ggx4ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(x4) ar(1) ar(2) 廣義最小二乘估計(jì)法（4.2.3 節(jié)）一、廣義最小二乘估計(jì)法1、廣義最小二乘法回歸模型： Y X 隨機(jī)誤差項(xiàng) 的方差-協(xié)方差陣：21121n 2 var = 2n 2 2122 n1 n 2 n一般地，是一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣。為了得到參數(shù) 的有效估計(jì)，必須利用提供的信息。對(duì)于正定矩陣，存在非奇異矩陣 H，使得：H H = In用 H 變換 ，得：E H H HE H = H H = I22n思路：用矩陣H 變換模型，變換后的模型滿足CLRM 假設(shè)。原模型：Y X 變換后模型： HY HX H HX , H ，于是， *記Y * = HY ,X *變換后模型： Y * X * *E * * E H H = 2 In變換后模型滿足 CLRM 假設(shè)，其 OLS 估計(jì)量： 1= X H HX 1 X H HY10*Y *由