初升高銜接知識(shí)點(diǎn)---函數(shù)方程與不等式解法專題

1、初升高銜接知識(shí)點(diǎn)-函數(shù)、方程與不等式解法專題1 一元一次方程：在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。關(guān)于方程解的討論當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)，時(shí)，方程無解 當(dāng)，時(shí)，方程有無數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。2 二元一次方程組：（1）兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。（3）二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。（4）解二元一次方程組的方法：代入消元法，加減消元法。3 不等式與不等式組

2、（1）不等式：用符不等號(hào)（、）連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式組：關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共

3、部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。4 一元二次方程：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 方程有兩根同號(hào) 方程有兩根異號(hào) 韋達(dá)定理及應(yīng)用：, 5 函數(shù)（1）變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。（2）一次函數(shù)：若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱是的一次函數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。正比例函數(shù)=的圖象是

4、經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。在一次函數(shù)中，當(dāng)0， O，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0， 0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0， 0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數(shù)： 一般式：()，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；頂點(diǎn)式：()，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；交點(diǎn)式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點(diǎn)（5）二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。時(shí)，在對(duì)稱軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對(duì)稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當(dāng)時(shí)，取得最小值時(shí)，在對(duì)稱軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對(duì)稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當(dāng)時(shí)，取得最大值例

5、1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題例2 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的說明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量。有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二

6、次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論例3 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍習(xí)題 A 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四個(gè)說法：方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個(gè)數(shù)是 （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C

7、）3個(gè) （D）4個(gè)（3）關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的兩根之和為2，則k （2）方程2x2x40的兩根為，則22 （3）已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 （4）方程2x22x10的兩根為x1和x2，則| x1x2| 3求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)B 組1選擇題:若關(guān)于x的方程x2(k21) xk10的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x2200

8、5x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3a2bab2b3的值是 例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題 例3 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出

9、的條件最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過定點(diǎn)來求解出系數(shù)a說明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題例4 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2

10、，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來解，然后再利用圖象過點(diǎn)(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例5 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來求二次函數(shù)的表達(dá)式？ 練 習(xí)1選擇題:（1）函數(shù)yx2x1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 （ ） （A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （

11、D）無法確定 （2）函數(shù)y eq f(1,2) (x1)22的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(diǎn)(1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為ya (a0) （2）二次函數(shù)yx2+2 eq r(3)x1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為 3根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（1）圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(diǎn)(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1 eq r(2)，0)和(1 eq r(2)，0)，并與y軸交于(0，2)二次函

12、數(shù)的最值問題【要點(diǎn)回顧】1二次函數(shù)的最值二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無最小值2二次函數(shù)最大值或最小值的求法 第一步確定a的符號(hào)，a0有最小值，a0有最大值；第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值3求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值如：在（其中）的最值第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸：；第二步：討論：1若時(shí)求最小值或時(shí)求最大值，需分三種情況討論： 對(duì)稱軸小于即，即對(duì)稱軸在的左側(cè)；對(duì)稱軸，即對(duì)稱軸在的內(nèi)部；對(duì)稱軸大于即，即對(duì)稱軸在的右側(cè)。2 若時(shí)求最大值或時(shí)求最小值，需分兩種情況討論：對(duì)稱軸，即對(duì)稱軸在的中

13、點(diǎn)的左側(cè)；對(duì)稱軸，即對(duì)稱軸在的中點(diǎn)的右側(cè)；說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置，具體情況，參考例4?！纠}選講】例1求下列函數(shù)的最大值或最小值 （1）； （2）例2當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值例3當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍例4當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置解：函數(shù)的對(duì)稱軸為畫出其草圖(1) 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè)即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(2) 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(3) 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè)即時(shí)：當(dāng)時(shí)， 綜上所述：【鞏固練習(xí)】1拋物線，當(dāng)= _ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _

14、 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _ 時(shí)，圖象過原點(diǎn)2用一長(zhǎng)度為米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 _ 3設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值4若二次函數(shù)f(x)ax2bx2滿足f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.5 若函數(shù)yx2(a2)x3，xa，b的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則b_.6 已知yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_7.若二次函數(shù)滿足，且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么= .8若關(guān)于的方程的兩根都小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 9已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值10求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))不 等 式【要點(diǎn)回顧】1一元二次

15、不等式及其解法1定義：形如 為關(guān)于的一元二次不等式2一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次)（）一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) 則 如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) 則： 如果圖象與軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) 則： （）解一元二次不等式的步驟是：(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(

16、2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解2簡(jiǎn)單分式不等式的解法 解簡(jiǎn)單的分式不等式的方法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.3含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式1當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；2當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；3當(dāng)時(shí)，不等式化為：； 若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)； 若，則不等式無解【例題選講】例1 解下列不等式：(1) (2) 解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是解法二

17、：解相應(yīng)的方程得：，所以原不等式的解是(2) 解法一：原不等式可化為：，即于是：，所以原不等式的解是解法二：原不等式可化為：，即，解相應(yīng)方程，得，所以原不等式的解是說明：解一元二次不等式，實(shí)際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解例2 解下列不等式：(1) (2) (3) 例3 已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍例4 解下列不等式：(1) (2) 例5 求關(guān)于的不等式的解解：原不等式可化為：(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為；(2) 當(dāng)時(shí)， 時(shí)，不等式的解為； 時(shí)，不等式的解為； 時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)(3) 當(dāng)時(shí)，不等式無解綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無解【鞏固練習(xí)】1解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 2解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3解下列不等式：(1) (2) 4解關(guān)于的不等式5已知關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍6若不等式的解是，求的值一元高次不等式的解法一、可解的一元高次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式 （1）左邊是關(guān)于x的一次因式的積；（2）右邊是0； （3）各因式最高次項(xiàng)系數(shù)為正。二、