《代數(shù)學(xué)與三大幾何作圖難題》課件

1、代數(shù)學(xué)與三大幾何作圖難題大連市旅順第二高級中學(xué) 2019年6月動手實(shí)踐回顧尺規(guī)作圖小組交流展示尺規(guī)作圖的回顧尺規(guī)作圖的由來三大問題的提出尺規(guī)作圖，是指只使用無刻度的直尺和圓規(guī)，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.尺規(guī)作圖的由來 尺規(guī)作圖起源于古希臘巧辯學(xué)派的數(shù)學(xué)課題，是指只使用無刻度的直尺和圓規(guī)，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。 在歷史上最先明確地提出尺規(guī)作圖限制的是古希臘人伊諾皮迪斯。漫長的作圖實(shí)踐，按尺規(guī)作圖的要求，人們作出了大量符合給定條件的圖形，即便一些較為復(fù)雜的作圖問題，獨(dú)具匠心地經(jīng)過有限步驟也能作出來。尺規(guī)作圖的限制逐漸地成為一種公約，后來經(jīng)過柏拉圖

2、的大力提倡，最后被歐幾里得以理論的形式總結(jié)在幾何原本中。尺規(guī)作圖的由來 因幾何原本的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來。 現(xiàn)在，尺規(guī)作圖是義務(wù)教育初中階段重要的幾何作圖方法，在初中幾何教學(xué)中占重要地位，是有效培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和邏輯思維能力的重要手段。課標(biāo)中對尺規(guī)作圖有具體的教學(xué)要求，它是中考的重要考點(diǎn)。尺規(guī)作圖的回顧問題1平分已知角問題2作一正方形使其面積是已知正方形的二倍三大幾何作圖問題的提出三等分角倍立方體化圓為方合作探究三大幾何作圖問題的解決活動1交流公主的別墅與“三等分角”史話探究一 三等分角探究一 三等分角活動1 交流公主的別墅與“三等分角”史話OPQKx分析

3、：QK=QO 1=2， 1=+x，3=xQKO內(nèi)角和 1+2+3 =（+x）+（+x）+x =3x+2=180 x=（180-2）/3123探究一 三等分角活動2 探索“三等分角”的解決探索1特殊角的三等分角（1）作出45三等分角（2）作出90三等分角探究一 三等分角活動2 探索“三等分角”的解決探索2解決“三等分角”問題的關(guān)鍵（1）設(shè)cosA=a ，設(shè)cos(A/3)=x（2）利用兩角和的余弦公式推導(dǎo)cos3展開式（3）建立一元三次方程（4）關(guān)鍵是三次方程的是否存在有理根問題以及能否用尺規(guī)作圖作出三次方程的根探究一 三等分角活動2 探索“三等分角”的解決探索3“三等分角”的不可能性尺規(guī)作圖只

4、能做五種圖形(1)過兩已知點(diǎn)作一直線-一次(2)確定二已知直線的交點(diǎn)-一次(3)已知圓心和半徑作圓-二次(4)確定已知直線和已知圓的交點(diǎn)-一次和二次(5)確定二已知圓的交點(diǎn)-二次和二次結(jié)論：一元三次方程的解都會是三次根式形式，不能由尺規(guī)作圖得出，因此“三等分角”的不可能！探究一 三等分角活動3 嘗試非嚴(yán)格尺規(guī)作圖解決“三等分角”方法阿基米德解法 在直尺邊緣上添加一點(diǎn)P，命尺端為O，設(shè)所要三等分的角是 MCN ，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CN、CM于A、B兩點(diǎn)；移動直尺，使直尺上的O點(diǎn)在AC的延長線上移動，P點(diǎn)在圓周上移動，當(dāng)直尺正好通過B點(diǎn)時(shí)，連OBP，則有 AOB=1/3 M

5、CN，嘗試證明。44合作探究三大幾何作圖問題的解決活動1瘟疫、祭壇與“倍立方體”史話探究二 倍立方體 關(guān)于倍立方問題的起源，有兩個(gè)神話傳說。第一個(gè)是屬于古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、哲學(xué)家埃拉托塞尼（前前）的。當(dāng)先知得到神的諭示向提洛島的人們宣布，為了止息瘟疫，他們必須建造一個(gè)祭壇，體積是現(xiàn)有那個(gè)祭壇的兩倍。工匠們試圖弄清怎樣才能造成一個(gè)立方體，使其體積為另一個(gè)體積的兩倍。為此，他們陷入深深的困惑之中。合作探究三大幾何作圖問題的解決活動1瘟疫、祭壇與“倍立方體”史話探究二 倍立方體 于是他們就帶著這個(gè)問題去請教柏拉圖，柏拉圖告訴他們，先知發(fā)布這個(gè)諭示，并不是因?yàn)樗氲玫揭粋€(gè)體積加倍的祭壇，而是因

6、為他希望通過派給他們這項(xiàng)工作，來責(zé)罰希臘人對于數(shù)學(xué)的忽視和對幾何學(xué)的輕視。 另一個(gè)故事說克里特王米諾斯為兒子修墓，命令將原來設(shè)計(jì)的體積加倍，但仍保持立方的形狀。探究二 倍立方體活動2 探索“倍立方體”的解決探索1“倍立方體”的不可能性 1837年，23歲的旺澤爾證明了“倍立方體”不可能！ 證明：解方程x3=2a3 ，若令a =1,則要作長度為2 的線段，但2超出了有理數(shù)加、減、乘、除、開方的運(yùn)算范圍，超出了尺規(guī)作圖準(zhǔn)則中所說的數(shù)量范圍，所以它是不可能解的問題。探究二 倍立方體活動2 探索“倍立方體”的解決探索2由“倍立方體”引出的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 希波克拉底指出，倍立方體問題可以轉(zhuǎn)化為求一線段與它的二

7、倍長線段之間的雙重比例中項(xiàng)問題，即a:x=x:y=y:b。（b=2a） 歐多克斯的學(xué)生門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線！ x2=ay -拋物線 y2=bx -拋物線 xy=ab -雙曲線探究二 倍立方體活動3 嘗試非嚴(yán)格尺規(guī)作圖解決“倍立方體” 丟克勒斯（Diocles，約180B.C.）在他的光學(xué)著作論取火鏡中用蔓葉線解決了倍立方體問題。合作探究三大幾何作圖問題的解決活動1囚徒的冥想與“化圓為方”史話探究三 化圓為方 在古希臘有一位學(xué)者叫安納薩格拉斯。他提出“太陽是一個(gè)巨大的火球”。這種說法現(xiàn)在看來是正確的。然而古希臘的人們更愿意相信神話故事中說的“太陽是神靈阿波羅的化身”。因此他們認(rèn)為安納薩格拉斯

8、褻瀆了神靈，將其投入獄中，判為死刑。 在等待行刑的日子里，安納薩格拉斯仍然在思考著宇宙、萬物和數(shù)學(xué)問題。合作探究三大幾何作圖問題的解決活動1囚徒的冥想與“化圓為方”史話探究三 化圓為方 一天晚上，安納薩格拉斯看到圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他不斷地變換觀察圓月的方位，一會兒看到圓月比方窗大，一會兒看見方窗比圓月大。心中一動，想到如果已知一個(gè)圓的面積，那么，怎樣做出一個(gè)正方形，能使它的面積恰好等于這個(gè)圓的面積呢? 后來，他順利獲釋出獄。然而這個(gè)問題，他一直都沒有解決，整個(gè)古希臘的數(shù)學(xué)家也沒能解決，成了歷史上有名的三大幾何難題之一。探究三 化圓為方活動2 數(shù)學(xué)家“化圓為方”的多種嘗試嘗試窮

9、竭法 巧辯學(xué)派的代表人物安蒂豐，他首先提出用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方。亞里士多德的物理學(xué)記載，安蒂豐從圓的內(nèi)接正方形（或三角形）出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形.無限重復(fù)這個(gè)過程，隨著圓面積的逐漸“窮竭”，將得到一個(gè)邊長極微小的圓內(nèi)接正多邊形。探究三 化圓為方活動2 數(shù)學(xué)家“化圓為方”的多種嘗試嘗試窮竭法 安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將與圓重合。既然我們能做出一個(gè)等于任何已知多邊形的正方形，那么事實(shí)上我們就能夠做出等于一個(gè)圓的正方形。思考：1.為什么這種方法不行？2.如何尺規(guī)作圖作出一個(gè)面積等于正五邊形的四邊形？如何作出一個(gè)面積等于四邊形的三角形？又如何作出一個(gè)面積等

10、于三角形的正方形？探究三 化圓為方活動2 數(shù)學(xué)家“化圓為方”的多種嘗試嘗試3“化圓為方”的不可能性 假定將圓的半徑為1，所求正方形邊長為x，于是則化圓為方問題的實(shí)質(zhì)是作出長度為單位長度根號的線段。問題的關(guān)鍵在于是否可作，如果可作，則根號可作，如果不可作，則根號不可作，因而人們又開始轉(zhuǎn)向研究的超越性。 直到1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了的超越性，從而證明了化圓為方的尺規(guī)作圖之不可能性。所謂的超越性就是說不可能是任何整系數(shù)代數(shù)方程的根，故化圓為方問題的不可能！探究三 化圓為方活動3 嘗試非嚴(yán)格尺規(guī)作圖解決“化圓為方”方法達(dá)芬奇做法 達(dá).芬奇發(fā)現(xiàn)，不受標(biāo)尺的限制。用已知圓為底，r為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，所以所得矩形的面積Sr 2。接下來就好辦了，用繩子把圓柱體的“腰圍”和“身高”量一下，放到紙上形成一個(gè)矩形，然后用直尺圓規(guī)來將這個(gè)矩形化為正方形就好了。用代數(shù)學(xué)解釋三大幾何作圖難題總結(jié)1尺規(guī)作圖公法加深理解 總結(jié)升華用直尺和圓規(guī)解作圖題，就是把問題歸結(jié)為以下幾個(gè)認(rèn)為確定可以作出的作圖：(1)過兩已知點(diǎn)作一直線；(2)確定二已知直線的交點(diǎn)；(3)已知圓心和半徑作圓；(4)確定已知直線和已知圓的交點(diǎn)；(5)確定二已知圓的交點(diǎn)。它們只有下列三種功能：畫線，作圓，求交點(diǎn)。用代數(shù)學(xué)解釋三大幾何作圖難題總結(jié)2尺