電大《復(fù)變函數(shù)與積分變換》作業(yè)答案

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換作業(yè)參考答案習(xí)題1：4、計(jì)算下列各式(1) ； (3) ；(5) ，求，； (7) 。解：(1) ；(3) ；(5) ，(7) 因?yàn)?，所以，即時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，習(xí)題2：3、下列函數(shù)在何處可導(dǎo)？何處解析？在可導(dǎo)點(diǎn)求出其導(dǎo)數(shù)(2) ； (4) (6) 。解：(2) 因?yàn)椋@四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，故和處處可微，但柯西-黎曼方程僅在上成立，所以只在直線(xiàn)上可導(dǎo)，此時(shí)，但復(fù)平面上處處不解析(4) 因?yàn)?，這四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，故和處處可微，且滿(mǎn)足柯西-黎曼方程，所以在復(fù)平面內(nèi)解析，并且 (6) 所以，在除外處處解析，且4、指出下列函數(shù)的奇點(diǎn)(1) ； (2) 解：(1)

2、所以，的奇點(diǎn)為0，(2) 所以，的奇點(diǎn)為，10、如果在區(qū)域內(nèi)解析，并且滿(mǎn)足下列條件之一，試證在內(nèi)是一常數(shù)(2) 在內(nèi)解析；證明：由在區(qū)域內(nèi)解析，知、在區(qū)域內(nèi)可微，且，同理，由在內(nèi)解析，知，從而我們得到，所以、皆為常數(shù)，故在內(nèi)是一常數(shù)15、求解下列方程：(2) 解：，于是18、求，的值及主值解：，所以其主值為；，所以其主值為19、求，的值解：；20、求，的值解：；22、解方程：(1) ；解：，習(xí)題3：1、沿下列路徑計(jì)算積分：(1) 從原點(diǎn)至的直線(xiàn)段；(2) 從原點(diǎn)沿實(shí)軸至2，再由2鉛直向上至；(3) 從原點(diǎn)沿虛軸至，再由沿水平方向向右至解：(1) 從原點(diǎn)至的直線(xiàn)段的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)，所以(2)

3、 從原點(diǎn)沿實(shí)軸至2的直線(xiàn)段的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)，由2鉛直向上至的直線(xiàn)段的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)，所以(3) 從原點(diǎn)沿虛軸至的直線(xiàn)段的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)，由沿水平方向向右至的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)，所以2、分別沿與算出積分的值解：的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)所以；的復(fù)參數(shù)方程為，參數(shù)所以5、計(jì)算積分的值，其中為正向圓周：(1) 解：設(shè)是內(nèi)以被積函數(shù)的奇點(diǎn)為圓心的正向圓周，那么6、試用觀察法得出下列積分的值，并說(shuō)明觀察時(shí)所依據(jù)的是什么？是正向圓周：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 解：(1) ，根據(jù)柯西積分定理；(2) ，根據(jù)柯西積分定理；(3) ，根據(jù)柯西積分定理；(4) ，根據(jù)

4、復(fù)合閉路定理；(5) ，根據(jù)柯西積分定理；(6) ，根據(jù)柯西積分定理及復(fù)合閉路定理7、沿指定曲線(xiàn)的正向計(jì)算下列積分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，；(6) ，為包圍的閉曲線(xiàn)；(7) ，；(8) ，；(9) ，；(10) ，解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) 21、證明：和都是調(diào)和函數(shù)，但是不是解析函數(shù)證明：因?yàn)?，所以，且，即和都是調(diào)和函數(shù)，但是不是解析函數(shù)22、由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)，并寫(xiě)出的表達(dá)式：(1) ；(2) ，；(3) ，解：(1) 因?yàn)槭钦{(diào)和函數(shù)，所以，于是那么，則，所以，(2)

5、 ，因?yàn)槭钦{(diào)和函數(shù)，所以，從而由知，所以(3) 因?yàn)槭钦{(diào)和函數(shù)，所以，于是那么，則，所以，由知，所以習(xí)題4：1、下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求其極限(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1) ，當(dāng)時(shí)，實(shí)部，虛部，所以收斂于(2) ，當(dāng)時(shí)，那么，所以收斂于0(3) 當(dāng)時(shí)，實(shí)部是發(fā)散的，所以發(fā)散(4) ，實(shí)部和虛部都發(fā)散，所以發(fā)散2、判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性與絕對(duì)收斂性：(1) ； (3) 解：(1) 記，則當(dāng)時(shí)，那么不趨近于0，所以級(jí)數(shù)發(fā)散(3) 收斂，即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，所以收斂7、將下列各函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)，并指出它們的收斂半徑(1) ； (3) 解：(1) 因?yàn)椋允諗堪霃?3) 因?yàn)椋?/p>

6、所以收斂半徑8、將下列各函數(shù)在指定點(diǎn)處展成泰勒級(jí)數(shù)，并指出它們的收斂半徑(3) ，； (4) ，； (6) ，解：(3) ，則因?yàn)?，所以收斂半?4) ，則因?yàn)?，所以收斂半?6) 因?yàn)?，所以收斂半?0、求下列各函數(shù)在指定圓環(huán)域的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式：(2) ，；(5) ，在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)；(7) ，解：(2) 在內(nèi)，由于，且，所以，從而在內(nèi)，由于，所以，從而(5) 當(dāng)時(shí)，由于，且，所以，從而當(dāng)時(shí)，由于，所以，且，從而，所以(7) 由于且，所以習(xí)題5：1、求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)并確定它們的類(lèi)別，若是極點(diǎn)，指出它們的級(jí)(1) ； (3) ； (4) ； (7) ； (11) 解：(1) 易見(jiàn)，是的

7、孤立奇點(diǎn)由于，所以，是極點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)(3) ，所以是極點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)(4) 易見(jiàn)是的孤立奇點(diǎn)，且，所以是可去奇點(diǎn)；(7) ，三級(jí)極點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)；(11) ，本性奇點(diǎn)5、求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)(2) ； (3) ； (6) 解：(2) 記，則易見(jiàn)，是的孤立奇點(diǎn)，且他們都是一級(jí)極點(diǎn)由規(guī)則，(3) 記，則有二級(jí)極點(diǎn)由規(guī)則，(6) 記，則有本性奇點(diǎn)因?yàn)樵诘娜バ泥徲騼?nèi)的洛朗級(jí)數(shù)為于是有其中的項(xiàng)的系數(shù)，所以6、利用留數(shù)定理計(jì)算下列積分(1) ，為圓周解：被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部有一級(jí)極點(diǎn)和二級(jí)極點(diǎn)，由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則、得，于是由留數(shù)定理得積分值(2) 解：被積函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，由留數(shù)的計(jì)算

8、規(guī)則得于是由留數(shù)定理得積分值(4) 解：被積函數(shù)在內(nèi)有可去奇點(diǎn)，則，所以由留數(shù)定理知(6) 解：被積函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則得于是由留數(shù)定理得積分值9、(1) 解：令，則，于是被積函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)，其留數(shù)所以(5) 解：是偶函數(shù)，而在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)和，且，所以(6) 解：，且在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)，故積分存在，所求積分是它的實(shí)部函數(shù)在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)和，而且，從而所以習(xí)題8：4、試求的傅氏變換解：的傅里葉變化為5、試求矩形脈沖的傅氏變換解：的傅里葉變化為6、求下列函數(shù)的傅氏積分：(1) 解：是上的奇函數(shù)，則，于是7、求函數(shù)的傅氏積分，并計(jì)算解：是上的偶函數(shù)，則，于是10、求符號(hào)函數(shù)的傅氏變換（提示：）解：方法一：方法二：11、求函數(shù)的傅氏變換解：，則15、利用位移性質(zhì)計(jì)算下列函數(shù)的傅氏變換：(1) ；(2) 解：(1) ；(2) 23、求下列函數(shù)的傅氏變換：(2) ；(3) ；(4) 解：(2) 記，由卷積定理有(3) 記，由卷積定理有(4) 記，由卷積定理有習(xí)題9：2、求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) (3) .解：(1) (3) 3、求下列周期函數(shù)