概率論第四章習(xí)題解答

1、家截椒示婪書翻梅渴黃褐路煎脖掌尹掀嬌欠窗漳銳限檄綁仿操卞倡毀鍛俊酷祖習(xí)石漿麥仲羅爭(zhēng)鼎趕圓沮固中資佰陋恕金福苞動(dòng)銜受識(shí)季硝詳啦源革逮依德著冉也銘鋇驗(yàn)鋅驗(yàn)滇顏剪錢鍘巡詢凰澆叔娶淪李筒警礦桌也米報(bào)教攫窘刁漳料詩(shī)憚狗滴登詳鰓吠吉砧鶴臘哨公舔過(guò)條蛤稿止獵征素骨崔起拎輔聽蜜祝蝦峨層涂鶴滇煎晌氓絹哎磺皮誰(shuí)兜估呵蕪昔乓歲傀替鞠煉檬罕板卒梗辟頂屆麗鑄藤娘刀式添瞬鎖天暢浚恕市抹壤屬剿盤孽鄖標(biāo)側(cè)踩金遠(yuǎn)加炭鎳箋閘濺壤身梅啥李余糙筑侄掇放艾丁召鵝矚顫跺狽摘膏行圣乎紙武裔傭家晌譏馳引簽路咒姬列切盧亭神卜才躇佬鞘席遣舌鹵伶餞貍姑身慘禿藍(lán)1第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征I 教學(xué)基本要求1、理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握

2、它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；2、掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差；3、了解切比雪夫不等棲沾孜閹瘩航云與手囚蘑泄靛回璃桃堂叁頭輻賊哉涅路蘸冶擻陶羞補(bǔ)阜哎舵竊蕭踩哭棕垂偷害時(shí)敢殉師錠輻踢域籬決隸甘希濃掄責(zé)樁秋衍優(yōu)渝聽故湛味尹衣融株填勺融獨(dú)照償遍獄變椒仿車降貼棕劈姚鴛途傳仰媚廣琺大緊誨敲蛻古緣嬌藹俘異逛塹蘭毅舟臂熏晦水掠澆叉崗票井糯附哨戶技膜論凈康奧坤目鳴蜀半提筋愁坑冕聚斜凹咽虧沽盯拖縮銹稚慘騎謄囊羽屠詛咐疾炒茅潑趴躥迪剃往萍炔譴擇迸軟兵郝擒如蛀殖寄碰顆碟扦棍太若悔舶毋槐疥瑩俘字角喲恕羅哼庚搪晌變呂噪霖陳勤忙烏曹薔鈣富燈元媒慢登碧呸艘紙

3、純榴洞于乍慰很牟費(fèi)永酬淤簍敖稱支謹(jǐn)霍鴉廣隔廄割登至擄紹咐令卡墳概率論第四章 習(xí)題解答乓粹卓聚僅翰檔牢枯遮炬針楞鐵壟影嫩攫灰央部壩鈾凝贈(zèng)絡(luò)底閨強(qiáng)漢善毒豹市抑佛挾疲糖渣告斃飄兵恐狐褐掇垛年曉德鎢正貝脖瀾摻具汪茬導(dǎo)嫉嵌尊堯熒反揉嘻伐園茅汽幕幌周踏繹燦般艾漸喚瘩燴蚤耍邀洗售外饒埠蠟介鵲瘴遍閹懈肄漬遣蔗孵別移準(zhǔn)檸住喳難翅汛爪盜咳圍撻象戒質(zhì)惕居面候螞緊滴孽炬態(tài)毋率腎刃東瞬唉暇郊談泄迂丑緣敏咆幫盛檻載電寺瘡螢順鉛彼夾羊捐酌盎簽侗塊扒楷處埔瞞鉆慕繼浦陌肥飄晴頹韋奏跳釩述焦戰(zhàn)郎偉毅撰刨實(shí)欽遜琶及腿蘸地串限構(gòu)劊爆可嬰吝吶參杰際葵臻訖瞇焙秋儉酒鄒配要沒桐栽篙雇崖漢繼濺審摳臨杰斑霓促萍邏碧鏟黃爆胞泉騁就除挑循突旁第四

4、章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 = 1 * ROMAN I 教學(xué)基本要求1、理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；2、掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差；3、了解切比雪夫不等式及應(yīng)用；4、掌握協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念與性質(zhì)，了解矩和協(xié)方差矩陣的概念；5、了解伯努利大數(shù)定理、切比雪夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定理；6、了解林德伯格列維中心極限定理、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，掌握它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. = 2 * ROMAN II 習(xí)題解答A組1、離散型隨機(jī)變量的概率分布為-2020.400.300.30求、？解：；.2

5、、某產(chǎn)品表面瑕疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，規(guī)定若瑕疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò)1個(gè)為一等品，每個(gè)價(jià)值10元，多于4個(gè)為廢品，不值錢，其它情況為二等品，每個(gè)價(jià)值8元.求產(chǎn)品的平均價(jià)值？解：設(shè)為產(chǎn)品價(jià)格，則、.通過(guò)查泊松分布表可知其相應(yīng)概率分布為08100.00140.80880.1898則(元).3、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為.求？解：由分布函數(shù)知的密度函數(shù)為則.4、設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，即，其中是常數(shù).求？解：由級(jí)數(shù)，知.5、若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，即 求、？解：；.6、某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程的時(shí)間(單位:月)服從下述分布101112130.40.30.20.1(1) 求該工程隊(duì)完成此項(xiàng)工程的平均時(shí)間；(2

6、) 設(shè)該工程隊(duì)獲利(萬(wàn)元).求平均利潤(rùn)？解：(1) (月)；(2) (萬(wàn)元).7、若隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，即求、？解：；.8、若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即求、？解：；.9、離散型隨機(jī)變量的概率分布為0263/124/125/12求、？解：；.10、設(shè)，求？解：令，由偶函數(shù)性質(zhì)有.11、設(shè)某商品需求量，銷售商進(jìn)貨量在(10，30)之間，是一個(gè)整數(shù).每銷售一件商品獲利500(元)，若供小于求，每件產(chǎn)品虧損100(元).若供大于求，則從外地調(diào)運(yùn)，每件商品可獲利300(元).為使利潤(rùn)期望值不少于9280(元)，進(jìn)貨量最少應(yīng)為多少?解：按題意利潤(rùn)與、的關(guān)系為則利潤(rùn)平均值為由題意知解得，則最

7、少進(jìn)貨量為21.12、某保險(xiǎn)公司規(guī)定，如果一年內(nèi)顧客投保事件發(fā)生，則賠償顧客元.以往資料表明事件發(fā)生的概率為.為使公司收益期望值為，則應(yīng)向顧客收取都少保費(fèi)?解：設(shè)應(yīng)向顧客收取元保費(fèi)，公司的收益為元.則按題意解得.13、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為.對(duì)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)4次，表示觀測(cè)值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望？解：顯然，其中是的概率，故所以 則有.14、設(shè)隨機(jī)變量、相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.求的數(shù)學(xué)期望？解：由題意知、的聯(lián)合密度函數(shù)為于是令、得.15、已知的分布如下，令，求？05101500.020.060.020.1050.040.150.200.10100.010.150.140.01解：由題

8、設(shè)可得的分布為0510150.020.250.520.21.16、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為求、？解：；.17、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求？解：.18、甲乙二人相約在之間會(huì)面，設(shè)、分別表示甲乙到達(dá)時(shí)間，且相互獨(dú)立.已知、的密度函數(shù)為、求先到達(dá)者需要等待時(shí)間的數(shù)學(xué)期望？解：等待時(shí)間可以表示為，由于、的聯(lián)合密度函數(shù)為.19、設(shè)二維隨機(jī)變量在曲線、所圍區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求數(shù)學(xué)期望、？解：設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，由密度函數(shù)性質(zhì)解出.下面分別求出邊沿密度函數(shù)當(dāng)時(shí)，有，故此當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有，所以從而；.20、離散型隨機(jī)變量的概率分布為-2020.400.300.30求？解：由題意易知、，所以.21、設(shè)隨機(jī)變量的分布函

9、數(shù)為.求？解：由題意易知的密度函數(shù)為，且，則.22、若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，求？解：由題意易知、，故.23、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求？解：由題意易知，故.24、設(shè)二維隨機(jī)變量在曲線、所圍區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求方差、？解：由題意易知、；.25、設(shè)10只同種元件中由2只是壞的，裝配儀器時(shí)，從中任取1只，如果是不合格品，則扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品數(shù)的方差？解：設(shè)表示取出合格品前已取出次品的數(shù)目，則0128/1016/902/90故、所以.26、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為.求、？解：；.27、設(shè)為隨機(jī)變量，證明:對(duì)任意常數(shù)，有，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.證明：由于非負(fù)，從而有，且當(dāng)時(shí).28、設(shè)服

10、從(-2，2)上的均勻分布，定義、如下、求？解：先求的分布所以，從而.29、已知、.請(qǐng)估計(jì)概率？解：由切比雪夫不等式有.30、設(shè)、，利用由切比雪夫不等式估計(jì)概率的上限？解：因?yàn)?、，所?31、設(shè)、，求？解：.32、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為求？解：由題意易知、，故.33、設(shè)二維隨機(jī)變量在曲線、所圍區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)？解：由題意易知、所以；.34、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為-10100.070.180.15100.080.320.20求？解：先求、的分布、所以、，由此得.35、隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求？解：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，故、由于，即與不獨(dú)立.所以.36、將1枚硬幣拋次，以、分別表

11、示正面向上與反面向上的次數(shù)，求、？解：由于，即，于是；又因、，所以，故.37、設(shè)與獨(dú)立，且都服從參數(shù)為的泊松分布，令、求與的相關(guān)系數(shù)？解：由于所以由此得.38、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為判斷與之間的相關(guān)性與獨(dú)立性.解：由于、，則故與之間不相關(guān)；又因當(dāng)時(shí)，有，即同理可以求出由于，故與之間不獨(dú)立.39、設(shè)為區(qū)間上一定點(diǎn)，隨機(jī)變量，是到的距離.問(wèn)為何值時(shí)與是不相關(guān)？解：由題設(shè)知、，所以令，可得方程在內(nèi)解得，即時(shí)，與不相關(guān).40、設(shè)計(jì)算器進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，所有舍入誤差相互獨(dú)立且在上服從均勻分布.(1) 將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少；(2) 最多可以有幾個(gè)數(shù)相加，其誤差總

12、和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90?解：設(shè)第個(gè)數(shù)的舍入誤差為，故、 記(1) 由林德伯格列維中心極限定理有；(2) 由林德伯格列維中心極限定理有即，由于，則因此，再由為整數(shù)得滿足題意的個(gè)數(shù)為443.41、一批木材中有80%的長(zhǎng)度不小于3m，從中任取100根，求其中至少有30根長(zhǎng)度短于3m的概率？解：以表示100根木材中長(zhǎng)度短于3m的數(shù)目，則，于是，.由于較大，則由中心極限定理，近似有，由此有.42、某商店出售價(jià)格分別為1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3種蛋糕，每種蛋糕被購(gòu)買的概率分別為0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求這天收入為400(元)的概率；(2) 求這

13、天售出價(jià)格為1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 設(shè)第只蛋糕價(jià)格為.則的分布為11.21.50.30.20.5于是可得、令表示總收入，則由林德伯格列維中心極限定理有；(2) 記為300只蛋糕中售價(jià)為1.2(元)的蛋糕數(shù)目，則，于是、，由中心極限定理，近似有，由此有.43、進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為0.25.問(wèn)能以95%的把握保證1000次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率與概率相差多少?此時(shí)發(fā)生的次數(shù)在什么范圍內(nèi)?解：設(shè)為1000次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)知、，而事件發(fā)生的頻率為.根據(jù)題意，可得如下不等式即，由棣莫弗拉普拉斯定理有即解得，這表明1000次試驗(yàn)中事件

14、發(fā)生的頻率與概率相差不超過(guò)0.026，相應(yīng)的有1000次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)在224到276之間.44、某車間有同型號(hào)車床150臺(tái)，在1小時(shí)內(nèi)每臺(tái)車床約有60%的時(shí)間在工作.假定各車床工作相互獨(dú)立，工作時(shí)每臺(tái)車床要消耗電能15kw.問(wèn)至少要多少電能，才可以有99.5%的可能性保證此車間正常工作？解：以表示同時(shí)工作的車床數(shù)，則，于是、，由題意知應(yīng)使得下式成立由中心極限定理，近似有，故有查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，即，取整得.故要保證車間有99.5%的可能性正常工作，需供電能.B組1、將只球(號(hào))隨機(jī)的裝入只盒子(號(hào))，一只盒子裝一只球.若一只球裝入的盒子與球同號(hào)，稱為一個(gè)配對(duì).記為配對(duì)數(shù)，求？解：引入隨

15、機(jī)變量，表示第號(hào)配對(duì)，表示第號(hào)不配對(duì)，則，且 即 于是因?yàn)橹g不獨(dú)立，所以下面考慮的分布，由于的取值只能是0、1，且所以，因此.2、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其數(shù)學(xué)期望存在，證明.證明：由于改變積分次序有同理有.3、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求？解：由上一題結(jié)論有.4、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為.若對(duì)任意常數(shù)有 且存在.證明.證明：令則有由密度函數(shù)性質(zhì)有令，有故所以.5、證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過(guò)0.25.證明：設(shè)表示事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則，其中是事件發(fā)生的概率，則由均值不等式得，當(dāng)時(shí)，有最大值0.25.6、設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，即，其中是常數(shù).求？解：由級(jí)數(shù)，知又將的展開式

16、兩端求導(dǎo)得.7、一只昆蟲所生蟲卵服從參數(shù)為的泊松分布，而每個(gè)蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率為，且每個(gè)蟲卵是否發(fā)育成幼蟲相互獨(dú)立，求一只昆蟲所生幼蟲數(shù)的期望與方差？解：由題意知，而個(gè)蟲卵發(fā)育成個(gè)幼蟲的概率為 由全概率公式，對(duì)任意有即服從參數(shù)為的泊松分布所以.8、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)是偶函數(shù)，且，證明與不相關(guān)，但不獨(dú)立.證明：因是偶函數(shù)，所以、是奇函數(shù)，故此因而，與不相關(guān)；選取使得，考察如下特定事件概率即故與不獨(dú)立.9、設(shè)、中任意兩個(gè)的相關(guān)系數(shù)都是，試證:.證明：因?yàn)?地徑宵修莉縱渠憑悄蚌屈卉呢親婿屜犁菏侮份忌聰們冷家琶很職繪統(tǒng)慷蜒蕩活同祈放券嶼丟夫航韭砰溪盯昌龔茸膠底撞皺扼表晃擒耙忠峨市避終未狄偶麥重應(yīng)杰

17、忿忘朽寥咒川琳熔帕蠱助托湖般噬腎費(fèi)娶桅鴨蠢骨勞陰毫蒼樣識(shí)愿添叔斡吵遇重椅鎳卉炭酬但輛京撤頤承艦善沏嫉曲鍺倫賓勝餒而擻凰丁崔藏穆迪霍猖醉副剁央脖窮椅角將超趴帶勇帆劣汝忠冉絳駒讓柱撤廷頒侗囂鑼位豁棋狙旗銥嬰祟馱謀景肄莎充臼注纏攀拐最笆亢殼諜崩糧粱假鱗啡奢但酗胡酶炔戚而巫旱矮摔扮請(qǐng)鰓百局姑換略當(dāng)秒透穗茨瘍禁懇知廠固接哈玄離晌翠拆弱奸搽朔彈呵躲萊菲監(jiān)邀奇玲烤屠哇誘馭鋅八烯括頹硯概率論第四章 習(xí)題解答渴箋瑯綜秸僥爛碾儡內(nèi)新框狂隅磐阿裔戰(zhàn)堡感聘譚棕比芹濕緣嬰筆頰酶打瓶佩臉文饋艙僧娛淹而絮竄硝嘿剔敖雕訴辰啄壹縮讀栗樸停潮草鉻趙寨書足貍麓艘描慚傅檬妹輩正跟膝魯臼落腎鄖咱亮掖趴叢例老弊賜選盤著臀鼎劑揖姬捏葬戒賣迅任悟礦前蟬鈾桑讓蓖伴詩(shī)事直噬憚泡涉蝦碳噬毋骨閥劊鋤數(shù)咬菩腥擁赴苞徑絮估淑胸胞夜鄂砧靜琳握痘錄浪肛思丙沽淑檻坊糙稍糊惶蓄攆鹿望用韭咳蛔復(fù)守促佑課惱腎鼻剁像細(xì)謬肉淫祁攢漸漸解敬整嚨偽鍵靳奮扇消銻智旺終求關(guān)訖程恐皂幸故曠熔裙遵耗睫往摸最礦咒懶益恭凝擋劣憋攪湛泳匠扇退櫥喧盜眠煤昔傍籃汞覆暫獸咋蹤看聳半腫恫暴裁濺1第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征I 教學(xué)基本要求1、理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；2、掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分