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1、第一章 數(shù)的整除整數(shù)和整除1.1整數(shù)和整除的意義1、自然數(shù)包括(零)和(自然數(shù));整數(shù)包括(正整數(shù))、(零)、(負(fù)整數(shù)),本章中學(xué)習(xí)的整數(shù),在沒有特別說明時(shí),都是(正整數(shù))。2、有(無數(shù))個(gè)自然數(shù)。最小的自然數(shù)是(零),(沒有)最大的自然數(shù)。3.整數(shù)a除以整數(shù)b,如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零,我們就說(a)能被(b)整除;或者說(b)能整除(a).4、整除的條件:除數(shù)、被除數(shù)都是(整數(shù));被除數(shù)除以除數(shù),商是(整數(shù))而且余數(shù)為(零)。1.2因數(shù)和倍數(shù)5、整數(shù)a能被整數(shù)b整除,a就叫做b的(倍數(shù)),b就叫做a的(因數(shù))(也稱為約數(shù))。從這里可以看出(倍數(shù))和(因數(shù))是相互依存的6、一個(gè)整數(shù)的因數(shù)
2、中最小的因數(shù)是(1),最大的因數(shù)是(它本身)。1.3能被2,5整除的數(shù)7、個(gè)位上是0、2、4、6、8的整數(shù)都能被(2)整除。個(gè)位上是0或者5的整數(shù)都能被(5)整除8、能被2整除的整數(shù)叫做(偶數(shù)),不能被2整除的整數(shù)叫做(奇數(shù))。這里所說的奇數(shù)和偶數(shù)是指(正奇數(shù))和(正偶數(shù))。當(dāng)研究的數(shù)從正整數(shù)范圍擴(kuò)大到整數(shù)范圍時(shí),4,2,0等也是偶數(shù),5,3,1等也是奇數(shù)。第2節(jié) 分解素因數(shù)1.4 素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)9、一個(gè)正整數(shù),如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù),這樣的數(shù)叫做(素?cái)?shù)),也叫做(質(zhì)數(shù));如果除數(shù)1和它本身以外還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做(合數(shù))。10、(1)既不是素?cái)?shù),也不是合數(shù)。這樣,正整數(shù)又可
3、以分為(1)、(素?cái)?shù))、(合數(shù))三類。11、每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式,其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),叫做這個(gè)合數(shù)的(素因數(shù))。把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做(分解素因數(shù))。12、這種在左側(cè)寫除數(shù),下方寫商的除法格式叫做(短除法)。1.5 公因數(shù)與最大公因數(shù)13、幾個(gè)數(shù)共有的因數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的(公因數(shù)),其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的(最大公因數(shù))。14、如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,那么稱這兩個(gè)數(shù)(互素)。15、素?cái)?shù)和互素有什么區(qū)別呢?答:素?cái)?shù)是對于一個(gè)數(shù)來講的,互素是對于兩個(gè)數(shù)來講的。16、求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù),只要把他們所有公有的(素因數(shù))連乘,所得的積就是他們的(最
4、大公因數(shù))。17、兩個(gè)整數(shù)中,如果某個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù),那么這個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的(最大公因數(shù)),如果這兩個(gè)數(shù)互素,那么它們的最大公因數(shù)就是(1)。1.6公倍數(shù)與最小公倍數(shù)18、幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的(公倍數(shù)),其中最小的一個(gè)叫做它們的(最小公倍數(shù))。19、求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù),只要取它們所有的(素因數(shù)),再取它們各自剩余的(素因數(shù)),將這些數(shù)連乘,所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的(最小公倍數(shù))。20、如果兩個(gè)整數(shù)中某個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),那么這個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的(最小公倍數(shù))。如果兩個(gè)數(shù)互素,那么它們的乘積就是它們的(最小公倍數(shù))。奇數(shù)偶數(shù)素?cái)?shù)一個(gè)整數(shù)合數(shù)-分解素因數(shù)能被2整除的數(shù)的特征能被5
5、整除的數(shù)的特征數(shù)的整除整除因數(shù)整數(shù)間的關(guān)系倍數(shù)互素公因數(shù)-最大公因數(shù)公倍數(shù)-最小公倍數(shù)第二章 分?jǐn)?shù)一填空分?jǐn)?shù)的意義:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)和除法的聯(lián)系:分?jǐn)?shù)的分子就是除法中的被除數(shù),分母就是除法中的除數(shù)。分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系:小數(shù)實(shí)際上就是分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)和比的聯(lián)系:分?jǐn)?shù)的分子就是比的前項(xiàng),分?jǐn)?shù)的分母就是比的后項(xiàng)。分?jǐn)?shù)的分類:分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù):分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)的范圍:小于1。假分?jǐn)?shù):分子大于或等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)的范圍:大于或者等于1。帶分?jǐn)?shù):一個(gè)正整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)相加所成
6、的數(shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)的范圍:大于1。最簡分?jǐn)?shù):分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(零除外),分?jǐn)?shù)的大小不變。什么樣的分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)?分母只含有2、5這2個(gè)質(zhì)因數(shù)最簡分?jǐn)?shù)。如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)化為最簡分?jǐn)?shù)?約分,即把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的公因數(shù)約去的過程。將異分母分?jǐn)?shù)分別化成與原分?jǐn)?shù)大小相等的同分母分?jǐn)?shù),這個(gè)過程叫做通分。這個(gè)分母叫做公分母。如何運(yùn)算分?jǐn)?shù)的加減?對于同分母分?jǐn)?shù),分母不變,分子相加減。對于異分母分?jǐn)?shù),先用利用通分的方法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù),再按照同分母分?jǐn)?shù)的法則進(jìn)行運(yùn)算。兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘,將分子相乘的積作為積的分子,分母相乘的積作為積的
7、分母。運(yùn)算是如果遇上帶分?jǐn)?shù),要先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘,整數(shù)與分?jǐn)?shù)分子的積作為積的分子,分母不變。兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘,可先相乘后約分,也可先約分再相乘,發(fā)現(xiàn)后者(填前者、后者)運(yùn)算起來更簡單。倒數(shù):1除以一個(gè)不為0的數(shù)得到的商,叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩個(gè)互為倒數(shù)的數(shù)的乘積為1。分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外),等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。循環(huán)小數(shù):一個(gè)小數(shù)從小數(shù)部分的某一位起,一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷的重復(fù)出現(xiàn),這個(gè)小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。循環(huán)節(jié):一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的第一個(gè)最少的數(shù)字組,叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。二判斷如果一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母中一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù),
8、那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定是最簡分?jǐn)?shù)。(F)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母除2,5以外還有其他因數(shù),那么將這個(gè)分?jǐn)?shù)化為小數(shù)一定是無限小數(shù)。(F)通分就是將異分母分?jǐn)?shù)分別化成同分母分?jǐn)?shù)的過程。(F)三簡答1.如何將假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行互化? 假分?jǐn)?shù)化帶分?jǐn)?shù):分母不變,分子除以分母所得的整數(shù)部分作為帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,余數(shù)作為帶分?jǐn)?shù)的分子。帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù):分母不變,整數(shù)部分與分母的積加分子的和作為假分?jǐn)?shù)的分母。2.請說出分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的計(jì)算順序。 括號優(yōu)先,先乘除后加減,從左到右依次算。3.如何將小數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行互化? 小數(shù)化分?jǐn)?shù):小數(shù)點(diǎn)后有幾位分母就有幾個(gè)0,去小數(shù)點(diǎn)后作分子,最后化為最簡分?jǐn)?shù)。 分?jǐn)?shù)化小數(shù):分子除以分母。第三章
9、.比和比例1.概念:比和比值、比和分?jǐn)?shù)以及除法三者之間的關(guān)系、比的基本性質(zhì)、比例、百分比、等可能事件、(1)a、b是兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)相同的量,為了把b和a相比較,將a與b相除,叫做a與b的比,記作或?qū)懗?,其中讀作a比b,或a與b 的比。其中a叫做比的前項(xiàng),b叫做比的后項(xiàng),前項(xiàng)a除以后項(xiàng)b所得的商叫做比值(2)比和分?jǐn)?shù)以及除法三者之間的關(guān)系:比:前項(xiàng):后項(xiàng)=比值分?jǐn)?shù):=分?jǐn)?shù)值(分子分母分?jǐn)?shù)值)除:被除數(shù)除數(shù)=商 2,比、分?jǐn)?shù)和除法三者之間的關(guān)系:比的前項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子和除式中的被除數(shù);比的后項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母和除式中的除數(shù);比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值和除式中的商。 (3)比的基本性質(zhì):1.比的前項(xiàng)和后
10、項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外),比值不變最簡整數(shù)比是指比的前項(xiàng)與后項(xiàng)都是整數(shù),且他們互素。 2.三連比的性質(zhì):如果,那么 如果,那么當(dāng)時(shí),要將a,b,c寫成三聯(lián)比的形式,那么首先要將兩個(gè)式子中b所對應(yīng)的比值進(jìn)行調(diào)整,調(diào)整到一致:,最后在得出的結(jié)果中約去他們的最大公因數(shù)即可或者直接尋找q和s的最小公倍數(shù),將q和s直接調(diào)整到這個(gè)數(shù)值,那么根據(jù)q的變化,對p進(jìn)行相同的變化,根據(jù)s的變化對t進(jìn)行相同的變化。例如:,可以知道,b在兩個(gè)比中所對應(yīng)的數(shù)值分別為4和6,我們首先尋找出4和6的最小公倍數(shù)為12,那么要將4變成12,應(yīng)該乘以3,要將6變成12,應(yīng)該乘以2,于是:(這里存在一個(gè)假設(shè)條件為a與b
11、的比,b與c的比已經(jīng)是最簡比)那么(4)比例的基本性質(zhì):a、b、c、d四個(gè)量中,如果,那么就說a、b、c、d成比例,也就是表示兩個(gè)比相等的式子成比例。(可以用分?jǐn)?shù)的約分去理解)其中a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項(xiàng),第一比例項(xiàng)a和第四比例項(xiàng)d叫做比例外項(xiàng),第二比例項(xiàng)b和第三比例項(xiàng)c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。如果兩個(gè)比例內(nèi)向相同,即a:b=b:c,那么把b叫做a和c的比例中項(xiàng)。(5)百分比:把兩個(gè)數(shù)的比值寫成的形式,稱為百分?jǐn)?shù),也叫做百分比或者百分率。記作n%。其中%叫做百分號(按比例來理解可理解為) (6)等可能事件:如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的,那么每一個(gè)
12、基本事件互為等可能事件。概率(7)概率:有關(guān)概念有關(guān)性質(zhì)百分比等可能事件比比例百分比的概念百分?jǐn)?shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系應(yīng)用比和比例數(shù)比的基本性質(zhì)比和比例的有關(guān)性質(zhì)第四章 圓和扇形一填空1.圓的周長與直徑相差倍2.圓的面積:圓所占的平面大小,叫做圓的面積。3.圓心角:頂點(diǎn)在圓心上的角,叫做圓心角。4.圓周角:頂點(diǎn)在圓周上的角,叫做圓心角。5.扇形:由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形,叫做扇形。6.圓的半徑擴(kuò)大兩倍,面積擴(kuò)大4倍,周長擴(kuò)大2倍。7.扇形圓心角縮小n倍,面積縮小n倍。二判斷8.當(dāng)圓心角變大時(shí),它所對的弧變大。(F)9.圓的周長是直徑的3.14倍。(F)10.扇形的弧長擴(kuò)大2
13、倍,周長擴(kuò)大2倍。(F)11.圓的面積比扇形的面積大。(F)三相關(guān)公式圓周長:C = d =2 r半圓周長:C= r+2r= r+d扇形周長:C=L+2r弧長:L= = 圓面積:S= = 半圓面積: 扇形面積: 圓環(huán)面積: 第五章 有理數(shù)1.有理數(shù)的分類 正整數(shù) 整數(shù) 零 注意點(diǎn):整數(shù)看成分母為1的分?jǐn)?shù),所有有理數(shù)都是分?jǐn)?shù)有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù). 1.原點(diǎn) 數(shù)軸三要素 2.正方向 注意點(diǎn):數(shù)軸上可以表示任何一個(gè)有理數(shù)2 3.單位長度 相反數(shù):如果兩個(gè)有理數(shù)a和b滿足a+b=0,那么a和b互為相反數(shù),并且與原點(diǎn)的距離相等。 定義:一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,因而絕對值是非負(fù)
14、數(shù),即 |a|03.絕對值 a,a0 注意點(diǎn):絕對值在理解上所發(fā)生的錯(cuò)誤|3.14-|=3.14- 表示:|a|= 0,a=0 -a,a0,0負(fù)數(shù),正數(shù)負(fù)數(shù) 4.有理數(shù)的大小比較 兩個(gè)正數(shù)中,絕對值大的數(shù)則大 兩個(gè)負(fù)數(shù)中,絕對值小的數(shù)則大第2節(jié) 有理數(shù)的運(yùn)算 1.取原符號 1.同號兩數(shù) 2.絕對值相加1.有理數(shù)的加法法則 2.異號兩數(shù) 1.絕對值相等,和=0 2.絕對值不等 1.較大絕對值 較小絕對值的差 3.一數(shù)加零=原數(shù) 2.取絕對值較大的符號 1.交換律 a+b=b+a 轉(zhuǎn)化 加法運(yùn)算律 2.結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c) 減法法則:減去一個(gè)數(shù)=加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù) a-b=a+(
15、-b)同號為正,絕對值相乘 =注意,幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘, 2.異號為負(fù),絕對值相乘 積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定 積為負(fù) 負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè) 積為負(fù) 負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè) 3.與零相乘,得零 兩數(shù)乘法法則 2.有理數(shù) 轉(zhuǎn)化 除法法則:甲數(shù)除以乙數(shù)(零除外)=甲數(shù)乙數(shù)的倒數(shù) 1.交換律 ab=ba 乘法運(yùn)算律 2.結(jié)合律 (ab)c=a(bc)3.分配律 a(b+c)=ab+ac 乘方:幾個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算 注意:底數(shù)a指數(shù) ,且n為正整數(shù) a讀作a的n次方 a的結(jié)果讀作a的n次冪 1=1 0=0 1.先乘方3.有理數(shù)的混合運(yùn)算 2.后乘除 3.再加減 a.先小括號 注意:在有理數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常要添括號或 如
16、果有括號 b.后中括號 去括號。括號前帶負(fù)號,去掉后括號內(nèi) c.再大括號 各項(xiàng)要變號 (a+b)=-a-b (a-b)=-a+b4.科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)數(shù)寫成a10(其中1|a|10,n是正整數(shù)),注意:a的范圍: 1|a|5x-31=12x+200 概念:用 , , 或 表示的關(guān)系式 性質(zhì) 1.不等式兩邊同加減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等4.不等式及其性質(zhì) 號方向不變 ab,則a+mb+m ab,則a+mb且m0,則ambm ab且mbm 不等式的解:能夠使不等式成立的未知數(shù)的值 1.去分母 2.去括號 重要依據(jù):不等式的三條基本性質(zhì) 3.移項(xiàng)5.一元一次不等式的解法 4.化成axb(
17、或axa 無解 bxa xa xa xa xb 4種形式 xb xb xb或axCD;若D在AB延長線上,則AB運(yùn)用 結(jié)合律 3.只在一個(gè)單項(xiàng)式里的字母聯(lián)通指數(shù)寫 同底數(shù)冪乘法 注意:1.確定結(jié)果的符號 2.不要遺漏只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母 3.三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘也適用 4.結(jié)果仍為單項(xiàng)式 5.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式:用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得積相加注意: 1.積是多項(xiàng)式 2.項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同 3.不要漏乘項(xiàng) 平方差:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。7.乘法公式: (a+b)(a-b)=a-b注意:a,b可代表一個(gè)數(shù),一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的
18、平方,等于它們的平方和加上(減去)它們乘積兩倍 (ab)=a2ab+b,即:首平方,尾平方,二倍在中央8.分解因式:1.提取因式法:多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí),應(yīng)先提取公因式,即ax+ay+az=a(x+y+z) 2.運(yùn)用公式法: 平方差 完全平方公式 3.十字相乘法:x+px+q=(x+a)(x+b),p=a+b,q=ab 4.求根公式法:ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2),x1,x2是方程ax+bx+c=0的兩個(gè)根 5.分組分解法:當(dāng)多項(xiàng)式有三項(xiàng)以上因式時(shí),使用分組分解法,分組的原則是 使分組后的各組可用提取公因式或公式法進(jìn)行分解9.分解因式的形式:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式 1
19、.對被分解因式的特征觀察不仔細(xì),因而公式套用錯(cuò)誤注意:2.分組分解法沒有仔細(xì)觀察被分解因式的特征分解錯(cuò)誤3.在運(yùn)用十字相乘法時(shí),只追求形式上的分解10.整式的除法同底數(shù)冪的除法 把系數(shù),同底數(shù)冪分別相除后,作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母則聯(lián)通它的指數(shù)一起作為商的因式 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 商式=系數(shù)同底的冪被除式里單獨(dú)有的冪多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加。常見錯(cuò)誤:1.單項(xiàng)式的乘法與整式的加法運(yùn)算混淆整式的除法中除式的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí),把除法轉(zhuǎn)化為乘法時(shí)只注意轉(zhuǎn)化系數(shù)而忽視字母的運(yùn)算。第十章 分式第一節(jié)兩個(gè)整式A、B相除,即AB時(shí),可以表示為。如果B
20、中含有字母,那么叫做分式,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。如果一個(gè)分式的分母為零,那么這個(gè)分式無意義。分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不為零的整式,分式的值不變,即=,其中M、N為整式,且B0,M0,N0。把一個(gè)分式的分子與分母中相同的因式約去的過程,叫做約分。如果一個(gè)分式的分子與分母沒有相同的因式(1除外),那么這個(gè)分式叫做最簡分式。化簡分式時(shí),如果分式的分子和分母都是單項(xiàng)式,約分時(shí)約去它們系數(shù)的最大公因數(shù)、相同因式的最低次冪。如果分子、分母是多項(xiàng)式,先分解因式,再約分?;喎质綍r(shí)要將分式化成最簡分式或整式。第二節(jié)分式的乘除法則與分?jǐn)?shù)的乘除法則類似:兩個(gè)分式相乘,將分子相乘的積做分
21、子,分母相乘的積作分母。分式除以分式,將除式的分子和分母顛倒位置后,再與被除式相乘。用式子表示為:。分式的運(yùn)算結(jié)果一般化簡成最簡分式或整式。同分母分式相加減,分母不變,分子相加減。異分母分式相加減,先將它們化為相同分母的分式,然后進(jìn)行加減。將幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來分式的值相等的同分母分式的過程叫做通分。通分先要確定公分母,如果各分母的系數(shù)是整數(shù),通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母。這樣的公分母叫做最簡公分母。因?yàn)?路程=時(shí)間速度,所以 。以前學(xué)過的像一元一次方程、二元一次方程等這類分母中不含未知數(shù)的方程叫做整式方程。分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。解這個(gè)分
22、式方程的關(guān)鍵是去分母,將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的整式方程在求解。一元方程的解也叫做方程的根。在分式方程變形時(shí),有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原分式方程的根,這種根叫做原分式方程的增根。分式方程化為整式方程的過程必須兩邊乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?。由于這個(gè)整式可能為零,使本不相等的兩邊也相等了,這時(shí)就可能產(chǎn)生增根。所以解分式方程必須檢驗(yàn),而檢驗(yàn)的方法只需看所得的解是否使所乘的式子為零。為了使同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在m、n是整數(shù),且mn時(shí)仍成立,規(guī)定(其中a0,p是自讓數(shù))。在a0時(shí),中的指數(shù)n可以是正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。這就是說,是整數(shù)指數(shù)冪。在數(shù)學(xué)中,對于整數(shù)指數(shù)冪,有(m、n為整數(shù),a0);(m為整數(shù),a0,);(m、n為整
23、數(shù),a0)。也就是說,前面學(xué)過的正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對整數(shù)指數(shù)冪仍然成立。有了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,科學(xué)記數(shù)法不僅可以表示絕對值較大的數(shù),也可以表示絕對值較小的數(shù)。本章知識的結(jié)構(gòu)框架如下:第十一章 圖形的運(yùn)動(dòng)第1節(jié) 圖形的平移11.1平移將圖形上的所有的點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的位置移動(dòng),叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng),簡稱平移圖形平移后,對應(yīng)點(diǎn)之間的距離、對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等。平移后各對應(yīng)點(diǎn)之間的距離叫做圖形平移的距離第2節(jié) 圖形的旋轉(zhuǎn)11.2 旋轉(zhuǎn) 在平面內(nèi),將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角 圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)
24、在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng),其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等,旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。11.3 旋轉(zhuǎn)對稱圖形與中心對稱圖形 把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后,與初始圖形重合,這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形,這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心,旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角) 如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,與初始圖形重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。11.4 中心對稱 把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,和另一個(gè)圖形重合,那么叫做兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對稱,也叫做這兩個(gè)圖形成中心對稱,這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心,這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心
25、的對稱點(diǎn)。圖形的翻折11.5 翻折與軸對稱圖形 把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過來,直線兩旁的部分能夠相互重合,這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸。11.6 軸對稱 如果把一個(gè)圖形沿某一條直線翻折,能與另一個(gè)圖形重合,那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱,這條直線叫做對稱軸,兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)。 兩個(gè)圖形關(guān)于一條直線成軸對稱,這兩個(gè)圖形對應(yīng)線段的長度和對應(yīng)角的大小相等,它們的形狀相同,大小不變。 圖形的運(yùn)動(dòng)圖形的平移圖形的旋轉(zhuǎn)圖形的翻折旋轉(zhuǎn)對稱圖形中心對稱軸對稱圖形軸對稱中心對稱圖形第十二章 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的概念12.1 實(shí)數(shù)的概念1、無限不循環(huán)小數(shù)叫做(有理數(shù))
26、。2、下面那些數(shù)是正無理數(shù)( 如 、0、1010010001.),那些數(shù)是負(fù)無理數(shù)(如 、0、1010010001.)、0、1010010001,、0、1010010001. 正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)3、3.1416不是嗎?怎么是有理數(shù)呢?答:3.1416是的一個(gè)近似值。3.1416是有限小數(shù),所以是有理數(shù) ,而是無限不循環(huán)小數(shù)。數(shù)的開方12.2平方根和開平方4、如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的(平方根)。求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方,a叫做(被開方數(shù))。5、零有平方根嗎?負(fù)數(shù)有平方根嗎?答:零有平方根,這個(gè)平方根
27、是零。負(fù)數(shù)沒有平方根,因?yàn)槿魏我粋€(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)或零的平方都不是負(fù)數(shù)。6、正數(shù)a的兩個(gè)平方根可以用“ EQ R(2,a) ”表示,其中 EQ R(2,a) 表示a的(正平方根)(又叫算術(shù)平方根),讀作“根號a”; EQ R(2,a) 表示a的負(fù)平方根,讀作”負(fù)根號a”。7、零的平方根記作 EQ R(,0) , EQ R(,0) =(0)。8、一個(gè)正數(shù)的平方根的平方等于(這個(gè)數(shù))。一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根的平方等于(這個(gè)數(shù)相反數(shù))。9、如果被開方數(shù)可以表示為某正數(shù)的平方,那么它的正平方根就是這個(gè)(正數(shù))。12.3 立方根和開立方10、如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的(立方根),用“ EQ R(3,
28、a) ”表示,讀作“三次根號a”, EQ R(3,a) 中的a叫做被開方數(shù),“3”叫(根指數(shù))。求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做(開立方)。11、正數(shù)的立方根是一個(gè)(正數(shù)),負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)(負(fù)數(shù)),零的立方等于(零),所以正數(shù)的立方根是一個(gè)(正數(shù)),負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)(負(fù)數(shù)),零的立方根是(零)。12、任意一個(gè)數(shù)都有立方根,而且只有(一個(gè))立方根。12.4 n次方根13、如果一個(gè)數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),這個(gè)數(shù)為a的(奇次方根);當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),這個(gè)數(shù)為a的(偶次方根)。14、求一個(gè)數(shù)a的n次方根的運(yùn)算叫做開n次方,a叫做(被開方數(shù)),n叫做(
29、根指數(shù))。15、實(shí)數(shù)a的奇次方根有且只有一個(gè),用(“ EQ R(n,a) ”)表示。其中被開方數(shù)a是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)n是大于1的奇數(shù)。正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè),它們(互為相反數(shù)),正n次方根用(“ EQ R(n,a) ”)表示,負(fù)n次方根用(“ EQ R(n,a) ”)表示。其中被開方數(shù)a0,2跟指數(shù)n是正偶數(shù)(當(dāng)n=2時(shí),在 EQ R(n,a) 中省略n)。負(fù)數(shù)的偶次方根(不存在)。零的n次方根等于零,表示為( EQ R(n,0) =0).實(shí)數(shù)的運(yùn)算12.5 用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)16、一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所以對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的(絕對值)。實(shí)數(shù)a的絕對值記作|a|。絕對值相等、符號
30、相反的兩個(gè)數(shù)叫做(互為相反數(shù));零的相反數(shù)是零,非零實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是(a)。17、負(fù)數(shù)(小于)零;零(小于)正數(shù)。兩個(gè)正數(shù),絕對值大的數(shù)(較大);兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對值的的數(shù)(較小)。從數(shù)軸上看,右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)(大)。18、反過來看數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)也都可以用唯一的一個(gè)(實(shí)數(shù))來表示。19、在數(shù)軸上,如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,那么、兩點(diǎn)的距離()。12.6 實(shí)數(shù)的運(yùn)算、設(shè)可知( EQ R(,) EQ R(,) )( EQ R(,) )( EQ R(,) )根據(jù)平方的意義,得 EQ R(,) EQ R(,) EQ R(,) 同理 EQ R(,) EQ R(,) EQ
31、R(,) 、近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度,對近似程度的要求,叫做(精確度)。、指定保留幾個(gè)有效數(shù)字。對于一個(gè)近似數(shù),從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起,往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字,叫做這個(gè)近似數(shù)的(有效數(shù)字)。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪12.7 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、打不出來這一個(gè)書上第頁、整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱有(有理數(shù)指數(shù)冪)。、設(shè),、為有理數(shù),那么(),()()()()( (,) * MERGEFORMAT 錯(cuò)誤!未定義書簽。 (,) * MERGEFORMAT 錯(cuò)誤!未定義書簽。 * MERGEFORMAT 錯(cuò)誤!未定義書簽。)第十三章 相交線 平行線相交線13.1 鄰補(bǔ)角、對頂角1、兩角有一條公共邊,它們
32、的另一條邊互為反向延長線。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做(互為鄰補(bǔ)角)。2、互為鄰補(bǔ)角與互為補(bǔ)角有什么區(qū)別于聯(lián)系?答:互為鄰補(bǔ)角包括兩角之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系兩個(gè)方面的要求;而互為補(bǔ)角僅指兩角之間的數(shù)量關(guān)系。兩角有一個(gè)公共點(diǎn),一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角兩邊的延長線,具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做(互為對頂角)。對頂角相等。垂線如果兩條直線的夾角為直角,那么就說這兩條直線(互為垂直),其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫做(垂足)。過一點(diǎn)(有且只有一條)直線與已知直線垂直。在平面內(nèi)經(jīng)過直線上或直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線可以做(一條,并且只有一條)。過線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的(垂直
33、平分線),簡稱(中垂線)。聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,(垂線段)最短。簡單地說(垂線段最短)。直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做這個(gè)點(diǎn)到(直線的距離)。同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角兩角在截線L的同旁,又分別處在直線a、b相同一側(cè)的位置。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做(互為同為角)。兩角在截線L的兩旁,又分別處在直線a、b之間。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做(互為內(nèi)錯(cuò)角)。兩角在截線L的同旁,又分別處在直線a、b之間。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做(互為同旁內(nèi)角)。平行線兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線(平行)。簡單地說:(同位角相等,兩直線平行)。經(jīng)過直線外的一點(diǎn),(有且只
34、有一條)直線與已知直線平行。兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線(平行)。簡單地說:(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)。兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線(平行)。簡單地說:(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行)。兩條平行線被第三條直線所截,同位角(相等)。簡單地說:(兩直線平行,同位角相等)。兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角(相等)。簡單地說:(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)。兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角(互補(bǔ))。簡單地說:(兩直線平行,同旁內(nèi)角相補(bǔ))。如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相(平行)。兩條平行線中,任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線
35、的距離都是一個(gè)定值,這個(gè)定值叫做這兩條平行線的(距離)。第十四章 三角形14.1 三角形的有關(guān)概念1.三角形的任意兩邊之和大于第三邊。2.在一個(gè)三角形中,從一個(gè)頂點(diǎn)想它的對邊所在的直線畫垂線,頂點(diǎn)和垂足質(zhì)檢的線段叫做三角形的高。聯(lián)結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊重點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。3.三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形。 有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形。 有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。三邊不相等的三角形叫做不等邊三角形。有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形4
36、. 三角形的內(nèi)角和為1805. 三角形的外角:有三角形的一個(gè)內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角。6. 三角形外角的性質(zhì):性質(zhì)1:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。性質(zhì)2:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。7.對于三角形的每個(gè)內(nèi)角,從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè),這樣取得的三個(gè)外角相加所得的和,叫做三角形的外角和。8. 三角形的外角和等于360。9全等形:能夠重合的兩個(gè)圖形。 10. 全等三角形:兩個(gè)三角形是全等形,就說它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角形,經(jīng)過運(yùn)動(dòng)后一定重合,相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn);相互重合的邊叫做對應(yīng)邊,相互重合的角叫做對應(yīng)角。11. 全等三角形對應(yīng)
37、邊相等;對應(yīng)角相等。12.全等三角形的判定方法1:在兩個(gè)三角形中,如果有兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等(簡記為S.A.S)13.全等三角形的判定方法2:在兩個(gè)三角形中,如果有兩個(gè)角及它們的夾邊對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等(簡記為A.S.A)14. 全等三角形的判定方法3:在兩個(gè)三角形中,如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等(簡記為A.A.S)15. 全等三角形的判定方法1:在兩個(gè)三角形中,如果有三邊對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等(簡記為S.S.S)16. 等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱等邊對等角)。17. 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的
38、高互相重合(簡稱“等腰三角形的三線合一”)18.等腰三角形是軸對稱圖形,它的對稱抽是頂角的角平分線所在的直線。19. 等腰三角形的判定:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么著兩個(gè)角所對應(yīng)的邊也相等,這個(gè)三角形是等腰三角形(簡稱為“等角對等邊”)20. 等邊三角形:三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。21. 有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。第十五章 平面直角坐標(biāo)系1.在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,過點(diǎn)O畫兩條互相垂直的數(shù)軸,且是它們以點(diǎn)O為公共原點(diǎn),這樣,就在平面內(nèi)建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。通常所畫得兩條數(shù)軸中,有一條是水平放置的,它的正方向向右,這條數(shù)軸叫做橫軸(記做x軸),另一條是鉛直放置的,它的正方
39、向向上,這條數(shù)軸叫做縱軸(記做y軸)。建立了直角坐標(biāo)系的平面叫做直角坐標(biāo)平面。2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(a,b)叫做P點(diǎn)的坐標(biāo),記做P(a,b),其中a叫做橫坐標(biāo),b叫做縱坐標(biāo)。3經(jīng)過點(diǎn)A(a,b)且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=a,經(jīng)過點(diǎn)A(a,b)且垂直于y軸的直線可以表示為直線y=b,4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)A(x1,y)、B(x2,y)的距離AB=x1-x2,平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)A(x,y1)、B(x,y2)的距離AB=y1-y25.一般地,如果點(diǎn)M(x,y)沿著與x軸或y軸平行的方向平移m(m0)個(gè)單位,那么:向右平移所對應(yīng)
40、的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x+m,y)向左平移所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x-m,y)向上平移所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y+m)向下平移所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y-m)對稱軸垂直平分軸對稱對應(yīng)點(diǎn)的連線。6.一般地,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi), 與M(x,y)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y);與M(x,y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y);與M(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y)。第十六章 二次根式第1節(jié) 二次根式的概念和性質(zhì)16.1 二次根式1、代數(shù)式叫做二次根式。仍然讀作“根號a”,其中a為被開方數(shù)。2、有意義的條件是。3、二次根式的性質(zhì): 性質(zhì)一:= 性質(zhì)二: = = = 性質(zhì)三: 性質(zhì)四: 一般地,設(shè),那
41、么 類似的,設(shè),那么 4、把二次根式里被開方數(shù)所含的完全平方因式移到根號外,或者化去被開方數(shù)的分母的過程,稱為“化簡二次根式”5、通常把形如的式子也叫做二次根式6、如果二次根式中被開方數(shù)是分式(或分?jǐn)?shù)),那么可以化去分母。方法是將分子和分母同乘以一個(gè)不等于零的代數(shù)式,使分母變成完全平方式,再將分母用它的正平方根代替后移到根號外面做新的分母16.2最簡二次根式和同類二次根式7、被開方數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡二次根式(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1(2)被開方數(shù)不含分母8、幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式第2節(jié) 二次根式的運(yùn)算1
42、6.3 二次根式的運(yùn)算9、二次根式相加減的一般過程是:先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式,再把同類二次根式分別合并注意:不是同類二次根式的根式不能合并,保留在結(jié)果中10、二次根式相乘的法則:兩個(gè)二次根式相乘,被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變11、二次根式相除的法則:兩個(gè)二次根式相除,被開方數(shù)相除,根指數(shù)不變注意:如果二次根式相除的結(jié)果是根式,那么必須化成最簡根式12、把分母中的根號化去,叫做分母有理化。分母有理化的方法,一般是把分子和分母同乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式,使分母不含根號13、兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說這兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式總結(jié):
43、第十七章 一元二次方程第一節(jié):一元二次方程的概念17.1一元二次方程的概念含有未知數(shù)的等式叫做方程。方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,這樣的方程叫做整式方程。只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0(a o)的形式,這種形式簡稱一元二次方程的一般式。其中ax2叫做二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx叫做一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c叫做常數(shù)項(xiàng)。注意:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,b,c可以是任意實(shí)數(shù),但a應(yīng)是一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)。能夠使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。只含有一個(gè)未知數(shù)的方程,它的解又叫做方程
44、的跟。第二節(jié):一元二次方程的解法17.2一元一次方程的解法1.特殊的一元二次方程的解法未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個(gè)根通常用x1,x2表示。對于一元二次方程x2=d,如果d0,那么就可以用開平方法求它的根。當(dāng)d0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的根:x1=,x2=- ;當(dāng)d=0時(shí),得x2=0,這時(shí)就說方程有兩個(gè)相等的根,記作:x1=x2=0.通過開平方,把解一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題,其數(shù)學(xué)思想是“劃歸”,基本策略是“降次”。注意:當(dāng)AB=0時(shí),必有A=0或B=0;當(dāng)A=0或B=0時(shí),必有AB=0.通過因式分解,把一元二次方程化成兩個(gè)一次因式的積等于零的形式,從而把解一元二次方程的問題轉(zhuǎn)
45、化為解一元一次方程的問題,像這樣解一元二次方程的方法叫做因式分解法。注意:當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是零,而另一邊的二次式易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí),可用因式分解法來解這個(gè)一元二次方程。2.一般的一元二次方程的解法利用了兩數(shù)和(差)的平方公式,在方程左右兩邊同加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”,像這樣通過添項(xiàng)(或拆項(xiàng))配完全平方式的過程,簡稱“配方”。一般來說,在方程x2+px=0的兩邊同加上(p2)2,可化為的形式,這時(shí)方程左邊是關(guān)于x的完全平方式,右邊是一個(gè)常數(shù),像這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。對于一般的一元二次方程,都可以用配方法來解。3.一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2+bx+c=
46、0(a 0),當(dāng)b2-4ac0時(shí),它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根:,。這就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式。在求根公式中,如果b2-4ac=0,那么x1=x2=-,即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。在解一元二次方程時(shí),只要把方程化成一般式ax2+bx+c=0(a 0),如果b2-4ac0,把a(bǔ),b,c帶入求根公式,就可以求得方程的實(shí)數(shù)根;如果b2-4ac0,那么原方程無實(shí)數(shù)根。這種解一元二次方程的方法稱為公式法。注意:用公式法解一元二次方程時(shí),應(yīng)根據(jù)方程的一般式確定a,b,c的值,這里特別要注意a,b,c的符號。注意:方程的左邊容易分解因式的選擇因式分解法;方程的右邊不是零的先將方程整理,不宜用因
47、式分解法的可以選用公式法。解一元二次方程時(shí)要注意方法的選擇,這樣可以使解題過程簡便。17.3一元二次方程根的判別式我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的判別式,通常用符號“ ”表示,記作 =b2-4ac.利用根的判別式,不必解方程,就可以判斷一個(gè)一元二次方程是否有實(shí)根,以及有實(shí)數(shù)根時(shí)兩根是否相等:一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),當(dāng)=0 時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)=0 時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)=0.當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),=0.當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí),0時(shí),正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限;自變量x的值逐漸增大時(shí),y的值也隨著逐漸增大。 (2
48、)當(dāng)k0時(shí),函數(shù)圖象的兩支分別在第一、三象限;在每個(gè)象限內(nèi),當(dāng)自變量x的值逐漸增大時(shí),y的值隨著逐漸減小。當(dāng)kR); 點(diǎn)P在圓上(d=R); 點(diǎn)P在圓內(nèi)(dR)。3、在平面上,經(jīng)過給定兩點(diǎn)的圓有(無數(shù)個(gè)),這些圓的圓心一定在(該兩點(diǎn)確定線段的垂直平分線上)。4、定理:平面內(nèi),不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定(一個(gè)圓)。5、經(jīng)過一個(gè)三角形的個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)(三角形的外接圓),外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的(外心);這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的(內(nèi)接三角形)。6、如果一個(gè)圓經(jīng)過一個(gè)多邊形的個(gè)頂點(diǎn),那么這個(gè)圓叫做(多邊形的外接圓),這個(gè)多邊形叫做這個(gè)圓的(內(nèi)接多邊形)。7、圓?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧,
49、簡稱弧 弦:鏈接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦 圓心角:以圓心為頂點(diǎn)的角叫做圓心角 半圓:圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓 優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧 劣弧:小于半圓的弧叫做劣弧 弦心距:圓心到弦的距離叫做弦心距 等?。耗軌蛑睾系膬蓷l弧叫做等弧 等圓:半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓 注:(1)如果本章沒有特別說明時(shí),本章的圓心角通常指大于0度且小于180度的角; (2)圓是以圓心為旋轉(zhuǎn)對稱中心的旋轉(zhuǎn)對稱圖形,旋轉(zhuǎn)角可為(大于0度小于360度的任何一個(gè)角)。8、定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的?。ㄏ嗟龋鶎Φ南遥ㄏ嗟龋?,所對的弦的弦心距(相等)。9、推論:在同圓或等圓中,圓
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