初中數學知識點梳理 (3)

1、第一章 數的整除整數和整除1.1整數和整除的意義1、自然數包括（零）和（自然數）；整數包括（正整數）、（零）、（負整數），本章中學習的整數，在沒有特別說明時，都是（正整數）。2、有（無數）個自然數。最小的自然數是（零），（沒有）最大的自然數。3.整數a除以整數b，如果除得的商是整數而余數為零，我們就說（a）能被（b）整除；或者說(b)能整除(a).4、整除的條件：除數、被除數都是（整數）；被除數除以除數，商是（整數）而且余數為（零）。1.2因數和倍數5、整數a能被整數b整除，a就叫做b的（倍數），b就叫做a的（因數）（也稱為約數）。從這里可以看出（倍數）和（因數）是相互依存的6、一個整數的因數

2、中最小的因數是（1），最大的因數是（它本身）。1.3能被2,5整除的數7、個位上是0、2、4、6、8的整數都能被（2）整除。個位上是0或者5的整數都能被（5）整除8、能被2整除的整數叫做（偶數），不能被2整除的整數叫做（奇數）。這里所說的奇數和偶數是指（正奇數）和（正偶數）。當研究的數從正整數范圍擴大到整數范圍時，4，2,0等也是偶數，5，3，1等也是奇數。第2節(jié) 分解素因數1.4 素數、合數與分解素因數9、一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做（素數），也叫做（質數）；如果除數1和它本身以外還有別的因數，這樣的數叫做（合數）。10、（1）既不是素數，也不是合數。這樣，正整數又可

3、以分為（1）、（素數）、（合數）三類。11、每個合數都可以寫成幾個素數相乘的形式，其中每個素數都是這個合數的因數，叫做這個合數的（素因數）。把一個合數用素因數相乘的形式表示出來，叫做（分解素因數）。12、這種在左側寫除數，下方寫商的除法格式叫做（短除法）。1.5 公因數與最大公因數13、幾個數共有的因數，叫做這幾個數的（公因數），其中最大的一個叫做這幾個數的（最大公因數）。14、如果兩個整數只有公因數1，那么稱這兩個數（互素）。15、素數和互素有什么區(qū)別呢？答：素數是對于一個數來講的，互素是對于兩個數來講的。16、求幾個數的最大公因數，只要把他們所有公有的（素因數）連乘，所得的積就是他們的（最

4、大公因數）。17、兩個整數中，如果某個數是另一個數的因數，那么這個數就是這兩個數的（最大公因數），如果這兩個數互素，那么它們的最大公因數就是（1）。1.6公倍數與最小公倍數18、幾個整數公有的倍數叫做它們的（公倍數），其中最小的一個叫做它們的（最小公倍數）。19、求兩個整數的最小公倍數，只要取它們所有的（素因數），再取它們各自剩余的（素因數），將這些數連乘，所得的積就是這兩個數的（最小公倍數）。20、如果兩個整數中某個數是另一個數的倍數，那么這個數就是這兩個數的（最小公倍數）。如果兩個數互素，那么它們的乘積就是它們的（最小公倍數）。奇數偶數素數一個整數合數-分解素因數能被2整除的數的特征能被5

5、整除的數的特征數的整除整除因數整數間的關系倍數互素公因數-最大公因數公倍數-最小公倍數第二章 分數一填空分數的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。分數和除法的聯(lián)系：分數的分子就是除法中的被除數，分母就是除法中的除數。分數和小數的聯(lián)系：小數實際上就是分母是10、100、1000的分數。分數和比的聯(lián)系：分數的分子就是比的前項，分數的分母就是比的后項。分數的分類：分數可以分為真分數，假分數和帶分數。真分數：分子小于分母的分數叫做真分數。真分數的范圍：小于1。假分數：分子大于或等于分母的分數叫做假分數。假分數的范圍：大于或者等于1。帶分數：一個正整數與一個真分數相加所成

6、的數叫做帶分數。帶分數的范圍：大于1。最簡分數：分子與分母互質的分數叫做最簡分數。分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變。什么樣的分數可以化成有限小數？分母只含有2、5這2個質因數最簡分數。如何將一個分數化為最簡分數？約分，即把一個分數的分子與分母的公因數約去的過程。將異分母分數分別化成與原分數大小相等的同分母分數，這個過程叫做通分。這個分母叫做公分母。如何運算分數的加減？對于同分母分數，分母不變，分子相加減。對于異分母分數，先用利用通分的方法轉化為同分母分數，再按照同分母分數的法則進行運算。兩個分數相乘，將分子相乘的積作為積的分子，分母相乘的積作為積的

7、分母。運算是如果遇上帶分數，要先將帶分數化為假分數。整數與分數相乘，整數與分數分子的積作為積的分子，分母不變。兩個分數相乘，可先相乘后約分，也可先約分再相乘，發(fā)現后者（填前者、后者）運算起來更簡單。倒數：1除以一個不為0的數得到的商，叫做這個數的倒數。兩個互為倒數的數的乘積為1。分數除法的運算法則：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘以乙數的倒數。循環(huán)小數：一個小數從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷的重復出現，這個小數叫做循環(huán)小數。循環(huán)節(jié)：一個循環(huán)小數的小數部分中依次不斷地重復出現的第一個最少的數字組，叫做這個循環(huán)小數的循環(huán)節(jié)。二判斷如果一個分數的分子和分母中一個是奇數一個是偶數，

8、那么這個分數一定是最簡分數。（F）一個分數的分母除2,5以外還有其他因數，那么將這個分數化為小數一定是無限小數。（F）通分就是將異分母分數分別化成同分母分數的過程。（F）三簡答1.如何將假分數和帶分數進行互化？ 假分數化帶分數：分母不變，分子除以分母所得的整數部分作為帶分數的整數部分，余數作為帶分數的分子。帶分數化假分數：分母不變，整數部分與分母的積加分子的和作為假分數的分母。2.請說出分數四則運算的計算順序。 括號優(yōu)先，先乘除后加減，從左到右依次算。3.如何將小數和分數進行互化？ 小數化分數：小數點后有幾位分母就有幾個0，去小數點后作分子，最后化為最簡分數。 分數化小數：分子除以分母。第三章

9、.比和比例1.概念：比和比值、比和分數以及除法三者之間的關系、比的基本性質、比例、百分比、等可能事件、（1）a、b是兩個數或兩個相同的量，為了把b和a相比較，將a與b相除，叫做a與b的比，記作或寫成，其中讀作a比b，或a與b 的比。其中a叫做比的前項，b叫做比的后項，前項a除以后項b所得的商叫做比值（2）比和分數以及除法三者之間的關系：比：前項：后項=比值分數：=分數值（分子分母分數值）除：被除數除數=商 2，比、分數和除法三者之間的關系：比的前項相當于分數的分子和除式中的被除數；比的后項相當于分數的分母和除式中的除數；比值相當于分數的分數值和除式中的商。 （3）比的基本性質：1.比的前項和后

10、項同時乘以或除以相同的數（0除外），比值不變最簡整數比是指比的前項與后項都是整數，且他們互素。 2.三連比的性質：如果，那么 如果，那么當時，要將a，b，c寫成三聯(lián)比的形式，那么首先要將兩個式子中b所對應的比值進行調整，調整到一致：，最后在得出的結果中約去他們的最大公因數即可或者直接尋找q和s的最小公倍數，將q和s直接調整到這個數值，那么根據q的變化，對p進行相同的變化，根據s的變化對t進行相同的變化。例如：，可以知道，b在兩個比中所對應的數值分別為4和6，我們首先尋找出4和6的最小公倍數為12，那么要將4變成12，應該乘以3，要將6變成12，應該乘以2，于是：（這里存在一個假設條件為a與b

11、的比，b與c的比已經是最簡比）那么（4）比例的基本性質：a、b、c、d四個量中，如果，那么就說a、b、c、d成比例，也就是表示兩個比相等的式子成比例。（可以用分數的約分去理解）其中a、b、c、d分別叫做第一、二、三、四比例項，第一比例項a和第四比例項d叫做比例外項，第二比例項b和第三比例項c叫做比例內項。如果兩個比例內向相同，即a:b=b:c，那么把b叫做a和c的比例中項。（5）百分比：把兩個數的比值寫成的形式，稱為百分數，也叫做百分比或者百分率。記作n%。其中%叫做百分號（按比例來理解可理解為） （6）等可能事件：如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都是相等的，那么每一個

12、基本事件互為等可能事件。概率（7）概率：有關概念有關性質百分比等可能事件比比例百分比的概念百分數與小數、分數的關系應用比和比例數比的基本性質比和比例的有關性質第四章 圓和扇形一填空1.圓的周長與直徑相差倍2.圓的面積：圓所占的平面大小，叫做圓的面積。3.圓心角：頂點在圓心上的角，叫做圓心角。4.圓周角：頂點在圓周上的角，叫做圓心角。5.扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形，叫做扇形。6.圓的半徑擴大兩倍，面積擴大4倍，周長擴大2倍。7.扇形圓心角縮小n倍，面積縮小n倍。二判斷8.當圓心角變大時，它所對的弧變大。（F）9.圓的周長是直徑的3.14倍。（F）10.扇形的弧長擴大2

13、倍，周長擴大2倍。（F）11.圓的面積比扇形的面積大。（F）三相關公式圓周長：C = d =2 r半圓周長：C= r+2r= r+d扇形周長：C=L+2r弧長：L= = 圓面積：S= = 半圓面積： 扇形面積： 圓環(huán)面積： 第五章 有理數1.有理數的分類 正整數 整數 零 注意點：整數看成分母為1的分數，所有有理數都是分數有理數 負整數 正分數分數 負分數. 1.原點 數軸三要素 2.正方向 注意點：數軸上可以表示任何一個有理數2 3.單位長度 相反數：如果兩個有理數a和b滿足a+b=0，那么a和b互為相反數，并且與原點的距離相等。 定義：一個數在數軸上所對應的點與原點的距離，因而絕對值是非負

14、數，即 |a|03.絕對值 a，a0 注意點：絕對值在理解上所發(fā)生的錯誤|3.14-|=3.14- 表示：|a|= 0，a=0 -a，a0，0負數，正數負數 4.有理數的大小比較 兩個正數中，絕對值大的數則大 兩個負數中，絕對值小的數則大第2節(jié) 有理數的運算 1.取原符號 1.同號兩數 2.絕對值相加1.有理數的加法法則 2.異號兩數 1.絕對值相等，和=0 2.絕對值不等 1.較大絕對值 較小絕對值的差 3.一數加零=原數 2.取絕對值較大的符號 1.交換律 a+b=b+a 轉化 加法運算律 2.結合律 (a+b)+c=a+(b+c) 減法法則：減去一個數=加上這個數的相反數 a-b=a+(

15、-b)同號為正，絕對值相乘 =注意，幾個不等于零的數相乘， 2.異號為負，絕對值相乘 積的符號由負因數的個數決定 積為負 負因數有奇數個 積為負 負因數有偶數個 3.與零相乘，得零 兩數乘法法則 2.有理數 轉化 除法法則：甲數除以乙數（零除外）=甲數乙數的倒數 1.交換律 ab=ba 乘法運算律 2.結合律 (ab)c=a(bc)3.分配律 a(b+c)=ab+ac 乘方：幾個相同因數積的運算 注意：底數a指數 ，且n為正整數 a讀作a的n次方 a的結果讀作a的n次冪 1=1 0=0 1.先乘方3.有理數的混合運算 2.后乘除 3.再加減 a.先小括號 注意：在有理數運算中經常要添括號或 如

16、果有括號 b.后中括號 去括號。括號前帶負號，去掉后括號內 c.再大括號 各項要變號 (a+b)=-a-b (a-b)=-a+b4.科學記數法：把一個數寫成a10（其中1|a|10，n是正整數），注意：a的范圍： 1|a|5x-31=12x+200 概念：用 , , 或 表示的關系式 性質 1.不等式兩邊同加減同一個數或同一個含有字母的式子，不等4.不等式及其性質 號方向不變 ab，則a+mb+m ab，則a+mb且m0，則ambm ab且mbm 不等式的解：能夠使不等式成立的未知數的值 1.去分母 2.去括號 重要依據：不等式的三條基本性質 3.移項5.一元一次不等式的解法 4.化成axb(

17、或axa 無解 bxa xa xa xa xb 4種形式 xb xb xb或axCD；若D在AB延長線上，則AB運用 結合律 3.只在一個單項式里的字母聯(lián)通指數寫 同底數冪乘法 注意：1.確定結果的符號 2.不要遺漏只在一個單項式中出現的字母 3.三個以上的單項式相乘也適用 4.結果仍為單項式 5.單項式乘多項式：用單項式乘多項式的每一項，再把所得積相加注意： 1.積是多項式 2.項數與原多項式的項數相同 3.不要漏乘項 平方差：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。7.乘法公式： (a+b)(a-b)=a-b注意：a，b可代表一個數，一個單項式或多項式完全平方公式:兩數和(差)的

18、平方，等于它們的平方和加上(減去)它們乘積兩倍 (ab)=a2ab+b，即：首平方，尾平方，二倍在中央8.分解因式：1.提取因式法：多項式各項有公因式時，應先提取公因式，即ax+ay+az=a(x+y+z) 2.運用公式法： 平方差 完全平方公式 3.十字相乘法：x+px+q=(x+a)(x+b)，p=a+b,q=ab 4.求根公式法：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，x1,x2是方程ax+bx+c=0的兩個根 5.分組分解法：當多項式有三項以上因式時，使用分組分解法，分組的原則是 使分組后的各組可用提取公因式或公式法進行分解9.分解因式的形式：把一個多項式化為幾個整式的積的形式 1

19、.對被分解因式的特征觀察不仔細，因而公式套用錯誤注意：2.分組分解法沒有仔細觀察被分解因式的特征分解錯誤3.在運用十字相乘法時，只追求形式上的分解10.整式的除法同底數冪的除法 把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母則聯(lián)通它的指數一起作為商的因式 單項式除以單項式 商式=系數同底的冪被除式里單獨有的冪多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。常見錯誤：1.單項式的乘法與整式的加法運算混淆整式的除法中除式的系數為分數時，把除法轉化為乘法時只注意轉化系數而忽視字母的運算。第十章 分式第一節(jié)兩個整式A、B相除，即AB時，可以表示為。如果B

20、中含有字母，那么叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如果一個分式的分母為零，那么這個分式無意義。分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變，即=，其中M、N為整式，且B0，M0，N0。把一個分式的分子與分母中相同的因式約去的過程，叫做約分。如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式。化簡分式時，如果分式的分子和分母都是單項式，約分時約去它們系數的最大公因數、相同因式的最低次冪。如果分子、分母是多項式，先分解因式，再約分?；喎质綍r要將分式化成最簡分式或整式。第二節(jié)分式的乘除法則與分數的乘除法則類似：兩個分式相乘，將分子相乘的積做分

21、子，分母相乘的積作分母。分式除以分式，將除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。用式子表示為：。分式的運算結果一般化簡成最簡分式或整式。同分母分式相加減，分母不變，分子相加減。異分母分式相加減，先將它們化為相同分母的分式，然后進行加減。將幾個異分母的分式分別化為與原來分式的值相等的同分母分式的過程叫做通分。通分先要確定公分母，如果各分母的系數是整數，通常取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母。這樣的公分母叫做最簡公分母。因為 路程=時間速度，所以 。以前學過的像一元一次方程、二元一次方程等這類分母中不含未知數的方程叫做整式方程。分母中含有未知數的方程叫做分式方程。解這個分

22、式方程的關鍵是去分母，將其轉化為已學過的整式方程在求解。一元方程的解也叫做方程的根。在分式方程變形時，有時可能產生不適合原分式方程的根，這種根叫做原分式方程的增根。分式方程化為整式方程的過程必須兩邊乘以一個適當的整式。由于這個整式可能為零，使本不相等的兩邊也相等了，這時就可能產生增根。所以解分式方程必須檢驗，而檢驗的方法只需看所得的解是否使所乘的式子為零。為了使同底數冪相除的性質在m、n是整數，且mn時仍成立，規(guī)定（其中a0，p是自讓數）。在a0時，中的指數n可以是正整數、零和負整數。這就是說，是整數指數冪。在數學中，對于整數指數冪，有（m、n為整數，a0）；（m為整數，a0，）；（m、n為整

23、數，a0）。也就是說，前面學過的正整數冪的運算性質對整數指數冪仍然成立。有了負整數指數冪，科學記數法不僅可以表示絕對值較大的數，也可以表示絕對值較小的數。本章知識的結構框架如下：第十一章 圖形的運動第1節(jié) 圖形的平移11.1平移將圖形上的所有的點都按照某個方向作相同距離的位置移動，叫做圖形的平移運動，簡稱平移圖形平移后，對應點之間的距離、對應線段的長度、對應角的大小相等。平移后各對應點之間的距離叫做圖形平移的距離第2節(jié) 圖形的旋轉11.2 旋轉 在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角 圖形的旋轉是圖形上的每一點

24、在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變。11.3 旋轉對稱圖形與中心對稱圖形 把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角） 如果把一個圖形繞著一個定點旋轉后，與初始圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。11.4 中心對稱 把一個圖形繞著一個定點旋轉后，和另一個圖形重合，那么叫做兩個圖形關于這點對稱，也叫做這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心

25、的對稱點。圖形的翻折11.5 翻折與軸對稱圖形 把一個圖形沿著某一條直線翻折過來，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。11.6 軸對稱 如果把一個圖形沿某一條直線翻折，能與另一個圖形重合，那么叫做這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應點叫做關于這條直線的對稱點。 兩個圖形關于一條直線成軸對稱，這兩個圖形對應線段的長度和對應角的大小相等，它們的形狀相同，大小不變。 圖形的運動圖形的平移圖形的旋轉圖形的翻折旋轉對稱圖形中心對稱軸對稱圖形軸對稱中心對稱圖形第十二章 實數實數的概念12.1 實數的概念1、無限不循環(huán)小數叫做（有理數）

26、。2、下面那些數是正無理數（ 如 、0、1010010001.），那些數是負無理數（如 、0、1010010001.）、0、1010010001，、0、1010010001. 正有理數有理數零有限小數或無限循環(huán)小數實數負有理數正無理數無理數 無限不循環(huán)小數負無理數3、3.1416不是嗎？怎么是有理數呢？答：3.1416是的一個近似值。3.1416是有限小數，所以是有理數 ，而是無限不循環(huán)小數。數的開方12.2平方根和開平方4、如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的（平方根）。求一個數a的平方根的運算叫做開平方，a叫做（被開方數）。5、零有平方根嗎？負數有平方根嗎？答：零有平方根，這個平方根

27、是零。負數沒有平方根，因為任何一個正數、負數或零的平方都不是負數。6、正數a的兩個平方根可以用“ EQ R(2,a) ”表示，其中 EQ R(2,a) 表示a的(正平方根)（又叫算術平方根），讀作“根號a”; EQ R(2,a) 表示a的負平方根，讀作”負根號a”。7、零的平方根記作 EQ R(,0) ， EQ R(,0) =（0）。8、一個正數的平方根的平方等于（這個數）。一個負數的平方根的平方等于（這個數相反數）。9、如果被開方數可以表示為某正數的平方，那么它的正平方根就是這個（正數）。12.3 立方根和開立方10、如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的（立方根），用“ EQ R(3,

28、a) ”表示，讀作“三次根號a”, EQ R(3,a) 中的a叫做被開方數，“3”叫（根指數）。求一個數a的立方根的運算叫做（開立方）。11、正數的立方根是一個（正數），負數的立方是一個（負數），零的立方等于（零），所以正數的立方根是一個（正數），負數的立方根是一個（負數），零的立方根是（零）。12、任意一個數都有立方根，而且只有（一個）立方根。12.4 n次方根13、如果一個數的n次方（n是大于1的整數）等于a，那么這個數叫做a的n次方根。當n為奇數時，這個數為a的（奇次方根）；當n為偶數時，這個數為a的（偶次方根）。14、求一個數a的n次方根的運算叫做開n次方，a叫做（被開方數），n叫做（

29、根指數）。15、實數a的奇次方根有且只有一個，用（“ EQ R(n,a) ”）表示。其中被開方數a是任意一個實數，根指數n是大于1的奇數。正數a的偶次方根有兩個，它們（互為相反數），正n次方根用（“ EQ R(n,a) ”）表示，負n次方根用（“ EQ R(n,a) ”）表示。其中被開方數a0，2跟指數n是正偶數（當n=2時，在 EQ R(n,a) 中省略n）。負數的偶次方根（不存在）。零的n次方根等于零，表示為（ EQ R(n,0) =0）.實數的運算12.5 用數軸上的點表示實數16、一個實數在數軸上所以對應的點到原點的距離叫做這個數的（絕對值）。實數a的絕對值記作|a|。絕對值相等、符號

30、相反的兩個數叫做（互為相反數）；零的相反數是零，非零實數a的相反數是（a）。17、負數（小于）零；零（小于）正數。兩個正數，絕對值大的數（較大）；兩個負數，絕對值的的數（較小）。從數軸上看，右邊的點所表示的數總比左邊的點所表示的數（大）。18、反過來看數軸上的每個點也都可以用唯一的一個（實數）來表示。19、在數軸上，如果點A、點B所對應的數分別為a、b，那么、兩點的距離（）。12.6 實數的運算、設可知（ EQ R(,) EQ R(,) ）（ EQ R(,) ）（ EQ R(,) ）根據平方的意義，得 EQ R(,) EQ R(,) EQ R(,) 同理 EQ R(,) EQ R(,) EQ

31、R(,) 、近似數與準確數的接近程度即近似程度，對近似程度的要求，叫做（精確度）。、指定保留幾個有效數字。對于一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，往右到末位數字為止的所有數字，叫做這個近似數的（有效數字）。分數指數冪12.7 分數指數冪、打不出來這一個書上第頁、整數指數冪和分數指數冪統(tǒng)稱有（有理數指數冪）。、設，、為有理數，那么（），（）（）（）（）（ （，） * MERGEFORMAT 錯誤！未定義書簽。 （，） * MERGEFORMAT 錯誤！未定義書簽。 * MERGEFORMAT 錯誤！未定義書簽。）第十三章 相交線 平行線相交線13.1 鄰補角、對頂角1、兩角有一條公共邊，它們

32、的另一條邊互為反向延長線。具有這種關系的兩個角叫做(互為鄰補角)。2、互為鄰補角與互為補角有什么區(qū)別于聯(lián)系？答：互為鄰補角包括兩角之間的位置關系與數量關系兩個方面的要求；而互為補角僅指兩角之間的數量關系。兩角有一個公共點，一個角的兩邊是另一個角兩邊的延長線，具有這種關系的兩個角叫做(互為對頂角)。對頂角相等。垂線如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線(互為垂直)，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做(垂足)。過一點(有且只有一條)直線與已知直線垂直。在平面內經過直線上或直線外一點作已知直線的垂線可以做(一條，并且只有一條)。過線段中點且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的(垂直

33、平分線)，簡稱(中垂線)。聯(lián)結直線外一點與直線上各點的所有線段中，(垂線段)最短。簡單地說(垂線段最短)。直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到(直線的距離)。同位角、內錯角、同旁內角兩角在截線L的同旁，又分別處在直線a、b相同一側的位置。具有這種關系的兩個角叫做(互為同為角)。兩角在截線L的兩旁，又分別處在直線a、b之間。具有這種關系的兩個角叫做(互為內錯角)。兩角在截線L的同旁，又分別處在直線a、b之間。具有這種關系的兩個角叫做(互為同旁內角)。平行線兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(平行)。簡單地說：(同位角相等，兩直線平行)。經過直線外的一點，(有且只

34、有一條)直線與已知直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線(平行)。簡單地說：(內錯角相等，兩直線平行)。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線(平行)。簡單地說：(同旁內角互補，兩直線平行)。兩條平行線被第三條直線所截，同位角(相等)。簡單地說：(兩直線平行，同位角相等)。兩條平行線被第三條直線所截，內錯角(相等)。簡單地說：(兩直線平行，內錯角相等)。兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角(互補)。簡單地說：(兩直線平行，同旁內角相補)。如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相(平行)。兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線

35、的距離都是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線的(距離)。第十四章 三角形14.1 三角形的有關概念1.三角形的任意兩邊之和大于第三邊。2.在一個三角形中，從一個頂點想它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足質檢的線段叫做三角形的高。聯(lián)結一個頂點及其對邊重點的線段叫做三角形的中線。三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。3.三個內角都是銳角的三角形叫做銳角三角形。 有一個內角是直角的三角形叫做直角三角形。 有一個內角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。三邊不相等的三角形叫做不等邊三角形。有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形4

36、. 三角形的內角和為1805. 三角形的外角：有三角形的一個內角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角。6. 三角形外角的性質：性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。7.對于三角形的每個內角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。8. 三角形的外角和等于360。9全等形：能夠重合的兩個圖形。 10. 全等三角形：兩個三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個全等三角形，經過運動后一定重合，相互重合的頂點叫做對應頂點；相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角。11. 全等三角形對應

37、邊相等；對應角相等。12.全等三角形的判定方法1：在兩個三角形中，如果有兩邊及它們的夾角對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為S.A.S）13.全等三角形的判定方法2：在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為A.S.A）14. 全等三角形的判定方法3：在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為A.A.S）15. 全等三角形的判定方法1：在兩個三角形中，如果有三邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為S.S.S）16. 等腰三角形的兩個底角相等（簡稱等邊對等角）。17. 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的

38、高互相重合（簡稱“等腰三角形的三線合一”）18.等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱抽是頂角的角平分線所在的直線。19. 等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么著兩個角所對應的邊也相等，這個三角形是等腰三角形（簡稱為“等角對等邊”）20. 等邊三角形：三個內角都相等的三角形是等邊三角形。21. 有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。第十五章 平面直角坐標系1.在平面內取一點O，過點O畫兩條互相垂直的數軸，且是它們以點O為公共原點，這樣，就在平面內建立了一個直角坐標系。通常所畫得兩條數軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這條數軸叫做橫軸（記做x軸），另一條是鉛直放置的，它的正方

39、向向上，這條數軸叫做縱軸（記做y軸）。建立了直角坐標系的平面叫做直角坐標平面。2.在平面直角坐標系xOy中，點P所對應的有序實數對（a，b）叫做P點的坐標，記做P（a，b），其中a叫做橫坐標，b叫做縱坐標。3經過點A（a，b）且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=a，經過點A（a，b）且垂直于y軸的直線可以表示為直線y=b，4.在平面直角坐標系內，平行于x軸的直線上的兩點A（x1，y）、B（x2，y）的距離AB=x1-x2，平行于y軸的直線上的兩點A（x，y1）、B（x，y2）的距離AB=y1-y25.一般地，如果點M（x，y）沿著與x軸或y軸平行的方向平移m（m0）個單位，那么：向右平移所對應

40、的點的坐標為(x+m,y)向左平移所對應的點的坐標為(x-m,y)向上平移所對應的點的坐標為(x,y+m)向下平移所對應的點的坐標為(x,y-m)對稱軸垂直平分軸對稱對應點的連線。6.一般地，在平面直角坐標系內， 與M（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；與M（x，y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x，y）；與M（x，y）關于原點的坐標為（-x，-y）。第十六章 二次根式第1節(jié) 二次根式的概念和性質16.1 二次根式1、代數式叫做二次根式。仍然讀作“根號a”，其中a為被開方數。2、有意義的條件是。3、二次根式的性質： 性質一：= 性質二： = = = 性質三： 性質四： 一般地，設，那

41、么 類似的，設，那么 4、把二次根式里被開方數所含的完全平方因式移到根號外，或者化去被開方數的分母的過程，稱為“化簡二次根式”5、通常把形如的式子也叫做二次根式6、如果二次根式中被開方數是分式（或分數），那么可以化去分母。方法是將分子和分母同乘以一個不等于零的代數式，使分母變成完全平方式，再將分母用它的正平方根代替后移到根號外面做新的分母16.2最簡二次根式和同類二次根式7、被開方數同時滿足以下兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式（1）被開方數中各因式的指數都為1（2）被開方數不含分母8、幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式第2節(jié) 二次根式的運算1

42、6.3 二次根式的運算9、二次根式相加減的一般過程是：先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并注意：不是同類二次根式的根式不能合并，保留在結果中10、二次根式相乘的法則：兩個二次根式相乘，被開方數相乘，根指數不變11、二次根式相除的法則：兩個二次根式相除，被開方數相除，根指數不變注意：如果二次根式相除的結果是根式，那么必須化成最簡根式12、把分母中的根號化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法，一般是把分子和分母同乘以同一個適當的代數式，使分母不含根號13、兩個含有二次根式的非零代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個含有二次根式的非零代數式互為有理化因式總結：

43、第十七章 一元二次方程第一節(jié)：一元二次方程的概念17.1一元二次方程的概念含有未知數的等式叫做方程。方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程。只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程。任何一個關于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0(a o)的形式，這種形式簡稱一元二次方程的一般式。其中ax2叫做二次項，a是二次項系數；bx叫做一次項，b是一次項系數；c叫做常數項。注意：在一元二次方程ax2+bx+c=0中，b,c可以是任意實數，但a應是一個不為零的實數。能夠使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。只含有一個未知數的方程，它的解又叫做方程

44、的跟。第二節(jié)：一元二次方程的解法17.2一元一次方程的解法1.特殊的一元二次方程的解法未知數為x的一元二次方程的兩個根通常用x1,x2表示。對于一元二次方程x2=d,如果d0,那么就可以用開平方法求它的根。當d0時，方程有兩個不相等的根：x1=，x2=- ；當d=0時，得x2=0,這時就說方程有兩個相等的根，記作：x1=x2=0.通過開平方，把解一元二次方程的問題轉化為解一元一次方程的問題，其數學思想是“劃歸”，基本策略是“降次”。注意：當AB=0時，必有A=0或B=0；當A=0或B=0時，必有AB=0.通過因式分解，把一元二次方程化成兩個一次因式的積等于零的形式，從而把解一元二次方程的問題轉

45、化為解一元一次方程的問題，像這樣解一元二次方程的方法叫做因式分解法。注意：當一個一元二次方程的一邊是零，而另一邊的二次式易于分解成兩個一次因式時，可用因式分解法來解這個一元二次方程。2.一般的一元二次方程的解法利用了兩數和（差）的平方公式，在方程左右兩邊同加上“一次項系數一半的平方”，像這樣通過添項（或拆項）配完全平方式的過程，簡稱“配方”。一般來說，在方程x2+px=0的兩邊同加上（p2）2,可化為的形式，這時方程左邊是關于x的完全平方式，右邊是一個常數，像這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。對于一般的一元二次方程，都可以用配方法來解。3.一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2+bx+c=

46、0(a 0),當b2-4ac0時，它有兩個實數根：，。這就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式。在求根公式中，如果b2-4ac=0,那么x1=x2=-,即方程有兩個相等的實數根。在解一元二次方程時，只要把方程化成一般式ax2+bx+c=0(a 0),如果b2-4ac0,把a,b,c帶入求根公式，就可以求得方程的實數根；如果b2-4ac0，那么原方程無實數根。這種解一元二次方程的方法稱為公式法。注意：用公式法解一元二次方程時，應根據方程的一般式確定a,b,c的值，這里特別要注意a,b,c的符號。注意：方程的左邊容易分解因式的選擇因式分解法；方程的右邊不是零的先將方程整理，不宜用因

47、式分解法的可以選用公式法。解一元二次方程時要注意方法的選擇，這樣可以使解題過程簡便。17.3一元二次方程根的判別式我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的判別式，通常用符號“ ”表示，記作 =b2-4ac.利用根的判別式，不必解方程，就可以判斷一個一元二次方程是否有實根，以及有實數根時兩根是否相等：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）,當=0 時，方程有兩個不相等的實數根；當=0 時，方程有兩個相等的實數根；當=0.當方程有兩個相等的實數根時，=0.當方程沒有實數根時，0時，正比例函數的圖象經過第一、三象限；自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸增大。 （2

48、）當k0時，函數圖象的兩支分別在第一、三象限；在每個象限內，當自變量x的值逐漸增大時，y的值隨著逐漸減小。當kR）； 點P在圓上（d=R）； 點P在圓內（dR）。3、在平面上，經過給定兩點的圓有（無數個），這些圓的圓心一定在（該兩點確定線段的垂直平分線上）。4、定理：平面內，不在同一直線上的三個點確定（一個圓）。5、經過一個三角形的個頂點的圓叫做這個（三角形的外接圓），外接圓的圓心叫做這個三角形的（外心）；這個三角形叫做這個圓的（內接三角形）。6、如果一個圓經過一個多邊形的個頂點，那么這個圓叫做（多邊形的外接圓），這個多邊形叫做這個圓的（內接多邊形）。7、圓弧：圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，

49、簡稱弧 弦：鏈接圓上任意兩點的線段叫做弦 圓心角：以圓心為頂點的角叫做圓心角 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧 劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧 弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距 等?。耗軌蛑睾系膬蓷l弧叫做等弧 等圓：半徑相等的兩個圓叫做等圓 注：（1）如果本章沒有特別說明時，本章的圓心角通常指大于0度且小于180度的角； （2）圓是以圓心為旋轉對稱中心的旋轉對稱圖形，旋轉角可為（大于0度小于360度的任何一個角）。8、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的?。ㄏ嗟龋?，所對的弦（相等），所對的弦的弦心距（相等）。9、推論：在同圓或等圓中，圓