押第12題 立體幾何 （新高考）（解析）

1、押第12題 立體幾何高考立體幾何承載著考查空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力的考查，是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)及核心重點內(nèi)容，也是高考命題創(chuàng)新的探索者.在每年的試題中，它在繼承中求穩(wěn)定，在創(chuàng)新中求發(fā)展. 為了準確地把握2021年高考立體幾何小題命題思想與趨勢，在最后的復(fù)習(xí)中做到有的放矢，提高復(fù)習(xí)效率，我們現(xiàn)一起分析研究2020-2017這4年的考題，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把握住高考命題的脈搏.方法總結(jié)1.找出需要我們做的事情，分析題干中的條件2.找準基礎(chǔ)概念3.對于夾角問題可以用向量法解決。1（2021新高考全國卷數(shù)學(xué)高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）ABCD【答案

2、】B【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.2（2021新高考全國卷數(shù)學(xué)高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A26%B34%C42%D50%【答案】C【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C

3、.3（2021新高考全國卷數(shù)學(xué)高考真題）正四棱臺的上下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）ABCD【答案】D【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.4（多選）（2021新高考全國卷數(shù)學(xué)高考真題）在正三棱柱中，點滿足，其中，則（）A當時，的周長為定值B當時，三棱錐的體積為定值C當時，有且僅有一個點，使得D當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）對于A，當時，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，故此時點

4、軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確對于C，當時，取，中點分別為，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，則，所以或故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，取，中點為，所以點軌跡為線段設(shè)，因為，所以，所以，此時與重合，故D正確故選：BD5（多選）（2021新高考全國卷數(shù)學(xué)高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點則滿足的是（）ABCD【答案】BC【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中

5、點為，連接，則，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.1（2022山東淄博一模）若圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的體積是（）ABCD【答案】B【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，解得.所以.則圓錐的體積.故選：B2（2022江蘇南通模擬預(yù)測）某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間

6、的部分叫做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓（如圖所示）若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為，則“切面”所在平面與底面所成的角為（）ABCD【答案】B【詳解】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為BAM，設(shè)圓的半徑為r， 則，故選：B3（多選）（2022福建漳州二模）已知正方體的邊長為2，為的中點，為側(cè)面上的動點，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）AB平面C動點的軌跡長為D與所成角的余弦值為【答案】BC【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為，則，所以，由平面，得，即，化簡可得，所以動點在直線上，A選項：，所以與不垂直，所以A選項錯誤；B選項：，平面，平面，所以平面，B選項正確；C

7、選項：動點在直線上，且為側(cè)面上的動點，則在線段上，所以，C選項正確；D選項：，D選項錯誤；故選：BC.4（多選）（2022湖北一模）我們把經(jīng)過同一頂點的三條棱兩兩垂直的三棱錐，稱作直角三棱錐.在直角三棱錐SABC中，側(cè)棱SASBSC兩兩垂直，設(shè)SA=a，SB=b，SC=c，點S在底面ABC的射影為點D，三條側(cè)棱SASBSC與底面所成的角分別為，下列結(jié)論正確的有（）AD為ABC的外心BABC為銳角三角形C若，則D【答案】BCD【詳解】連接并延長交于，連接，因為平面，平面，所以，因為SASBSC兩兩垂直，所以平面，因為平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，即，同理可證得，故D應(yīng)為的垂心，故選

8、項A不正確；由勾股定理可得，在中，由余弦定理得，所以為銳角，同理可得都為銳角，所以為銳角三角形，故選項B正確；設(shè)，則由題意得，若，則，因為都為銳角，所以，選項C正確；由選項A可知，平面，因為平面，所以，由等面積法可得，得，故.故選項D正確.故選：BCD5（多選）（2022廣東梅州二模）在長方體中，動點在體對角線上（含端點），則下列結(jié)論正確的有（）A當為中點時，為銳角B存在點，使得平面C的最小值D頂點到平面的最大距離為【答案】ABD【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則，則，故，則，對于A，當為中點時，則，則，所以，所以為銳角，故A正確；當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點

9、，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，所以，即的最小值為，故C錯誤；對于D，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.（限時：30分鐘）1“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為1，則經(jīng)過該多面體的各個頂點的球的體積為（）ABCD【答案】A【詳解】將該多面體放入正方體中, 如圖所

10、示.由于多面體的棱長為, 所以正方體的棱長為 因為該多面體是由棱長為的正方體連接各棱中點所得,所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點，其外接球直徑等于正方體的面對角線長，即所以所以該多面體外接球的體積 . 故選：A.2如圖，正四棱錐（底面為正方形，頂點在底面的射影為底面正方形的中心）P-ABCD中，點E為PB中點，若CE與PD所成的角余弦值為，則四棱錐P-ABCD的體積為（）ABCD【答案】A【詳解】解：如圖，連接AC，BD，設(shè)交點為O，連接PO，OE，則，所以或其補角即為CE與PD所成的角，設(shè)，則，由題意，平面，所以，又，所以平面，所以，即，所以，解得，所以，所以故選：A.3已知三棱

11、錐，其中平面，則該三棱錐外接球的表面積為（）ABCD【答案】C【詳解】根據(jù)題意設(shè)底面的外心為，O為球心，所以平面，因為平面，所以，設(shè)是中點，因為，所以，因為平面，平面，所以，因此，因此四邊形是平行四邊形，故，由余弦定理，得，由正弦定理，得，所以該外接球的半徑滿足，故選：C4莆田媽祖城有一鐘樓，其頂部可視為正四棱柱與正四棱錐的組合體，如圖，四個大鐘分布在正四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針成60角的次數(shù)是（）A2B4C6D8【答案】B【詳解】由題設(shè)，在0、6點時相鄰鐘面上的時針都平行，即夾角為0度；在3、9點時相鄰鐘面上的時針垂直，即夾角為90度，所以

12、相鄰鐘面上的時針，在、點之間各有一次成60角的情況，故共有4次成60角.故選：B5已知一個圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（）AB3CD【答案】C【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，則，又，所以，故故選：C6設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是ABCD【答案】C【詳解】解：由題意知底面外接圓的圓心為斜邊的中點，則外接圓的半徑，而，所以，所以，過的中點做垂直于底面的直線交中截面與點，則為外接球的球心，由題意得：，所以外接球的表面積，故選：7下圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓

13、臺的體積是（）ABCD【答案】B【詳解】如圖，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，母線長為，則，解得，設(shè)上底面面積為，下底面面積為，則體積為.故選：B.8（多選）如圖，正三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D為BC中點，則（）A直線平面B點到平面的距離為C異面直線與所成角的余弦值為D設(shè)P，Q分別在線段，上，且，則PQ的最小值為【答案】ABD【詳解】解：在正三棱柱中，為的中點，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因為，即，又平面，所以平面，故A正確；因為，所以，則點到平面的距離為，故B正確；因為，設(shè)直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦

14、值為，故C錯誤；設(shè)，則、，因為，所以，則，所以，所以當時有最小值，所以，所以，故D正確；故選：ABD9（多選）已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（）.A平面QBCB設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D二面角的正切值為【答案】BCD【詳解】同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，PQ為球O的直徑，取AB的中點M，連接PM、QM，則PMAB，CMAB，QMAB，PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)

15、底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=Rh，MN=h，CN=2h，QN=4h，PN=h，P、C、Q、M四點共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；由QN=4PN，可得，故B正確；平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.10（多選）已知正四面體的棱長為3，其外接球的球心為點滿足，過點作平面平行于和，設(shè)分別與該正四面體的棱，相交于點，則（）A四邊形的周長為定值B當時，四邊形為正方形C當時，截

16、球所得截面的周長為D四棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【詳解】平面，平面平面，平面平面則 ，則又平面，平面平面，平面平面則 ，則則四邊形為平行四邊形.由，可得，則，又正四面體的棱長為3，則， 選項A：四邊形的周長為.判斷正確；選項B：當時，則平行四邊形為菱形又正四面體中，對棱，則，則菱形為正方形. 判斷正確；分別取BD、BC、AC的中點M、N、Q，連接DN、CM、MQ ，設(shè)DN、CM交于K ，連接AK，則AK為正四面體的高正四面體的棱長為3，其外接球的球心為,則在AK上，連接CO，設(shè)球半徑為R，則，即，解之得由，可得同理有，則為異面直線之間的距離，則點到的距離為，球心到的距離為選項C：當時，

17、設(shè)與交于T，則，T到的距離為球心到平面的距離為則平面截球所得截面半徑為則平面截球所得截面的周長為.判斷錯誤；選項D：由，可得點A到平面的距離為，又平行四邊形為矩形，則四棱錐的體積令，則由得，由，得則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在時取最大值，即的最大值為故四棱錐的體積的最大值為.判斷正確.故選：ABD11（多選）如圖，設(shè)E，F(xiàn)別是正方體的棱CD 的兩個動點，點E在F的左邊，且，點P在線段上運動，則下列說法正確的是（）A平面B三棱錐的體積為定值C點到平面的距離為D直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】BC【詳解】易證平面，而平面，平面同一個平面，若平面，即平面，則可推出平面與平面平行或重合，由圖易

18、知這兩個平面顯然是相交的，矛盾，故A錯誤因為，而定值，也為定值，所以為定值，故B正確因為，所以平面又因為點P線段上運動，所以點P平面的距離等于點B到平面的距離，其中，設(shè)點 B平面 的距離為d，由，得：，解得：，即點P到平面的距離為，故C正確以D原點，分別以方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系Dxyz，則，（0t1），設(shè)直線與成的角為，則，當且僅當t1時，等號成立，故D錯誤故選：BC12（多選）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A圓柱的側(cè)面積為B圓錐的側(cè)面積為C圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D球的體積是圓錐體積的兩倍【答案】ACD【詳解】解

19、：對于A，圓柱的底面直徑和高都等于，圓柱的側(cè)面積故 A正確；對于B，圓錐的底面直徑和高等于，圓錐的側(cè)面積為，故B錯誤；對于C，圓柱的側(cè)面積為，球的表面積，即圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；對于D，球的體積為，圓錐的體積為，即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確故選：ACD13（多選）如圖所示，三棱錐中，為線段上的動點（不與重合），且，則（）ABC存在點，使得D三棱錐的體積有最大值【答案】ABD【詳解】三棱錐中，取PA中點E，連接DE，CE，如圖，因，則，而，平面，則有平面，又平面，所以，A正確；因，則，又，則，于是得，B正確；假設(shè)存在點，使得，由選項A知，又，平面，則平面，而平面，于是得

20、線段是平面的斜線段在平面上的射影，必有，與矛盾，所以假設(shè)是錯的，C不正確；令，則，令與平面所成角為，因此，點P到平面的距離，而，則三棱錐的體積，當且僅當，且時取“=”，所以當D是AB中點，且平面時三棱錐的體積取最大值，D正確.故選：ABD14（多選）在圓錐中，是母線上靠近點的三等分點，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則（）A當時，從點到點繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為B當時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為C當時，圓錐的外接球表面積為D當時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動【答案】ACD【詳解】圓錐的側(cè)面積為，則.對于A選項，當時，將圓錐的側(cè)面沿著母線展開如下圖所示：則圓錐的底面周長為，在中，