押第18題 數(shù)列（新高考）（解析）

1、押第18題 數(shù)列數(shù)列是高考每年必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),每年的高考試題中或者有1道解答題或者有2道客觀題，若有2道客觀題，其中有1道可能是難度較大的綜合題，數(shù)列綜合題考查熱點(diǎn)是分段函數(shù)、數(shù)列求和、數(shù)列的最值、數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯.2021高考全國(guó)卷沒(méi)有出現(xiàn)難度較大的數(shù)列綜合題，預(yù)測(cè)2022高考全國(guó)卷出現(xiàn)難度較大的數(shù)列綜合題的可能性比較大.1.數(shù)列與函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),通過(guò)函數(shù)的思想觀點(diǎn)去直觀地認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)是高考能力立意的指導(dǎo)思想.數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的作用在于刻畫(huà)an及Sn與n的函數(shù)關(guān)系,數(shù)列的性質(zhì)可以通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)反映出來(lái),這為數(shù)列問(wèn)題的解決提供了一個(gè)新的方向.在數(shù)列中,求an和Sn的最

2、值問(wèn)題都可以通過(guò)求相應(yīng)函數(shù)的最值的方法解決,通常利用函數(shù)的單調(diào)性,要注意自變量不連續(xù). 2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)3數(shù)列中項(xiàng)的最值數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解.在數(shù)列an中，若an最大，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1.)若an最小，則eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1.)4.已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法(1)當(dāng)出現(xiàn)anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；(2)當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；(3)當(dāng)出

3、現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；(4)當(dāng)出現(xiàn)eq f(an,an1)f(n)時(shí)，用累乘法求解5.解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題可用以下三種方法用作差比較法，根據(jù)an1an的符號(hào)判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列用作商比較法，根據(jù)eq f(an1,an)(an0或an0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷6.解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值7.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為aneq blcrc (avs4alco1(bn，n為奇數(shù)

4、，,cn，n為偶數(shù))的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論8.錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解9.裂項(xiàng)求和(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：eq f(1,r(n)r(nk)eq f(1,

5、k)(eq r(nk)eq r(n)，eq f(1,nnk)eq f(1,k)(eq f(1,n)eq f(1,nk)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)1（2021湖南高考真題）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）且，（2）2（2021全國(guó)高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2

6、)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.3（2022上海高考真題）已知數(shù)列，的前項(xiàng)和為.(1)若為等比數(shù)列，求；(2)若為等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意，均滿(mǎn)足，求的取值范圍.【解析】(1)解：，則，所以，等比數(shù)列的公比為，因此，.(2)解：由已知可得，則，即，可得.當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，則，所以，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，而，故.綜上所述，.4（2021浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得，得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（

7、2）由，得，所以，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，得；時(shí)，得；所以.5（2021北京高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)為數(shù)列： ，且；，（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由【詳解】(1)因 為 所以，因 為所 以所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)，由性質(zhì)，因此或，或，若，由性質(zhì)可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛?，所以?若，則，不滿(mǎn)足，舍去.當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1

8、，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)：若，則，利用性質(zhì)：，此時(shí)可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因?yàn)?，有即?dāng)時(shí)命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，因此，此時(shí)，滿(mǎn)足題意.1（2022河北石家莊一模）已知等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，公差，若分別從下表第一、二、三行中各取一個(gè)數(shù)，依次作為，且，中任何兩個(gè)數(shù)都不在同一列.第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行11129(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】(1)由題意可知，數(shù)列為遞增數(shù)列

9、，又公差，所以， ，則可求出，.(2)，.2（2022湖南湖南二模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)證明.【解析】(1)解：由，得，由累加法得，所以，又滿(mǎn)足，又因?yàn)?，所?(2)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，成立，所以.3（2021福建省德化第一中學(xué)三模）從條件，中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并給出解答，已知數(shù)列滿(mǎn)足(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列_的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【解析】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；(2)由上可得，選：因?yàn)椋?，則，；選：因?yàn)?，所以則，故；選：因?yàn)?，所以，則，故.4（2022江

10、蘇南通模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)的和注表示不超過(guò)x的最大整數(shù)【解析】(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，由得：，而，解得，于是得，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.(2)由（1）知，則有，依題意，令，則，兩式相減得：，所以，即5（2022江蘇海安高級(jí)中學(xué)二模）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求證：【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，兩式相除，得，整理為，再整理得，所以?shù)列為以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列(2)因?yàn)?，所以，由?）知，故，所以所以又因?yàn)?，所以（限時(shí)：30分鐘）1已知數(shù)列的

11、前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）由題意可知：，當(dāng)，.又因?yàn)闈M(mǎn)足，所以；（2），所以.2已知數(shù)列中，且滿(mǎn)足.（1）設(shè)，證明：是等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1），是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：，整理可得：，是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，得：，得：，.3數(shù)列中，是的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）由數(shù)列中，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，兩式相減，可得，即，當(dāng)時(shí)，解得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.又由是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以，可得令，則，兩式相減，可得，所以，又因?yàn)?，所?4已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前2021項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由，得.解得，所以.時(shí)，也符合上式，所以.（2），