第三章-振動(dòng)診斷的理論基礎(chǔ)(CUMT)ppt課件

1、第三章 振動(dòng)診斷的實(shí)際根底 3-1 機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)3-2 機(jī)械系統(tǒng)的建模根底3-3 單自在度系統(tǒng)的自在振動(dòng)3-4 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)1 振動(dòng)是指物體經(jīng)過它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)或系統(tǒng)的物理量在其平均值(或平衡值)附近的來回變動(dòng)。振動(dòng)是自然界最普遍的景象之一。大至宇宙，小至亞原子粒子，無不存在振動(dòng)。各種方式的物理景象，如聲、光、熱等都包含振動(dòng)。人們生活中也離不開振動(dòng)：心臟的搏動(dòng)、耳膜和聲帶的振動(dòng)，都是人體不可短少的功能；人的視覺靠光的刺激，而光本質(zhì)上也是一種電磁振動(dòng)；生活中不能沒有聲音和音樂，而聲音的產(chǎn)生、傳播和接納都離不開振動(dòng)。2 在工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動(dòng)景象也比比皆是。例如，橋梁和建筑

2、物在陣風(fēng)或地震鼓勵(lì)下的振動(dòng)，飛機(jī)和船舶在航行中的振動(dòng)，機(jī)床和刀具在加工時(shí)的振動(dòng)，各種動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng)，控制系統(tǒng)中的自激振動(dòng)等。3 在許多情況下，振動(dòng)被以為是消極要素。例如，振動(dòng)會(huì)影響精細(xì)儀器設(shè)備的功能，降低加工精度，加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，從而縮短機(jī)器和構(gòu)造物的運(yùn)用壽命。振動(dòng)還能夠引起構(gòu)造的大變形破壞，有的橋梁曾因振動(dòng)而坍塌；飛機(jī)機(jī)翼的顫振、機(jī)輪的抖振往往呵斥事故；車、船和機(jī)艙的振動(dòng)會(huì)劣化乘載條件；劇烈的振動(dòng)噪聲會(huì)構(gòu)成嚴(yán)重的公害。4 然而，振動(dòng)也有它積極的一面。振動(dòng)是通訊、廣播、電視、雷達(dá)等任務(wù)的根底。近幾十年以來，陸續(xù)出現(xiàn)許多利用振動(dòng)的消費(fèi)配備和工藝。例如，振動(dòng)傳輸、振動(dòng)挑選、振動(dòng)研磨、振動(dòng)拋光

3、、振動(dòng)沉樁、振動(dòng)消除內(nèi)應(yīng)力等。它們極大地改善了勞動(dòng)條件，成十倍、成百倍地提高了勞動(dòng)消費(fèi)率?？梢灶A(yù)期，隨著消費(fèi)實(shí)賤和科學(xué)研討的不斷進(jìn)展，振動(dòng)的利用還會(huì)與日俱增。5 研討振動(dòng)問題時(shí)，普通將研討對(duì)象(如一部機(jī)器、一種構(gòu)造)稱為系統(tǒng)。 機(jī)械振動(dòng)是指機(jī)械系統(tǒng)(即力學(xué)系統(tǒng))中的振動(dòng)。任何力學(xué)系統(tǒng)，只需它具有彈性和慣性，都能夠發(fā)生振動(dòng)。這種力學(xué)系統(tǒng)稱為振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)可分為兩大類，離散系統(tǒng)和延續(xù)系統(tǒng)。6把外界對(duì)系統(tǒng)的作用或機(jī)器本身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的力，稱為鼓勵(lì)或輸入；把機(jī)器或構(gòu)造在鼓勵(lì)作用下產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)行為，稱為呼應(yīng)或輸出。振動(dòng)分析(實(shí)際或?qū)嶒?yàn)分析)就是研討這三者間的相互關(guān)系。7工程中常見的振動(dòng)問題A 機(jī)械中的振動(dòng)

4、問題 B 構(gòu)造中的振動(dòng)問題C 機(jī)械加工過程中的振動(dòng)問題 8 振動(dòng)診斷，就是對(duì)正在運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)械設(shè)備或給非任務(wù)形狀的系統(tǒng)某種鼓勵(lì)，測(cè)其振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)由丈量呼應(yīng)得到的各種數(shù)據(jù)進(jìn)展分析處理，然后將結(jié)果與事先制定的某一規(guī)范進(jìn)展比較。進(jìn)而判別系統(tǒng)內(nèi)部構(gòu)造的破壞、裂紋、開焊、磨損、松脫及老化等各種影響系統(tǒng)正常運(yùn)行的缺點(diǎn)。依此采取相應(yīng)的對(duì)策來消除缺點(diǎn)，保證系統(tǒng)平安運(yùn)轉(zhuǎn)。 9第一節(jié) 機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、機(jī)械振動(dòng)及其分類機(jī)械振動(dòng)：由于受外界條件的影響，機(jī)械系統(tǒng)將會(huì)圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；是一種特殊的運(yùn)動(dòng)方式。10機(jī)械振動(dòng)分類：1按對(duì)系統(tǒng)的輸入不同分類(1)自在振動(dòng) 系統(tǒng)初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)生的振動(dòng)，即當(dāng)

5、系統(tǒng)的平衡被破壞后，沒有外力作用而只靠其彈性恢復(fù)力來維持的振動(dòng)； (2)強(qiáng)迫振動(dòng) 系統(tǒng)在外力作用下被迫產(chǎn)生的振動(dòng)；(3)自激振動(dòng) 由于系統(tǒng)具有非振蕩性能源和反響特性，并有能源補(bǔ)充，而產(chǎn)生的一種穩(wěn)定的周期性振動(dòng)。112按系統(tǒng)的輸出特性分類(1) 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 振動(dòng)量的時(shí)間歷程為單一正弦或余弦函數(shù)的振動(dòng)；(2) 非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng) 振動(dòng)量為時(shí)間的周期函數(shù)，而又不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)，即簡(jiǎn)諧振動(dòng)之外的周期振動(dòng)；(3) 瞬態(tài)振動(dòng) 振動(dòng)量為時(shí)間的非周期函數(shù)，且通常只在一定的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的振動(dòng)； 12(4) 準(zhǔn)周期振動(dòng) (5) 隨機(jī)振動(dòng) 振動(dòng)量不是時(shí)間確實(shí)定性函數(shù) 133按系統(tǒng)的自在度之?dāng)?shù)目分類 (1) 單自在度系統(tǒng)

6、的振動(dòng) (2) 多自在度系統(tǒng)的振動(dòng) (3) 彈性體振動(dòng) 144按描畫系統(tǒng)的微分方程分類 (2) 非線性振動(dòng) (1) 線性振動(dòng) 15二、機(jī)械振動(dòng)按其輸出的分類描畫1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)16 2、非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng) 非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，就是指除簡(jiǎn)諧振動(dòng)以外的周期振動(dòng)?？梢杂弥芷谛缘臅r(shí)間變量函數(shù)來描畫，即 非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，可按傅里葉級(jí)數(shù)展開而分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即 17183、準(zhǔn)周期振動(dòng) 所謂準(zhǔn)周期振動(dòng)，也是由一些不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的振動(dòng)。 19圖3-5 準(zhǔn)周期振動(dòng)時(shí)歷曲線及頻譜圖a時(shí)歷曲線 b頻譜圖 至少有一組fm /fn為無理數(shù)204、瞬態(tài)振動(dòng) 瞬態(tài)振動(dòng)屬于非周期振動(dòng)，是一種只在某一確定時(shí)間段內(nèi)才發(fā)生的振動(dòng)

7、，可以用各種脈沖函數(shù)或衰減函數(shù)描畫的振動(dòng)。 215、隨機(jī)振動(dòng) 隨機(jī)振動(dòng)是一種非確定性振動(dòng)，不能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描畫，由于這種景象每次察看都是不一樣的。 隨機(jī)振動(dòng)雖然具有不確定性，但卻具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，就是在一定條件下多次反復(fù)某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)或察看某種景象所得結(jié)果呈現(xiàn)出的規(guī)律性。 22第二節(jié) 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的建模根底 機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)量(位移、速度和加速度的幅值)、頻率(或周期)、相位和頻譜等，常稱為該系統(tǒng)振動(dòng)的根本參數(shù)。影響這些根本參數(shù)的要素主要是：(1)系統(tǒng)本身構(gòu)造的動(dòng)態(tài)特性質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度和阻尼；(2)系統(tǒng)的任務(wù)條件和外部鼓勵(lì)的情況。 23 經(jīng)過丈量(檢測(cè)或監(jiān)測(cè))計(jì)算或模擬實(shí)驗(yàn)

8、求得機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)的主要參數(shù)及本身構(gòu)造的動(dòng)態(tài)特性，是研討各種振動(dòng)問題的主要內(nèi)容。 分析、計(jì)算振動(dòng)特性的普通步驟應(yīng)是：將實(shí)踐機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)化為動(dòng)力學(xué)模型；計(jì)算或測(cè)定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)；根據(jù)力學(xué)模型查表，或者建立并解出系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，從而求得所需求的振動(dòng)特性及有關(guān)參數(shù)。 24一、建立力學(xué)模型的前期預(yù)備 1延續(xù)系統(tǒng)的離散化 詳細(xì)做法是：把彈性較小、質(zhì)量較大的構(gòu)件簡(jiǎn)化為不計(jì)彈性的集中質(zhì)量；把質(zhì)量較小、彈性較大的構(gòu)件簡(jiǎn)化為不計(jì)質(zhì)量的彈性元件；也可把構(gòu)件中阻尼特性較大的部分簡(jiǎn)化為不計(jì)質(zhì)量和彈性的阻尼元件。252非線性系統(tǒng)的線性化 質(zhì)量、彈性(剛度)、阻尼等嚴(yán)厲地說都與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形狀成復(fù)雜的關(guān)系。但在一定的條

9、件下，可將這些復(fù)雜的關(guān)系簡(jiǎn)化為線性關(guān)系，此即線性化過程。如，當(dāng)位移和速度較小時(shí)，就可以以為彈性力與位移的一次方成正比，阻尼力與速度的一次方成正比等。26 二 振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素及自在度 彈簧、質(zhì)量、阻尼、自在度1彈簧 系統(tǒng)線性化后，振動(dòng)體遭到的彈性力與其位移的一次方成正比，這就是說，假設(shè)某振動(dòng)體一端受一個(gè)作用力F，那么它的另一端必有一個(gè)大小與F相等，方向與之相反的力作用。力的大小與彈簧兩端點(diǎn)的相對(duì)位移成正比 272質(zhì)量 這是表示力和加速度關(guān)系的元件。在力學(xué)模型中，它被籠統(tǒng)為絕對(duì)不變形的剛體。 283阻尼工程實(shí)踐中的阻尼種類很多，在振動(dòng)、沖擊和噪聲領(lǐng)域涉及到的主要有：粘性阻尼(線性阻尼)、

10、干摩擦阻尼(庫侖阻尼)、構(gòu)造阻尼(資料內(nèi)阻，也稱滯延阻尼)。1粘性阻尼 粘性阻尼是一種最具代表性的理想阻尼方式，在系統(tǒng)線性化的假設(shè)前提下，粘性阻尼力與速度成正比，而方向與速度相反，即 29 2干摩擦阻尼 又稱庫侖阻尼，根據(jù)庫侖定律，兩枯燥物體接觸面間的摩擦力為30 3構(gòu)造阻尼 構(gòu)造阻尼是由于資料的內(nèi)摩擦而產(chǎn)生，故又稱內(nèi)摩擦阻尼，簡(jiǎn)稱內(nèi)阻。31 由資料力學(xué)的知識(shí)知道，當(dāng)我們對(duì)一種資料加載到超越其彈性極限，然后卸載，并繼續(xù)往反方向加載，再卸載。在這樣一個(gè)循環(huán)過程中，其應(yīng)力應(yīng)變曲線會(huì)構(gòu)成一個(gè)滯后回線，如圖39所示，滯后回線所包圍的面積表示了資料在一個(gè)循環(huán)過程中釋放的能量，這部分能量將以熱能的方式逸散

11、出去。32 構(gòu)造資料實(shí)踐上不是完全彈性體，在振動(dòng)過程中，也就是處在加載和卸載過程中，每個(gè)振動(dòng)周期引起一次滯后回線。大量實(shí)驗(yàn)闡明，每一循環(huán)由構(gòu)造阻尼所引起的能量損失在很大一個(gè)頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)，且其值為式中 b資料內(nèi)阻尼系數(shù)，又稱滯遲系數(shù)。 K與資料尺寸、外形和特性有關(guān)的修正系數(shù)； A 振動(dòng)振幅； n 振動(dòng)振幅的指數(shù)。33 (4)等效粘性阻尼 由于粘性阻尼力與速度成線性關(guān)系，而使其在處置振動(dòng)問題時(shí)比較方便，因此，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)中存在非粘性阻尼(如摩擦阻尼、構(gòu)造阻尼等)時(shí)，我們通常用一個(gè)等效粘性阻尼Ce來進(jìn)展近似計(jì)算。將非粘性阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻尼的等效原那么，是使得一個(gè)周期內(nèi)兩者所耗費(fèi)的能量相等。即使

12、 WeWr34設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為那么等效粘性阻尼力為 而等效粘性阻尼在一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期內(nèi)所作的功為由WeWr可得，等效粘性阻尼系數(shù)為35 干摩擦阻尼的等效粘性阻尼 干摩擦力F 普通可近似以為是一個(gè)常力。它在整個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)過程中大小不變，但方向一直與運(yùn)動(dòng)方向相反。即在每1/4個(gè)周期內(nèi)，摩擦力作功為FA，而在一個(gè)整周期內(nèi)作功總和為 We4FA將其代入式 ，即可求得干摩擦阻尼的等效阻尼系數(shù)為36 流體阻尼的等效粘性阻尼 當(dāng)物體以較高的速度在粘性較小的流體(包括空氣、液體)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的阻力與速度的平方成正比，即有可得流體阻尼在一個(gè)整周期內(nèi)所作的功為其等效粘性阻尼系數(shù)為37 構(gòu)造阻尼的等效粘性阻尼

13、 由式和式得構(gòu)造阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)為38 經(jīng)過這種等效化以后，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的阻尼項(xiàng)在各種阻尼情況下都為線性關(guān)系。394. 自在度 一個(gè)自在質(zhì)點(diǎn)在空間的位置可以用三個(gè)直角坐標(biāo)來確定，故空間一自在質(zhì)點(diǎn)的自在度數(shù)為3； 一個(gè)自在剛體在空間的位置可以用其上某點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)及繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角來確定，空間一自在剛體的自在度數(shù)為6； 一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)被離散化以后，其各集中質(zhì)量的位置可用某幾個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來確定，這幾個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。而決議該系統(tǒng)位置的獨(dú)立廣義坐標(biāo)的數(shù)目稱為自在度數(shù)。 對(duì)于離散化的集中參數(shù)系統(tǒng)，其自在度數(shù)目是有限的，這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形狀需用常微分方程來描述，常微分方程的數(shù)目應(yīng)

14、等于系統(tǒng)的自在度數(shù)。 40第三節(jié) 單自在度系統(tǒng)的自在振動(dòng) 自在振動(dòng)：就是指系統(tǒng)在初始干擾的作用后，僅靠彈性恢復(fù)力來維持的振動(dòng)方式。其中，系統(tǒng)中不存在阻尼的叫無阻尼自在振動(dòng)，而有阻尼的那么稱之為有阻尼的自在振動(dòng)。一單自在度系統(tǒng)的無阻尼自在振動(dòng) 1直線振動(dòng) 單自在度系統(tǒng)的無阻尼自在振動(dòng)的力學(xué)模型可用彈簧質(zhì)量系統(tǒng)來描畫。 41一單自在度系統(tǒng)的無阻尼自在振動(dòng) 1直線振動(dòng) 單自在度系統(tǒng)的無阻尼自在振動(dòng)的力學(xué)模型可用彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)來描畫。由靜平衡條件可得 取x軸向下為正，那么由牛頓第二定律可得 即 單自在度無阻尼自在直線振動(dòng)的微分方程式。 42令那么可得單自在度系統(tǒng)的無阻尼自在振動(dòng)微分方程的規(guī)范方式，即

15、此即單自在度系統(tǒng)在無阻尼情況下的自在呼應(yīng)的普通方式。 43設(shè)初始條件為： 時(shí)， 代入上式，可解得 44結(jié)論：?jiǎn)巫栽诙认到y(tǒng)的無阻尼自在振動(dòng)是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率只取決于系統(tǒng)本身的構(gòu)造特性，而與初始條件無關(guān)，稱為固有頻率，而振動(dòng)的振幅值和初相位與初始條件有關(guān)；(2) 常力只改動(dòng)系統(tǒng)的靜平衡位置，而不影響系統(tǒng)的固有頻率、振幅和初相位，即不影響系統(tǒng)的振動(dòng)。因此，在分析振動(dòng)問題時(shí)，只需以靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)就可以不思索常力，這一點(diǎn)對(duì)于建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有協(xié)助。 452改動(dòng)振動(dòng) 工程上還有一種需求用角位移作為廣義坐標(biāo)來表達(dá)的振動(dòng)方式，即改動(dòng)振動(dòng)，又稱角振動(dòng)。圖3-11所示圓盤直桿系統(tǒng)即為改動(dòng)振動(dòng)的

16、力學(xué)模型。 現(xiàn)取為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，那么?jīng)過受力分析，可以建立起系統(tǒng)的改動(dòng)振動(dòng)微分方程為 即 46令 那么有 設(shè)初始條件為： 時(shí)， 代入上式，可解得 473系統(tǒng)固有頻率的求解 固有頻率是自在振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)重要特征參量，求解系統(tǒng)固有頻率常用方法： (1) 能量法 當(dāng)系統(tǒng)只受保守力(如重力、彈性力等)作用而沒有阻尼時(shí)，那么系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中將沒有能量的損耗而堅(jiān)持機(jī)械能守恒，即有 即48對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以選取兩個(gè)特殊的瞬時(shí)位置，即可選當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正經(jīng)過靜平衡點(diǎn)時(shí)為第一瞬時(shí)位置，此時(shí)速度最大，即動(dòng)能最大，而把其勢(shì)能定義為零，即有 ；把質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最大位移時(shí)作為第二瞬時(shí)位置，此時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，而速度

17、為零，即動(dòng)能為零，此時(shí)有 。由此可得 49例： 圖3-12所示為丈量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件無定向擺的表示圖。無定向擺的擺輪上鉸接一搖桿，搖桿的另一端有一敏感質(zhì)量m。在搖桿離轉(zhuǎn)動(dòng)軸O間隔為a的某個(gè)位置，左右各結(jié)合一剛度為K的平衡彈簧，以堅(jiān)持?jǐn)[在垂直方向的穩(wěn)定位置。 設(shè)知整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 試求該系統(tǒng)的固有頻率。 50解：取搖桿偏離靜平衡位置的角位移為廣義坐標(biāo)，并設(shè) 那么 由此得 在搖桿擺過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能最大，為 51當(dāng)搖桿擺到最大角位移時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，為 由 ，得 52即 53 (2)靜變形法 在某些實(shí)踐問題中，當(dāng)不能直接給出其系統(tǒng)的彈性剛度K時(shí)，采用靜變形法來

18、計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率是比較方便的。由式5455例 設(shè)一不計(jì)自重的懸臂梁，在自在端有一集中質(zhì)量m，抗彎剛度未知，試求這個(gè)系統(tǒng)的固有頻率。 解 設(shè)測(cè)得懸臂梁在自在端質(zhì)量塊m處的靜位 移為st，那么可得該系統(tǒng)的固有頻率為56(3)瑞利法 假設(shè)系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，這種簡(jiǎn)化在許多實(shí)踐問題中能夠曾經(jīng)足夠準(zhǔn)確，但當(dāng)彈簧本身的質(zhì)量占有系統(tǒng)總質(zhì)量的相當(dāng)比重而不能忽略時(shí)，仍采用前面的方法來計(jì)算固有頻率，就會(huì)使計(jì)算值偏高。在這種彈簧本身質(zhì)量不可忽略的情況下，為了得出更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，就要采用瑞利法計(jì)算。它運(yùn)用能量原理，把一個(gè)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單自在度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響思索進(jìn)去，

19、得出更準(zhǔn)確的固有頻率值。57 運(yùn)用瑞利法時(shí)，必需先假定一個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)方式，并且固有頻率的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確程度取決于這個(gè)假定的振動(dòng)方式與系統(tǒng)的實(shí)踐振動(dòng)方式的接近程度。假定的振動(dòng)方式越準(zhǔn)確，那么計(jì)算結(jié)果就越準(zhǔn)確。實(shí)際證明，以靜變形作為假定的振動(dòng)方式，所得近似解與準(zhǔn)確解比較，普通來說誤差是很小的。58例 設(shè)有如下圖的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛度為K，靜長度為l，單位長度的質(zhì)量為，質(zhì)量塊m在光滑平面上作程度往復(fù)運(yùn)動(dòng)，求該系統(tǒng)的固有頻率。59 解 由于彈簧的質(zhì)量不可忽略，故可用瑞利法來求解。為此，假定彈簧各截面在振動(dòng)過程中，任一瞬時(shí)的位移和一根等直桿在一端固定另一端受軸向靜載荷作用下各截面的位移一樣。根據(jù)資料力

20、學(xué)，這時(shí)各截面的軸向位移與它離固定端的間隔成正比，設(shè)彈簧在結(jié)合質(zhì)量塊的一端位移為x，那么距固定端處的位移為x/l。60 設(shè)彈簧在結(jié)合質(zhì)量塊的一端位移為x，那么距固定端處的位移為x/l，因此，當(dāng)質(zhì)量m在某一瞬時(shí)的速度為 時(shí)，彈簧在處的微段d的相應(yīng)速度為 ，那么該微段d的動(dòng)能為 ，所以，整個(gè)彈簧的動(dòng)能為：61 于是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧質(zhì)量的動(dòng)能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能最大，為系統(tǒng)的勢(shì)能仍和忽略彈簧質(zhì)量時(shí)的一樣，最大勢(shì)能為由TmaxVmax，得對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，有代入上式，得62 思索彈簧質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為63 作業(yè)： 一無質(zhì)量的剛性桿鉸接于O，試確定系統(tǒng)振動(dòng)的固

21、有頻率。64二、單自在度系統(tǒng)的有阻尼自在振動(dòng) 工程實(shí)踐中的阻尼有各種來源，但在線性化的假設(shè)條件下，都可以為阻尼力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比，即為線性阻尼。這樣，有阻尼的單自在度振動(dòng)系統(tǒng)便可用以下的力學(xué)模型來進(jìn)展描畫，即彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)。65與無阻尼自在振動(dòng)一樣，仍取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣義坐標(biāo)方向，并取向下為正，廣義坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置，那么由牛頓第二定律可得 66將 代入，并整理可得此即為單自在度系統(tǒng)有阻尼自在振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 令 可將上式化為如下的規(guī)范方式 由微分方程解的實(shí)際，可設(shè)其解為 67代入上式得其特征方程為 其特征根為 當(dāng) 時(shí)，得原方程()的通解為 當(dāng) ，即特征方程有重

22、根時(shí)，原方程式()的通解為68 引入一個(gè)無量綱量 ，稱為相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼比，即當(dāng) ，即 ，根式 為實(shí)數(shù)，稱為強(qiáng)阻尼形狀；當(dāng) ，即 ，根式 為虛數(shù)，稱為弱阻尼形狀；當(dāng) ，即 ，根式 為零數(shù)，稱為臨界阻尼形狀；691、弱阻尼形狀(1)弱阻尼形狀下的振動(dòng)呼應(yīng) 此時(shí) 或 ，利用歐拉(Euler)公式可將式3-41改寫為 式中 A，待定常數(shù)，由初始條件決議。 70設(shè)初始條件為： 時(shí)， 代入上式，可得 由此可以解得 71由式(3-44)可知，系統(tǒng)的振動(dòng)已不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是振幅按 規(guī)律衰減振動(dòng)，當(dāng)t時(shí)，x0，振動(dòng)最終將消逝，n衰減系數(shù)，n越大，表示阻尼越大，振幅衰減得越快。圖3-17是這種衰減振動(dòng)

23、的呼應(yīng)曲線。72A=1 n=1 n=4 =073A=1 n=0.1 n=4 =074(2)振動(dòng)特性討論 阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)名義周期略為增大。衰減振動(dòng)的圓頻率為 衰減振動(dòng)的周期為 75 阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。相鄰兩個(gè)振幅之比為 式中減幅系數(shù)。 工程上，為運(yùn)用方便起見，常用對(duì)數(shù)減幅系數(shù)替代減幅系數(shù)，即762、強(qiáng)阻尼形狀當(dāng) ，即 ，根式 為實(shí)根，原微分方程的通解為 其中的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)均為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不再具有振動(dòng)特性，其位移按指數(shù)規(guī)律衰減。當(dāng)|C1|C2| ，C10，C20時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)歷曲線如圖3-18所示，即強(qiáng)阻尼可以抑制振動(dòng)的發(fā)生。 77 圖3-18 強(qiáng)阻尼形狀下的呼應(yīng)曲線 78C1

24、=5 C2=3 n=5 n=4 793、臨界阻尼形狀在t =0時(shí) 此時(shí) ，即 ，特征方程有兩重根 ；原微分方程的通解為系統(tǒng)也不具有振動(dòng)特性。 的初始條件下，系統(tǒng)的呼應(yīng)為80圖3-19 臨界阻尼形狀系統(tǒng)的呼應(yīng)曲線 81臨界阻尼的條件82第四節(jié) 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 在工程實(shí)踐中，還廣泛地存在著一種系統(tǒng)在繼續(xù)外界激振作用下的振動(dòng)，即強(qiáng)迫振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)由于有外界激振作用不斷向系統(tǒng)補(bǔ)充能量，所以，振動(dòng)可無限繼續(xù)下去而不會(huì)消逝。一、系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力是一種最簡(jiǎn)單外部激振方式，也是分析復(fù)雜的激振作用下系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的根底。1計(jì)算力學(xué)模型及其運(yùn)動(dòng)微分方程 83簡(jiǎn)諧激振力作用下的單自

25、在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)力學(xué)模型可用圖3-20來描畫。 由于 所以 令 84其解即為單自在度系統(tǒng)在外界簡(jiǎn)諧激振作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。由微分方程解的實(shí)際可知，其通解為 其中， 為微分方程左邊對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解，即單自在度系統(tǒng)的自在振動(dòng)呼應(yīng)。由上節(jié)的分析可知，在弱阻尼情況下為8586由于微分方程的非齊次項(xiàng)是一個(gè)正弦函數(shù)，可知其特解 為一同頻率的正弦函數(shù)，可設(shè)為整理可得 由于在恣意時(shí)辰，上式都應(yīng)成立，故有 87所以 88引進(jìn)符號(hào) 稱為靜變位； 稱為頻率比； 稱為阻尼比相對(duì)阻尼系數(shù) 89代入90 912、振動(dòng)特性的討論 (1)振動(dòng)頻率 系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)是與激振力同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(2)振幅和相位 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅B和相位差都只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的特性，而與初始條件無關(guān)，初始條件只影響瞬態(tài)振動(dòng)；(3)影響強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅的要素 激振力幅值的影響 當(dāng)其他條件不變時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與激振力的幅值成正比，即 92 頻率比的影響 頻率比對(duì)振幅的影響關(guān)系復(fù)雜，可用振幅頻率特性曲線(簡(jiǎn)稱幅頻特性曲線)來描畫，為此，引入一個(gè)新的變量 稱為振幅放大因子