函數(shù)的單調(diào)性課件-2020新人教B版

1、yaya適用教材：適用年級:授課人： 函 數(shù) 單 調(diào) 性的定義與證明回顧舊知定義域：值 域：表示方法：函 數(shù)： 一般地給定兩個非空集合A與B，以及對應(yīng)關(guān)系f,如果對于集合A中的每一個實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對應(yīng),則稱f為定義在A上的一個函數(shù)，記作y=f(x),xA，其中x稱為自變量,y稱為因變量自變量x的取值范圍,即數(shù)集A稱為這個函數(shù)的定義域因變量y的取值范圍,即數(shù)集B稱為這個函數(shù)的值域列表法;圖像法;解析式法 1 2 3 4 5 6 7 8 9100%80%60%40%20%記憶保持量時間間隔/h艾賓浩斯記憶曲線情景與問題y=f(x)xy正比例函數(shù)與反比例函數(shù)x-2-101

2、2y-4-1014x-3-2-1123y-1/3-1/2-111/21/3y-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 4321-1-2-3-44321-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y函數(shù)單調(diào)性的定義O x1 x2O x1 x2f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)圖1圖2一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且ID:(1)如果對任意x1,x2I,當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增);如圖1所示。(2)如果對任意x1,x2I,當(dāng)x1f(x2),則稱y=f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減);如圖2所示。

3、以上兩種情形，我們都稱函數(shù)在I上具有單調(diào)性（當(dāng)I為區(qū)間時，稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可以區(qū)分開來，情形1稱I為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，情形2稱I為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間）。對照增函數(shù)，大家能否自己試著寫出減函數(shù)的定義呢？xxyy辨析1：若定義在-2,3上的函數(shù)f(x)滿足f(-2)f(3),則函數(shù)在-2,3上一定是增函數(shù)嗎？x-2-10123y-4-20-1-2-34321-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y定義辨析1辨析2：既然函數(shù)上的一、兩個點(diǎn)滿足大小關(guān)系不行，那么無窮多個點(diǎn)呢？如果函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上,存在無窮多個x1和x2滿足當(dāng)x1x2時,都有f(

4、x1)f(x2),那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)嗎?4321-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 x yx-2-1012y41014定義辨析2辨析3：辨析2中的二次函數(shù)在區(qū)間(-2,0上單調(diào)遞減，在區(qū)間2,+)上單調(diào)遞增，一個遞減一個遞增，所以它并不具有整個定義域上的單調(diào)性。那么，把一個函數(shù)的定義域分成兩個或兩個以上子區(qū)間，在每一個子區(qū)間上，函數(shù)都是單調(diào)遞減的，那么該函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)遞減的嗎？x-3-2-1123y-1/3-1/2111/21/3定義辨析3y-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 4321-1-2-3-4如圖函數(shù)y=f(x),在-6,-4上呈上升趨勢

5、，該函數(shù)的函數(shù)值y隨著自變量x的增大而 ，是 ；在-4,-2區(qū)間上呈下降趨勢函數(shù)值y隨著x的增大而 ，是 ；同理，在-2,1上是 ，在1,3上是 ，在3,6上是 。-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x y增大增函數(shù)減小增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)嘗試與發(fā)現(xiàn)優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)函數(shù)的圖像的上升或下降的趨勢，我們能很方便地看出函數(shù)的單調(diào)性，因此畫出函數(shù)的圖像是一種直觀且有效的方法。缺點(diǎn)：通常情況下得到函數(shù)的圖像并不容易，而且手工作出的圖像往往不精確，不能準(zhǔn)確的判斷函數(shù)的單調(diào)性。例如：在上圖中，我們把函數(shù)的圖像沿x軸向左移動0.1個單位長度，你能用肉眼能看出這兩個函數(shù)圖像的之間的區(qū)別

6、嗎？這顯然是很困難的。問題：那么，我們通過什么樣的方法能準(zhǔn)確的判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？函數(shù)單調(diào)性的定義通過圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性例1：求證：函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù)。定 義本 題函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，有ID，本題，函數(shù)f(x)= - 2x的定義域?yàn)镽,也就是定義中的I.對任意的x1,x2I，x1x2，任取x1,x2R且x1x2，與定義中的大小關(guān)系對應(yīng)，此時有x1-x2f(x2),稱y=f(x)在I上是減函數(shù)。判斷f(x1)和f(x2)的大小關(guān)系,f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)0，從而f(x1)f(x2),根據(jù)定義給出最終判斷：函數(shù)f(x)=-2

7、x在R上是減函數(shù).證明：任取x1,x2R且x1x2，則x1-x20從而f(x1)f(x2)因此，函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù)。通過定義證明函數(shù)的單調(diào)性通過定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟1任取x1,x2I，并假定它們之間的大小關(guān)系（x1x2）第一步3下結(jié)論，即指出函數(shù)f(x)在集合I上的單調(diào)性第三步通過計(jì)算判斷f(x1)和f(x2)之間的大小關(guān)系第二步2函數(shù)最值和最值點(diǎn)的定義如果對于任意xD,都有 ,則稱f(x)的 為f(x0),而x0稱為f(x)的 。一般地,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,且x0D:如果對于任意xD,都有 ,則稱f(x)的 為f(x0),而x0稱為f(x)的 。f(x)f(x0

8、)最大值最大值點(diǎn)f(x)f(x0)最小值最小值點(diǎn)相應(yīng)的，你能自己寫出函數(shù)的最小值和最小值點(diǎn)的定義嗎？函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值；函數(shù)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的最值點(diǎn)。最值點(diǎn)定義注意事項(xiàng)最值點(diǎn)的定義有哪些地方跟我們的直覺不一樣呢？叫點(diǎn)不是點(diǎn)！雖然最值點(diǎn)的名字中有點(diǎn)，但它并不是一個點(diǎn)也不是一個點(diǎn)的坐標(biāo)；而是當(dāng)函數(shù)值取得時大值或最小值時與函數(shù)值對應(yīng)的橫坐標(biāo)的值。函數(shù)最值和最值點(diǎn)例題例2：函數(shù)f(x)=x2-2x,請回答下面的問題。求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的單調(diào)性，及在該區(qū)間上的最大值、最小值、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)。求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上的單調(diào)性，及在該區(qū)間上的最大值、最小值、

9、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)。求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上的單調(diào)性，及在該區(qū)間上的最大值、最小值、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)。解：任取x1,x20,1,且x1x2x1,x20,1,且x1x2x1+x22,x1-x20即f(x1)f(x2)所以f(x)在區(qū)間0,1上是減函數(shù)因此,當(dāng)0 x1時,有f(0)f(x)f(1)而f(0)=0,f(1)=-1從而，在區(qū)間0,1上f(x)的最大值為0,最小值為-1最大值點(diǎn)為0，最小值點(diǎn)為1任取x1,x21,3,且x1x2x1,x21,3,且x12,x1-x20(x1+x2-2)(x1-x2)0即f(x1)f(x2)所以f(x)在區(qū)間1,3上是增函數(shù)因此,當(dāng)1x3時,有f(1)f(x)f(3)而f(1)=-1,f(1)=3從而，在區(qū)間1,3上f(x)的最大值為3,最小值為-1最大值點(diǎn)為3，最小值點(diǎn)為1由、知，在區(qū)間0,3上函數(shù)f(x)沒有單調(diào)性最大值為3，最小值-1最大值點(diǎn)為3，最小值點(diǎn)為1有些函數(shù)的函數(shù)值具有隨著自變量