第4講與函數(shù)的零點相關(guān)的問題

1、第4講與函數(shù)的零點相關(guān)的問題考向分析核心整合熱點精講閱卷評析考向分析考情縱覽年份考點20112012201320142015函數(shù)零點及個數(shù)問題12確定函數(shù)零點所在的區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)1121(2)真題導(dǎo)航A1.(2015安徽卷,理2)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是( )(A)y=cos x(B)y=sin x(C)y=ln x(D)y=x2+1解析:y=cos x是偶函數(shù),且存在零點;y=sin x是奇函數(shù);y=ln x既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);y=x2+1是偶函數(shù),但不存在零點.故選A.D 3.(2014新課標(biāo)全國卷,理11)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若

2、f(x)存在唯一的零點x0,且x00,則a的取值范圍是( )(A)(2,+)(B)(1,+)(C)(-,-2)(D)(-,-1)C答案: (-,0)(1,+)6.(2015廣東卷,理19)設(shè)a1,函數(shù)f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)在(-,+)上僅有一個零點;(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為R.因為f(x)=2xex+(1+x2)ex=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex0,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+),無單調(diào)遞減區(qū)間.(2)證明:因為a1,所以f(0)=1-a0,所以f(0)f(ln a)0,由零點存

3、在性定理可知f(x)在(0,ln a)內(nèi)存在零點.又由(1)知f(x)在R上單調(diào)遞增,故f(x)在(-,+)上僅有一個零點.備考指要1.怎么考對函數(shù)零點的考查主要集中在以下兩個方面:一是結(jié)合函數(shù)零點的存在性定理或函數(shù)圖象,對函數(shù)是否存在零點或存在零點的個數(shù)進(jìn)行判斷,及判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間;二是利用零點(方程實根)的存在求相關(guān)參數(shù)的值或取值范圍.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn),有時呈現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題里面,難度中等偏上.2.怎么辦復(fù)習(xí)備考時應(yīng)理解函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸有交點的等價性;掌握函數(shù)零點存在性定理;注重培養(yǎng)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想及等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用意識.核心整合函

4、數(shù)的零點函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系 . .函數(shù)零點的存在定理圖象在a,b上連續(xù)不斷,若f(a)f(b)0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點函數(shù)存在零點的判斷方法解方程f(x)=0利用零點存在性定理數(shù)形結(jié)合方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點溫馨提示 (1)函數(shù)零點不是一個“點”,而是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).(2)當(dāng)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點時,不一定有f(a)f(b)0.熱點精講熱點一函數(shù)零點的個數(shù)問題方法技巧 (1)判斷函數(shù)y=f(x)零點個數(shù)的常

5、用方法:直接法.令f(x)=0,則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù).零點存在性定理法.判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù).數(shù)形結(jié)合法.轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.(畫出兩個函數(shù)的圖象,其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù))(2)由函數(shù)的零點或方程的根的存在情況求參數(shù)的取值范圍常用的方法:直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離得a=f(x),再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f(x)值域問題加以解決.數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,再在同一平面直角坐標(biāo)系

6、中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.答案: (1)B (2)(2015山東棗莊三模)函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.熱點二確定函數(shù)零點所在的區(qū)間方法技巧 確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)f(b)0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.提醒:在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點,在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性.(2

7、)因為ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,故選A.熱點三利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的方程根(函數(shù)零點)問題【例3】 (2015河南省六市3月第一次聯(lián)合調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-aln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求滿足條件的最小正整數(shù)a的值.方法技巧 (1)利用導(dǎo)數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式方程根的個數(shù)問題的一般思路:將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的個數(shù)問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題;利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì);畫出函數(shù)的大致圖象;結(jié)合圖象求解.(2

8、)證明復(fù)雜方程在某區(qū)間上有且僅有一解的步驟:在該區(qū)間上構(gòu)造與方程相應(yīng)的函數(shù);利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性;判斷該函數(shù)在該區(qū)間端點處的函數(shù)值異號;作出結(jié)論.解: (1)函數(shù)的定義域為R,f(x)=ex+a,由函數(shù)f(x)在x=0處取得極值,則f(0)=1+a=0,解得a=-1,即有f(x)=ex-x+1,f(x)=ex-1,當(dāng)x0時,有f(x)0時,有f(x)0,f(x)遞增.則x=0處f(x)取得極小值,也為最小值,且為2,又f(-2)=e-2+3,f(1)=e,f(-2)f(1),即有最大值為e-2+3;(2)若函數(shù)f(x)不存在零點,求實數(shù)a的取值范圍.備選例題【例1】 (2015

9、天津河西區(qū)二模)函數(shù)f(x)=x2-4x-2ln x+5的零點個數(shù)為()(A)3(B)2(C)1(D)0解析:函數(shù)f(x)=x2-4x-2ln x+5的零點個數(shù)即函數(shù)y=x2-4x+5與函數(shù)y=2ln x的交點的個數(shù),作函數(shù)y=x2-4x+5與函數(shù)y=2ln x的圖象如下,結(jié)合圖象可得,函數(shù)f(x)=x2-4x-2ln x+5的零點個數(shù)為2.故選B.【例2】 (2015泉州3月質(zhì)檢)曲線y=ex與直線y=5-x交點的縱坐標(biāo)在區(qū)間(m,m+1)(mZ)內(nèi),則實數(shù)m的值為()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:列出下列自變量與函數(shù)值的數(shù)表:yy=exy=5-x1x=0 x=42x=ln 2x=33x=ln 3x=24x=ln 4x=1考查數(shù)表中x值的大小變化對應(yīng)的y值的范圍,得曲線y=ex與直線y=5-x交點的縱坐標(biāo)y(3,4),則m=3,故選C.【例3】 (2014四川卷)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值;(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點,求a的取值范圍.閱卷評析(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x