廣西南寧市2015屆高三第二次適應(yīng)性測試考試數(shù)學(xué)(理)試題

1、2015年南寧市高中畢業(yè)班第二次適應(yīng)性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)一選擇題：本大題共12小題，每小題5分共60分。是否開始a1a4a1a500輸出a結(jié)束1已知全集為R，集合Ax|x25x60，Bx|x eq f(1,2)或x8，則A(RB)等于(A)6，8)(B)3，8(C)3，8)(D)1，82設(shè)i是虛數(shù)單位， eq o(,z)是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若(1i) eq o(,z)2，則z為(A)1i(B)1i(C)2i(C)2i3(x eq f(2,x)5的展開式中，x的系數(shù)為(A)40(B)40(C)80(D)804如圖所示的程序框圖，其輸出結(jié)果是(A)341(B)1364(C)1365(D)13665已知雙

2、曲線 eq f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線與直線4x3y10垂直，則雙曲線的兩條漸近線方程為(A)y eq f(3,4)x(B)y eq f(4,3)x(C)y eq f(3,5)x(D)y eq f(5,4)x6已知實數(shù)x，y滿足 eq blc(avs0al(y10,2xy10,xym0) ，若xy的最小值為2，則實數(shù)m的值為(A)0(B)2(C)4(D)87設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，若c2(ab)26，C eq f(,3)，則ABC的面積是(A)3(B) eq f(9 eq r(,3),2)(C) eq f(3 eq r(,3)

3、,2)(D)3 eq r(,3)8設(shè)拋物線C:yx2與直線l：y1圍成的封閉圖形記為P，則圖形P的面積S等于(A)1(B) eq f(1,3)(C) eq f(2,3)(D) eq f(4,3)9函數(shù)f(x) eq f(1,2)(1cos2x)sin2x，xR是(A)最小正周期為的奇函數(shù)(B)最小正周期為 eq f(,2)的奇函數(shù)(C)最小正周期為的偶函數(shù)(D)最小正周期為 eq f(,2)的偶函數(shù)10某高校要從6名短跑運動員中選出4人參加全省大學(xué)生運動會4100m接力賽，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則甲跑第二棒的概率為(A) eq f(4,15)(B) eq f(2,15)(C) e

4、q f(4,21)(D) eq f(1,5)11已知右圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為(A)24(B)6(C)4(D)212設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，且sin2Asin2Bsin2C eq f(1,2)，面積S1，2，則下列不等式一定成立的是(A)(ab)16 eq r(,2)(B)bc(bc)8(C)6abc12(D)12abc24二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上）13已知向量 eq o (sup5(),a)、 eq o (sup6(),b)滿足| eq o (sup5(),a)| eq o (s

5、up6(),b)|2且( eq o (sup5(),a)2 eq o (sup6(),b)( eq o (sup5(),a) eq o (sup6(),b)2，則向量 eq o (sup5(),a)與 eq o (sup6(),b)的夾角為_14已知函數(shù)f(x) eq blc(avs0al(2， x0,x2bxc，x0) ，若f(0)2，f(1)1，則函數(shù)g(x)f(x)x的零點個數(shù)為_15設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1、S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積等且 eq f(V1,V2) eq f(3,2)，則 eq f(S1,S2)的值是_16設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A(2，0)，B(

6、0，1)是它的兩個頂點，直線ykx(k0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點，若 eq o (sup3(),ED)6 eq o (sup3(),DF)，則所k的值為_三解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說明、證明過程及演算步驟。17（本小題滿分12分）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，且2a1，a3，3a2成等比數(shù)列。求等比數(shù)列an的通項公式；若數(shù)列bn滿足bn(n2)log2an，求數(shù)列 eq bbc( eq f(1,bn)的前n項和Tn.18（本小題滿分12分）為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布

7、直方圖，如圖所示，已知次數(shù)在100，110）間的頻數(shù)為7，次數(shù)在110以下（不含110）視為不達(dá)標(biāo)，次數(shù)在110，130）視為達(dá)標(biāo)，次數(shù)在130以上視為優(yōu)秀。求此次抽樣的樣本總數(shù)為多少人？在樣本中，隨機抽取一人調(diào)查，則抽中不達(dá)標(biāo)學(xué)生、達(dá)標(biāo)學(xué)生、優(yōu)秀學(xué)生的概率分別是多少？將抽樣的樣本頻率視為總體概率，若優(yōu)秀成績記為15分，達(dá)標(biāo)成績記為10分，不達(dá)標(biāo)記為5分，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中隨機抽取2人，他們分值和記為X，求X的分布列和期望。(19)（本小題滿分12分）如圖所示多面體中，AD平面PDC，ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，F(xiàn)為線段BP上一點，CDP120，AD3，AP5，PC2 eq r(,

8、7)試確定點F的位置，使得EF平面PDC;若BF eq f(1,3)BP，求直線AF與平面PBC所成的角的正弦值.(20)（本小題滿分12分）已知拋物線C:y2x2，直線l:ykx2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N，證明:拋物線C在點N處的切線與AB平行;是否存在實數(shù)k使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點N，若存在，求k的值;若不存在，說明理由.(21)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)(1x)22ln(1x).若關(guān)于x的不等式f(x)n0在0，e1(e是自然對數(shù)底數(shù))上有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍;設(shè)g(x)f(x)x21，若關(guān)于x的方程g(x)p至少有一個解，求p的最

9、小值;證明不等式ln(n1)1 eq f(1,2) eq f(1,3) eq f(1,n)(nN*).22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講已知AB為半圓O的直徑，AB4，C為半圓上異于A、B的一點，過點C答半圓的切線CD，過點A作ADCD于D，交半圓于點E，且DE1，證明：AC平分BAD；求BC的長。23（本題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l: eq blc(avs0al(xmtcos,ytsin)(t為參數(shù)，k，kZ)經(jīng)過橢圓C: eq blc(avs0al(x2cos,y eq r(,3)sin)（為參數(shù)）的左焦點F，（1）求m的值；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，

10、B兩點，求|FA|FB|的最小值。24(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|xa|.若f(x)m的解集為x|1x5，求實數(shù)a、m的值；當(dāng)a2且0t2時，解關(guān)于x的不等式f(x)tf(x2)2015年南寧市高中畢業(yè)班第二次適應(yīng)性測試(理科數(shù)學(xué))參考答案題號123456789101112答案DBACADCDDCBB13. eq f(,3)14.315. eq f(9,4)16.k eq f(2,3)或 eq f(3,8)10某高校要從6名短跑運動員中選出4人參加全省大學(xué)生運動會4100m接力賽，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的跑法:問題分成二類(棒選人，按第一棒是否選乙分兩

11、類):乙跑第一棒，乙跑第一棒有A eq o(1,4)A eq o(3,5)60種方法;乙不跑第一棒有A eq o(1,4)A eq o(1,4)A eq o(2,4)192種方法.故共有A eq o(1,4)A eq o(3,5)A eq o(1,4)A eq o(1,4)A eq o(2,4)252種甲跑第二棒的方法:C eq o(1,4)A eq o(2,4)48甲跑第二棒的概率為P eq f(48,252) eq f(4,21)12提示：sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin(2A2B)sin2Asin2Bsin2Acos2Bcos2Asin2B2sin2A(1cos2

12、B)sin2B(1cos2A)4sinAsinB(cosAsinB+cosBsinA)4sinAsinBsinC eq f(1,2)即sinAsinBsinC eq f(1,8)，又S eq f(1,2)absinC eq f(1,2)2RsinA2RsinBsinC2R2 eq f(1,8) eq f(R2,4)1，2，則4R28(bc)bcabc eq f(bc,a)8R3sinAsinBsinC eq f(bc,a)R3 eq f(bc,a)R3恒成立(bc)bc816.解：依題意設(shè)橢圓的方程為 eq f(x2,4)y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)，如圖，設(shè)D(

13、x0，kx0)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，其中x1x2，且x1，x2滿足方程(14k2)x24故x2x1 eq f(2, eq r(14k2)，由 eq o (sup3(),ED)6 eq o (sup3(),DF)知x0 x16(x2x0)，得x0 eq f(1,7)(6x2x1) eq f(5,7)x2 eq f(10,7 eq r(1+4k2)；由D在AB上知x02kx02得x0 eq f(2,12k)， eq f(2,12k) eq f(10,7 eq r(1+4k2)化簡得24k225k60，解得k eq f(2,3)或k eq f(3,8)(17)（本小題滿分12分）解：

14、()設(shè)數(shù)列an的公比為q，2a1，a3，3a2成等差數(shù)列，2a13a22a31分2a13a1q2a1q2.2分2q23q20，解得q2或q eq f(1,2)3分q0q2.4分a12數(shù)列an的通項公式ana1qn1.5分2n，nN6分（）bn(n2)log2ann(n2).7分 eq f(1,bn) eq f(1,n(n2) eq f(1,2)( eq f(1,n) eq f(1,n2).9分Tn eq f(1,b1) eq f(1,b2) eq f(1,bn1) eq f(1,bn) eq f(1,2)(1 eq f(1,3)( eq f(1,2) eq f(1,4)( eq f(1,3)

15、eq f(1,5)( eq f(1,n2) eq f(1,n)( eq f(1,n1) eq f(1,n1)( eq f(1,n) eq f(1,n2)10分 eq f(1,2)（1 eq f(1,2) eq f(1,n1) eq f(1,n2).11分 eq f(3,4) eq f(2n3,2(n23n2).12分(18)（本小題滿分12分）解：()設(shè)樣本總數(shù)為n由頻率分布直方圖可知：次數(shù)在100，110)間的頻率為0.014100.141分 eq f(7,n)0.14，解得n50人2分（）記抽中不達(dá)標(biāo)學(xué)生的事件為C，抽中達(dá)標(biāo)學(xué)生的事件為B，抽中優(yōu)秀學(xué)生的事件為AP(C)0.006100.0

16、14100.23分P(B)0.028100.022100.504分P(A)1P(B)P(C)0.305分()在高一年級中隨機抽取2名學(xué)生的成績和X10，15，20，25、306分P(X10)0.20.20.04；P(X15)20.20.50.2P(X20)0.5220.20.30.37P(X25)20.30.50.3P(X30)0.320.09對一個給1分，但不超過4分10分x1015202530P0.040.20.370.30.09E(X)0.04100.2150.37200.3250.093011分2112分19（本小題滿分12分）解()取F為線段BP中點，取PC的中點為O，連FO，DO2

17、分F、O分別為BP、PC的中點，F(xiàn)O eq o (sup3(),sdo2() eq f(1,2)BCABCD為平行四邊形，EDBC且DE eq f(1,2)BCFOED且DEFO四邊形EFOD是平行四邊形3分EFDO4分EF eq o (sup2(),/)平面PDCEF平面PDC5分（）以DC為x軸，過D點作DC的垂線為y軸，DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系6分D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(2，2 eq r(,3)，0)，A(0，0，3)7分設(shè)F(x，y，z)， eq o (sup3(),BF)(x2，y，z3) eq f(1,3) eq o (sup3(),BP)(

18、eq f(4,3)， eq f(2r(3),3)，1)F( eq f(2,3)， eq f(2r(3),3)，2)8分 eq o (sup3(),AF)( eq f(2,3)， eq f(2r(3),3)，1)，設(shè)平面PBC的法向量 eq o (sup5(),n1)(a，b，c)則 eq blc(avs0al(eqo(sup5(),n1) eq o (sup3(),CB)0, eq o (sup5(),n1) eq o (sup3(),PC)0) ， eq blc(avs0al(3z0,4x2 eq r(,3)y0) 9分令y1，可得 eq o (sup5(),n1)( eq f( eq r(

19、,3),2)，1，0)10分cos eq f( eq o (sup3(),AF) eq o (sup5(),n1),| eq o (sup3(),AF)| eq o (sup5(),n1)|)11分 eq f(6r(21),35)直線AF與平面PBC所成角的正弦值為 eq f(6r(21),35)12分(20)（本小題滿分12分）()解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2得2x2kx20得x1x2 eq f(k,2)1分xNxM eq f(x1x2,2) eq f(k,4)N點的坐標(biāo)為( eq f(k,4)， eq f(k2,8)2分y4xy| eq sdo5(x

20、f(k,4)k3分即拋物在點N處的切的斜率為k4分直線l:ykx2的斜率為klAB5分解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)把ykx2代入y2x2得2x2kx20得x1x2 eq f(k,2)1分xNxM eq f(x1x2,2) eq f(k,4)N點的坐標(biāo)為( eq f(k,4)， eq f(k2,8)2分設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y eq f(k2,8)m(x eq f(k,4)將y2x2代入上式得2x2mx eq f(mk,4) eq f(k2,8)03分直線l與拋物線C相切，m28( eq f(mk,4) eq f(k2,8)m22mkk2(mk)204分mk即lAB5分（）

21、假設(shè)存在實數(shù)k，存在實數(shù)k使AB為直徑的圓M經(jīng)過點NM是AB的中點，|MN| eq f(1,2)|AB1分(6分)由（）知yM eq f(1,2)(y1+y2) eq f(1,2)(kx1+2+kx2+2) eq f(1,2)k(x1+x2)+4 eq f(1,2)( eq f(k2,2)+4) eq f(k2,4)+27分MNx軸|MN|yMyN| eq f(k2,4)2 eq f(k2,8) eq f(k216,8)8分|AB| eq r(1k2) eq r(x1x2)24x1x2)9分 eq r(1k2) eq r( eq f(k,2)24(1) eq f(1,2) eq r(k21)

22、eq r(k216)10分 eq f(k216,8) eq f(1,4) eq r(k21) eq r(k216)k2使存在實數(shù)k2使AB為直徑的圓M經(jīng)過點N2分(12分)21.解：()f(x)2(1x) eq f(2,x1)1分(1分)當(dāng)x0時，1x eq f(1,x1)，f(x)2(1x) eq f(2,x2)在0，e1上有f(x)0，f(x)(1x)22ln(1x)在0，e1上單調(diào)遞增，(2分)f(x)|maxf(e1)e221分(3分)關(guān)于x的不等式f(x)m0在0，e1(e是自然對數(shù)底數(shù))上有實數(shù)解，f(x)|maxm，即me221分(4分)()g(x)f(x)x212x2ln(1x

23、)g(x)2(1 eq f(1,x1)1分(5分)g(x)2(1 eq f(1,x1)在(1，0)上g(x)0，在(0，)上g(x)01分(6分)g(x)|ming(0)0.1分(7分)x的方程g(x)p至少有一個解，p0，p最小值為01分(8分)（）證明：由()可知g(x)0在(1，)上恒成立，ln(1x)x，當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立1分(9分)令x eq f(1,n)，nN*，x(0，1)，有l(wèi)n(1 eq f(1,n) eq f(1,n)，即ln(n1)lnn eq f(1,n)，2分(10分)取n1，2，3，所得不等式相加得ln(n1)1 eq f(1,2) eq f(1,3) eq f(1,n)(nN*).1分(12分)22解：()CD為半圓O的切線，ADCD，OCAE，EACACO2分(2分)OCOA，ACOOAC2分(4分)即AC平分BAD1分(5分)()A，B，C，E共圓，AB