2014屆高三數(shù)學(xué) 數(shù)列綜合題 (新體驗應(yīng)用試題)

1、數(shù)列綜合題 （新體驗應(yīng)用試題）1已知數(shù)列an中，a11，an1eq f(an,an3)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項an；(2)若數(shù)列bn滿足bn(3n1)eq f(n,2n)an，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若不等式(1)nTn對一切nN*恒成立，求的取值范圍2(2014遼寧省五校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：a11，a2a(a0)，an2peq f(aeq oal(2,n1),an)(其中p為非零常數(shù)，nN*)(1)判斷數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(an1,an)是不是等比數(shù)列；(2)求an；(3)當(dāng)a1時，令bneq f(nan2,an)，Sn為數(shù)列bn的前n項和，求Sn.3(

2、2013高考廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11，eq f(2Sn,n)an1eq f(1,3)n2neq f(2,3)，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(7,4).1解：(1)由題知，eq f(1,an1)eq f(an3,an)eq f(3,an)1，eq f(1,an1)eq f(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,2)，eq f(1,an)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,

3、2)3n1eq f(3n,2)，aneq f(2,3n1).(4分)(2)由(1)知，bn(3n1)eq f(n,2n)eq f(2,3n1)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，Tn112eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，eq f(1,2)Tn1eq f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq bl

4、c(rc)(avs4alco1(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，(6分)兩式相減得，eq f(1,2)Tn1eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n1)eq f(n,2n)eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n),1f(1,2)eq f(n,2n)2eq f(n2,2n)，Tn4eq f(n2,2n1).(8分)Tn1Tneq blc(rc)(avs4alco1(4f(n3,2n)eq blc(rc)(avs4a

5、lco1(4f(n2,2n1)eq f(n1,2n)0，Tn為遞增數(shù)列當(dāng)n為正奇數(shù)時，Tn對一切正奇數(shù)成立，(Tn)minT11，1，1；當(dāng)n為正偶數(shù)時，Tn對一切正偶數(shù)成立，(Tn)minT22，2.綜合知，12.(12分)2解：(1)由an2peq f(aeq oal(2,n1),an)，得eq f(an2,an1)peq f(an1,an).(1分)令cneq f(an1,an)，則c1a，cn1pcn.a0，c10，eq f(cn1,cn)p(非零常數(shù))，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(an1,an)是等比數(shù)列(3分)(2)數(shù)列cn是首項為a，公比為p的等比數(shù)列，cnc1

6、pn1apn1，即eq f(an1,an)apn1.(4分)當(dāng)n2時，aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(a2,a1)a1(apn2)(aqn3)(ap0)1an1peq sup6(f(n23n2,2)，(6分)a1滿足上式，anan1peq sup6(f(n23n2,2)，nN*.(7分)(3)eq f(an2,an)eq f(an2,an1)eq f(an1,an)(apn)(apn1)a2p2n1，當(dāng)a1時，bneq f(nan2,an)np2n1.(8分)Sn1p12p3np2n1，p2Sn1p3(n1)p2n1np2n1.當(dāng)p21時，即p1時，得：(1p2

7、)Snp1p3p2n1np2n1eq f(p（1p2n）,1p2)np2n1，即Sneq f(p（1p2n）,（1p2）2)eq f(np2n1,1p2)；(11分)當(dāng)p1時，Sn12neq f(n（n1）,2)；(12分)當(dāng)p1時，Sn(1)(2)(n)eq f(n（n1）,2).(13分)綜上所述，Sneq blc(avs4alco1(f(n（n1）,2)，p1，,f(n（n1）,2)，p1，,f(p（1p2n）,（1p2）2)f(np2n1,1p2)，p1.)3解：(1)依題意，2S1a2eq f(1,3)1eq f(2,3)，又S1a11，所以a24.(2分)(2)解法一：由題意2Sn

8、nan1eq f(1,3)n3n2eq f(2,3)n，所以當(dāng)n2時，2Sn1(n1)aneq f(1,3)(n1)3(n1)2eq f(2,3)(n1)，(4分)兩式相減得2annan1(n1)aneq f(1,3)(3n23n1)(2n1)eq f(2,3)，整理得nan1(n1)ann(n1)，即eq f(an1,n1)eq f(an,n)1.(6分)又當(dāng)n1時，eq f(a2,2)eq f(a1,1)eq f(4,2)eq f(1,1)1，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是首項為eq f(a1,1)1，公差為1的等差數(shù)列，所以eq f(an,n)1(n1)1

9、n，所以ann2，所以數(shù)列an的通項公式為ann2，nN*.(8分)解法二：因為eq f(2Sn,n)an1eq f(1,3)n2neq f(2,3)，所以eq f(2Sn,n)Sn1Sneq f(1,3)n2neq f(2,3).(4分)整理得eq f(n2,n)SnSn1eq f(1,3)(n1)(n2)，所以eq f(Sn1,（n1）（n2）)eq f(Sn,n（n1）)eq f(1,3)，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n（n1）)是首項為eq f(S1,2)，公差為eq f(1,3)的等差數(shù)列，(6分)所以eq f(Sn,n（n1）)eq f(S1,2)eq

10、f(1,3)(n1)eq f(2n1,6)，所以Sneq f(n（n1）（2n1）,6)，所以Sn1eq f(（n1）n（2n1）,6)(n2)，所以anSnSn1n2(n2)因為a11符合上式，所以數(shù)列an的通項公式為ann2，nN*.(8分)(3)證明：設(shè)Tneq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an).當(dāng)n1時，T1eq f(1,a1)1eq f(7,4)；當(dāng)n2時，T2eq f(1,a1)eq f(1,a2)1eq f(1,4)eq f(5,4)eq f(7,4)；當(dāng)n3時，eq f(1,an)eq f(1,n2)eq f(1,（n1）n)eq f(1,n1)eq f(1,n)，(10分)此時Tn1eq f(1,4)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,n2)1eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)eq blc(rc)(avs4al