馬爾柯夫鏈預(yù)測

1、第三節(jié) 馬爾柯夫鏈預(yù)測馬爾柯夫(Markov)是俄國數(shù)學(xué)家。馬爾可夫法和博克斯一詹金斯法都是隨機時間序列分析法。1馬爾柯夫鏈預(yù)測馬爾柯夫鏈預(yù)測是利用某一系統(tǒng)的現(xiàn)狀及其發(fā)展動向去預(yù)測該系統(tǒng)未來狀況的一種分析方法和技術(shù)。對于一個系統(tǒng)，在由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)換至另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過程中，存在著轉(zhuǎn)移概率，這種轉(zhuǎn)移概率可以依據(jù)其緊接的前一種狀態(tài)推算出來，而與該系統(tǒng)的原始狀態(tài)和此次轉(zhuǎn)移以前的有限次或無限次轉(zhuǎn)移無關(guān)。系統(tǒng)的這種由一種狀態(tài)至另一種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程為馬爾柯夫過程，其整體轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾柯夫鏈。2馬爾柯夫鏈預(yù)測對于某一預(yù)測對象的馬爾柯夫過程或馬爾柯夫鏈的運動、變化進(jìn)行研究分析，進(jìn)而推測預(yù)測對象的未來狀況和變化

2、趨勢的工作過程，稱為馬爾柯夫分析。 馬爾柯夫分析做為一種基本的隨機分析方法，不論在社會科學(xué)還是在自然科學(xué)中近年來都得到了廣泛的應(yīng)用。 3第一節(jié) 馬爾柯夫過程分析基本原理一、概率向量二、概率矩陣三、系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣此部分內(nèi)容在吉林科學(xué)技術(shù)出版社經(jīng)濟預(yù)測及數(shù)量分析 吳風(fēng)山4馬爾柯夫鏈作為一種基本的預(yù)測模型，以預(yù)測客觀經(jīng)濟事件的未來狀態(tài)。當(dāng)探討由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種狀態(tài)的時候，可以使用這種模型，盡管這種方法只限于具有特殊性質(zhì)的問題，但可從這種方法中獲得有益的信息。第二節(jié) 馬爾柯夫過程分析在預(yù)測中的應(yīng)用5第二節(jié) 馬爾柯夫過程分析在預(yù)測中的應(yīng)用應(yīng)用馬爾柯夫鏈進(jìn)行預(yù)測工作，首先必須把研究的問題

3、歸納成獨立的狀態(tài)，例如對于商品的銷售情況可以歸納為暢銷，滯銷等狀態(tài)。其次是需要確定經(jīng)過一個時期后，事件由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種狀態(tài)的概率，且這種概率必須滿足下列條件： 1 只與目前的狀態(tài)有關(guān)， 2 與具體的時間周期無關(guān)， 3 預(yù)測期間狀態(tài)的個數(shù)必須保持不變。如果現(xiàn)實問題符合上述假定，則構(gòu)成一階馬爾柯夫鏈。并可據(jù)此建立預(yù)測模型6具體步驟是： 1. 確定系統(tǒng)的狀態(tài)。首先把預(yù)測所需要研究的目標(biāo)歸納成一組“狀態(tài)”。各狀態(tài)之間應(yīng)互不相容，且所有的狀態(tài)共同構(gòu)成一完備事件組。 2確定轉(zhuǎn)移概率矩陣。依據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)字計算比例數(shù)或統(tǒng)計事件發(fā)生的頻率，依此確定轉(zhuǎn)移概率和狀態(tài)發(fā)生的概率；利用抽樣調(diào)查方法確定轉(zhuǎn)移概率或用主

4、觀概率法估計轉(zhuǎn)移概率。 3. 進(jìn)行預(yù)測計算。多種方案分析，確定預(yù)測結(jié)果。7馬爾柯夫預(yù)測流程圖用馬爾柯夫過程分析進(jìn)行預(yù)測的工作流程圖8第三節(jié) 馬爾柯夫過程分析預(yù)測應(yīng)用實例 設(shè)有A、B、C三家企業(yè)的同種產(chǎn)品上個月在某地區(qū)市場上的占有率分別為：0.52，0.30，0.18 根據(jù)市場調(diào)查情況，每1000戶顧客中分別購買A、B，C三家企業(yè)產(chǎn)品的變化情況如表19 分析動態(tài)變化情況:上月份購買A企業(yè)產(chǎn)品的顧客為520人，本月份有156人轉(zhuǎn)為B企業(yè)，有52人轉(zhuǎn)為C企業(yè)，A企業(yè)只保住老顧客312人；上月份購買B企業(yè)產(chǎn)品的顧客為300人，本月份有105人轉(zhuǎn)為購買A企業(yè)產(chǎn)品，有90人轉(zhuǎn)為購買C企業(yè)產(chǎn)品，B企業(yè)保住老

5、顧客105人；上月份購買C企業(yè)產(chǎn)品的顧客為180人，本月份有18人轉(zhuǎn)為購A買企業(yè)產(chǎn)品、有36人轉(zhuǎn)為購買B企業(yè)產(chǎn)品，C企業(yè)現(xiàn)有老顧客268人。10下面用馬爾柯夫分析方法預(yù)測：如按目前趨勢發(fā)展下去，三家企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率，客戶轉(zhuǎn)移對A企業(yè)的影響程度如何？11 1將上述情況表達(dá)成初始狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率矩陣形式。以上月份為第一周期，如以S（0）表示第一周期A、B、C三個企業(yè)產(chǎn)品市場占有率的概率向量，則 S（0）=(0.52 0.30 0.18)即在初始狀態(tài)，1000戶顧客中，A企業(yè)有520戶，占產(chǎn)品總銷售額的52，B企業(yè)有300戶，占產(chǎn)品總銷售額的30，C企業(yè)有180戶，占產(chǎn)品銷售額的18。12利用相鄰

6、兩個周期產(chǎn)品銷售額(市場占有率)的數(shù)據(jù)來推測未來銷售周期內(nèi)的顧客分配情況，主要取決于：1) 現(xiàn)在市場占有率的分配情況，即每一家購貨顧客人數(shù)的百分比；2) 某企業(yè)現(xiàn)有顧客在下一銷售周期仍購買該企業(yè)產(chǎn)品的顧客人數(shù)百分比和在下一銷售周期轉(zhuǎn)向購買其它企業(yè)產(chǎn)品顧客人數(shù)的百分比，即保留率和轉(zhuǎn)出率；3) 某企業(yè)原有顧客在下一周期轉(zhuǎn)向本企業(yè)購貨的百分，即轉(zhuǎn)入率。 13為分析研究未來若干周期的顧客流向，把表1的顧客人數(shù)轉(zhuǎn)移的數(shù)據(jù)，化為轉(zhuǎn)移概率。見表2。表中數(shù)據(jù)是每個企業(yè)在一個周期的顧客數(shù)與前一個周期顧客數(shù)相除所得到的比例。表中每一行表示某企業(yè)從一個周期到下一個周期將能保住的顧客數(shù)的百分比，以及將要喪失給競爭對手

7、的顧客數(shù)的的百分比。表中每一列表示各個企業(yè)在下一個周期將能保住的顧客數(shù)的百分比，以及該企業(yè)將要從其它競爭對手那里獲得顧客的百分比。即行表示保留與喪失顧客數(shù)的百分比；列表示保留與獲得顧客的百分比。14上表用矩陣形式表示，則為此矩陣稱為顧客流動的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，式中的各行與各列構(gòu)成各自的行向量。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣還表示一個隨機挑選的顧客，從一個周期到下一個周期仍購買某一企業(yè)產(chǎn)品的可能概率。152 計算本期市場占有率假設(shè)近期內(nèi)轉(zhuǎn)移概率基本不變(即顧客的愛好變化)，根據(jù)馬爾柯夫過程分析的原理和預(yù)測模型，利用市場占有率概率向量S(0)與轉(zhuǎn)移概率矩陣P，計算得到本月三家產(chǎn)品的市場占有率S(1)為：S(1)

8、= S(0) P即162 計算本期市場占有率這樣我們得到本期A、B、C三個企業(yè)產(chǎn)品市場占有率的行向量S(1)為： 173 后續(xù)周期趨勢預(yù)測 預(yù)測下個月三個企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率S(2)，可將本月三個企業(yè)產(chǎn)品市場占有率概率行向量S(1)乘以轉(zhuǎn)移概率矩陣P，即可得到每一企業(yè)下月份的市場占有率S(2) ，即183 后續(xù)周期趨勢預(yù)測這樣得第二周期(下月)A，B、C三個企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率為：這說明在轉(zhuǎn)移概率基本不變的情況下，如果能夠估計出總的市場容量，即可求得各企業(yè)產(chǎn)品的市場需求量。19 如果需要進(jìn)行長期趨勢預(yù)測，則可繼續(xù)計算下去，由第二周期的市場占有率行向量與轉(zhuǎn)移概率矩陣的乘積求得S(3)，其余類推。

9、即20下面根據(jù)上式對上例A，B，C三個企業(yè)產(chǎn)品第一至十二周期的市場占有情況進(jìn)行預(yù)測，將其數(shù)據(jù)列表3中，并繪制A，B，C三個企業(yè)產(chǎn)品銷售隨周期的變化趨勢曲線，如圖2。 212223 分析A，B，C三家產(chǎn)品的變化趨勢表3和圖2可以看到，A企業(yè)產(chǎn)品和B企業(yè)產(chǎn)品逐期下降，且A企業(yè)產(chǎn)品下降幅度較大，C企業(yè)產(chǎn)品卻以較大的幅度逐期上升。這說明A企業(yè)要想保住產(chǎn)品在市場上的優(yōu)勢，必須分析產(chǎn)品下降的原因，采取相應(yīng)的銷售策略和措施。244 平衡狀態(tài)分析平衡狀態(tài)是各企業(yè)產(chǎn)品銷售份額不發(fā)生逐期變化的狀態(tài)。即在顧客基本不流動時，這一系統(tǒng)所達(dá)到的平衡條件或穩(wěn)定條件。從上例看到，當(dāng)轉(zhuǎn)移概率基本不變時，隨著時間的推移，A、B企

10、業(yè)產(chǎn)品市場占有率逐期下降，C產(chǎn)品市場占有率逐期上升，但變化的速率隨后續(xù)周期而逐漸變小。到第十周期后A，B、C三家企業(yè)的產(chǎn)品市場占有率就基本保持不變了。所謂平衡條件就是各企業(yè)銷售份額不再隨周期發(fā)生變化的條件。25因此，我們可以根據(jù)定理將某一周期銷售份額的概率向量乘以轉(zhuǎn)移概率之后，得出與該周期銷售份額完全相同的概率向量的方法，來確定平衡條件。仍以上題為例。我們從表中看到進(jìn)行到第十周期時S(0)(0.388，0.275，0.387)，再進(jìn)行下去轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)已不再變化，那么這一點是否就是平衡點呢?我們根據(jù)平衡條件的定義進(jìn)行計算并比較其計算結(jié)果。26根據(jù)平衡條件，如果上例出現(xiàn)平衡狀態(tài)。則上一期狀態(tài)經(jīng)過轉(zhuǎn)

11、移后其狀態(tài)應(yīng)當(dāng)不變，即相鄰兩個周期各企業(yè)的產(chǎn)品市場占有率相同，如用轉(zhuǎn)移矩陣表示則應(yīng)為：并且滿足各產(chǎn)品市場占有率之和等于1條件，即 27如以分別代表平衡狀態(tài)A，B，C企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率，則達(dá)到平衡狀態(tài)時，應(yīng)有下列關(guān)系式成立：式中銷售概率向量：為該系統(tǒng)的平衡條件。28于是上例在平衡狀態(tài)有29 以上方程組有4個方程，而只有3個未知量，故知有一個方程不獨立，可以去掉一個方程，解出三個平衡狀態(tài)值去掉任意方程后，解上述聯(lián)立方程組得： 30即平衡系統(tǒng)的平衡條件這個結(jié)果與上面逐期進(jìn)行計算所得結(jié)果完全相同，這表明，三種產(chǎn)品的市場占有率分別達(dá)到38.8，27.5，38.7 時，且轉(zhuǎn)移概率不變，該系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)

12、，此時三種產(chǎn)品市場占有率不再隨周期的后 延而變化。 31在計算上述平衡狀態(tài)時，我們僅使用了狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，而沒有涉及到現(xiàn)在周期或初始的系統(tǒng)狀態(tài)，可見系統(tǒng)的平衡狀態(tài)僅與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān) (各狀態(tài)分量不為零時)，就是說，只有轉(zhuǎn)移概率才能決定最終的平衡狀態(tài)。馬爾柯夫過程分析，可以用于預(yù)測和對策分析，即可以預(yù)測出事物狀態(tài)經(jīng)過一段時間轉(zhuǎn)入其它狀態(tài)時所占的比例，也可根據(jù)某些轉(zhuǎn)移矩陣確定出事物在遠(yuǎn)期(平衡狀態(tài)時)所占的比例，并由此選擇經(jīng)營策略，制定分階段的最優(yōu)對策。32 本章所討論的問題僅限于一階馬爾柯夫過程分析，沒有涉及二階或高階馬爾柯夫過程，即假定系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至一次狀態(tài)的概率僅取決于該系統(tǒng)前一狀態(tài)的結(jié)果，但是在