高考試題中的平面向量問題的歸類

1、高考試題中的平面向量問題的歸類 平面向量是新教材中高一的必學內(nèi)容，是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，它包括向量的概念和運算。向量的坐標表示，定比分點及數(shù)量積。舊教材中，在解析幾何、復數(shù)中涉及到平面向量的問題，只是對一個概念的介紹。而現(xiàn)在的教學大綱要求理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。 高考對平面向量的考查也是明確的、逐考逐新的，一般來說各地高考試卷中分值約17分，占卷面的11以上，下面就近四年的高考試題中的平面向量問題作一歸類。 l、從試題的類型看

2、 判斷型。這是高考中的一種選擇題型、立足考查其概念公式。如：2004年天津第3題：若平面向量與向量=(1，2)的夾角是180，且|=則=（ ）A、(3，6) B、(3，6) C、(6，3) D、(6，3)考查向量坐標表示與夾角公式選A。2004年湖北第4題：已知、為非零的平面向量，甲：=，乙：=，則（ ） A、甲是乙的充分條件但不是必要條件 B、甲是乙的必要條件但不是充分條件 C、甲是乙的充要條件 D、甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 考查向量與充要條件的定義，選B。求解型。這是高考中的一種常見題型，有填空、解答題型，立足考查其基本方法與技巧。如：2002年上海第2題：已知向量和的夾角為

3、120，且|=2，、|=5，則（2-）= ?？疾閵A角公式與運算法則，答案為13。 2002年天津第21題：已知兩點M(1，0)，N(1，0)且點P使，成公差小于零的等差數(shù)列。 (1)點P的軌跡是什么曲線? (2)若點P坐標（x0, y0）,記為與的夾解，求tan?？疾橄蛄康淖鴺吮硎尽?shù)量積等基本方法以及轉(zhuǎn)化限制條件的技巧。（I）設(shè)P（x，y），得= =（-1-x，-y） 所以點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓。證明題：這是高考中的一種難度較大的題型，著力考查綜合運用數(shù)學知識與思想方法的邏輯推理的能力。如：2004年天津第22題：橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F(c，0)，(

4、c0)的準線L與X軸相交于點A，|OF| =2 |FA|，過點A的直線與橢圓相交于P，Q兩點。 (1)求橢圓的方程及離心率： (2)若=0，求直線PQ的方程；(3)設(shè)=（1）過點P且平行于準線L的直線與橢圓交于另一點M。證明=?？疾橄蛄康臄?shù)量積、向量坐標的運算及解析幾何與方程的綜合運用能力。 2、從知識的聯(lián)系看 與幾何進行綜合，如： 2001年上海第14題：在平行六面體ABCDA1B1C1 D1中，M為AC與BD的交點， 則下列向量中與相等的向量是（ ） 考查向量加減運算的幾何意義，選A。 2003年遼寧第4題：已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上(不包括端點A，C)，則=( ) 考查

5、向量幾何意義，選A。 與解幾進行綜合，如： 2002年天津第10題：平面直角坐標系中O為坐標原點已知兩點A(3，1)，B(l，3)，若點C滿足=+，其中a，R，且+=l，則點C的軌跡方程為( ) A、3x+2y11=0 B、(x1)2 +(y2)2=5C、2xy=0 D、x+2y5=0 考查向量的坐標表示，選D。2003年上海第2l題、江蘇第20題、遼寧第22題：已知向量0，向量=（0,a）, =(1,0)經(jīng)過原點O以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0,a），以-2為方向向量的直線交于點P，其中R，試，問：是否存在兩定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值，若存在求出E、F的坐標，若不存在

6、，說明理由。 考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程與性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題的能力。根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值。因此直線OP和AP的方程分別為和y a=2 消去參數(shù)得點P（x，y）的坐標滿足方程y（y a）= 2a2x2a0 所以得（I）當方程 eq oac(,1)是圓的方程，故不存在合乎題意的定點E和F。（II）當oa時，方程 eq oac(,1)也是橢圓，點E（0，（a+），和F（0，（a-）為合乎題意的兩個定點。3、與三角進行綜合如：2004年湖南第1

7、3題：已知向量=（cos，sin）向量b=（，1）則|2|的最大值是 |2|=4， 答題填4。2003年天津第4題、江蘇第5題：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+（+）0， ），則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心考查向量的幾何意義與三角形性質(zhì)，選B。4、從解題的數(shù)學思想看 eq oac(,1)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，如：2004年四川第9題：已知平面上直線L的方向向量=（，），點O（0，0）和A（1，2）在L上的射影分別是O和A則=e，其中=（ ） A、 B、 C、2 D、2作圖觀察得e=0，選D。函數(shù)方程思想的滲透；如：2004

8、年全國高考題第21題：設(shè)雙曲線C：-y2=1(a0)與直線1：x+y=1相交于兩個不同的點A、B。（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍； （II）設(shè)直線L與 y軸的交點為P，且=，求a的值?？疾橹本€雙曲線的概念與性質(zhì)、平面向量的運算及函數(shù)方程思想和綜合解題能力。分類討論思想的滲透，如2003年天津第21題（前已給出）2003年上海第21題：在以O(shè)為原點的直角坐標系中，點A（4，3）為OAB的直角頂點，已知|A B|=2|OA|，點B的縱坐標大于零。（1）求向量的坐標；（2）求圓X2-6x+y2+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；（3）是否存在實數(shù)a，使拋物線y=ax21有關(guān)直線OB對稱的兩個點，若不存在，說明理由，若存在，求a的取值范圍。 5、一點領(lǐng)悟 平面向量具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，平面向量與幾何問題的綜合應用通常涉及到向量角度、平行、垂直、共線、共點等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算。數(shù)量積是處理力學、三角、最值等問題的重要工具。從以上幾個方面不難看出：高考對平面向量?？汲Ｐ拢渲饕蚓驮谟谧穼づc其它重點知識的新穎巧妙的組合，把對數(shù)學思想方法的考查寓于平面向量考查中，注重在新的情景中考查數(shù)學能力，從2004年湖北高考第19題