2022年河北省邢臺(tái)市捷徑高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的。1設(shè)集合，若集合中有且僅有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為ABCD2已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)且交的左支于兩點(diǎn)，若，的面積為8，則的漸近線方程為（ ）ABCD3已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其底面邊長(zhǎng)為4，、分別為側(cè)棱，的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（ ）ABCD4已知集合，則（ ）ABCD5 “完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)

3、完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（ ）ABCD6中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（ ）種.A408B120C156D2407給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這

4、兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中，為真命題的是( )A和 B和 C和 D和8已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD9已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ）ABCD10一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4，寬為的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD11在三棱錐中，P在底面

5、ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（ ）ABCD12若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程可以為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，角，所對(duì)的邊分別邊，且，設(shè)角的角平分線交于點(diǎn)，則的值最小時(shí)，_.14已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_15已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上任一點(diǎn)，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是_.16已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí)，則_；四棱錐P-ABCD的體積為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)

6、出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某商場(chǎng)以分期付款方式銷(xiāo)售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買(mǎi)該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（）求購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（）商場(chǎng)銷(xiāo)售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)150元，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷(xiāo)售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為（單位：元）（）求的分布列；（）若，求的數(shù)學(xué)期望的最大值.18（12分）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為梯形，為中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19（12分）在直

7、角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線的極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程為.（）寫(xiě)出曲線的極坐標(biāo)方程，并指出是何種曲線；（）若射線與曲線交于兩點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.20（12分）設(shè)，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.21（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的右焦點(diǎn)為（，為常數(shù)），離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若時(shí)，求實(shí)數(shù)；試問(wèn)的值是否與的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論22（10分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.參考答案一、選擇題：本題共12小

8、題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，所以，的漸近線方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.3D【解析

9、】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計(jì)算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過(guò)作底面的垂線，垂足為，與平面交點(diǎn)記為，連接、.依題意，所以，設(shè)球的半徑為，在中，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.4C【解析】由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】 集合，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交

10、并補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.5C【解析】先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，6和28不在同一組的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問(wèn)題中組合數(shù)的應(yīng)用.6A【解析】利用間接法求解，首先對(duì)6門(mén)課程全排列，減去“樂(lè)”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況，最后還需加上“樂(lè)”排

11、在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有（種），則滿足“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰的排法有（種），故選：【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂(lè)”的排列對(duì)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的影響，屬于中檔題7D【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；由平面與平面垂直的判定可知正

12、確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故正確綜上，真命題是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題8D【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設(shè)出雙曲線方程，求得2a丨AF2丨丨AF1丨（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e【詳解】直線F2A的直線方程為：ykx，F(xiàn)1（0，），F(xiàn)2（0，），代入拋物線C：x22py方程，整理得：x22pkx+p20，4k2p24p20，解得：k1，A（p，）

13、，設(shè)雙曲線方程為：1，丨AF1丨p，丨AF2丨p，2a丨AF2丨丨AF1丨（ 1）p，2cp，離心率e1，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題9B【解析】試題分析：由題意得，所以，所求雙曲線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程.10B【解析】由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體11A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)?，所以外接圓的

14、圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所?設(shè)，易知平面ABC，則.因?yàn)?，所以，即，解?所以球Q的半徑.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計(jì)算求解能力，是中檔題12B【解析】由點(diǎn)求得的值，化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的求法，求得的對(duì)稱(chēng)軸，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因?yàn)?，則

15、，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.14【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力15【解析】根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求得的值，進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.1690 【解析】易得平面PAD，P點(diǎn)在與BA垂直的圓面

16、內(nèi)運(yùn)動(dòng)，顯然，PA是圓的直徑時(shí)，PA最長(zhǎng)；將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，易知，當(dāng)P、A三點(diǎn)共線時(shí)，PA達(dá)到最長(zhǎng)，此時(shí)，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時(shí)可將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線為，底面邊長(zhǎng)為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為： (1) 90 ； (2) .【點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（）0.288（）（）見(jiàn)解析（）數(shù)學(xué)期望的

17、最大值為280【解析】（）根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得出，利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求出結(jié)果；（）（）依題意，的取值為200，250，300，350，400，根據(jù)離散型分布求出概率和的分布列；（）由題意知，解得，根據(jù)的分布列，得出的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合，即可算出的最大值.【詳解】解：（）設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，則，則，故購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（）（）依題意，的取值為200，250，300，350，400，的分布列為：2002503003504000.16（），由題意知，又，即

18、，解得，當(dāng)時(shí)，的最大值為280，所以的數(shù)學(xué)期望的最大值為280.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件和二項(xiàng)分布的應(yīng)用，以及離散型分布列和數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力.18（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線和長(zhǎng)度關(guān)系，為平行四邊形，進(jìn)而得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；(2)以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以；?）由題及（1）易知，兩兩垂直，所以以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系,則，易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以

19、,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19（），曲線是以為圓心，為半徑的圓；（）.【解析】（）由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程，由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程（）令，則，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍；【詳解】解：（）由（為參數(shù)）化為普通方程為，整理得曲線是以為圓心，為半徑的圓.（）令，面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題20（1）2；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）將化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，.（2），即：或.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力.21（1）（2）（3）為定值【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法可得，橢圓方程為；（2）我們要知道=的條件應(yīng)用，在于直線交橢圓兩交點(diǎn)M，N的