廣東省惠州市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中考綜合題的分析與教學(xué)策略

1、中考綜合題的分析與教學(xué)策略以2011年至2016年廣東省中考數(shù)學(xué)試題為例一、如何看待中考綜合題1、中考綜合題是體現(xiàn)中考試題選拔性的重要載體。在試題中集中在第23-25題，題型分別為代數(shù)綜合、幾何綜合、代數(shù)幾何綜合。是中考試題中得分率最低的題目，體現(xiàn)為難度大，耗時(shí)長(zhǎng)，難教學(xué)。在平時(shí)的教學(xué)中花費(fèi)了教師極大的心力，在中考考場(chǎng)上耗費(fèi)了學(xué)生眾多的腦力，但往往事倍功半。2、綜合題是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合考查。六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算這三種素養(yǎng)更多的在綜合題中體現(xiàn)，直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象也有體現(xiàn)。3、綜合題的解答是學(xué)生綜合學(xué)力的體現(xiàn)；綜合題的訓(xùn)練是教師執(zhí)教能力的綜合體現(xiàn)。對(duì)于學(xué)生而言

2、，需要想得到做得出寫得對(duì)算得準(zhǔn)完得成。而對(duì)于老師來說，則需要能想得通做得準(zhǔn)析得清講得透練得巧。高屋建瓴、深入淺出等詞語都是對(duì)老師的素質(zhì)要求。4、綜合題是長(zhǎng)期訓(xùn)練的結(jié)果。它不可能通過突擊訓(xùn)練來達(dá)到效果；不可能通過模式化訓(xùn)練來達(dá)到效果；不可能通過猜題來達(dá)到效果。盡管綜合題難做難教，但也它的考查形式與突破口也是有章可循的，下面筆者以近6年廣東省卷的綜合題為例，談?wù)劸C合題的教學(xué)策略。二、近六年廣東省中考綜合題分析(一)代數(shù)綜合題(第23題)1、試題共性特點(diǎn)：近六年的代數(shù)綜合題都是以函數(shù)為背景，11-13年考查二次函數(shù)，14-16年則考查反比例函數(shù)。它們的共同點(diǎn)是都考查函數(shù)解析式的求法；而且每年的第二、

3、三兩問都具有關(guān)聯(lián)性，只有在正確解決第二問的基礎(chǔ)上才能解答第三問，所以每次的得分也并不算高。2、試題考查的知識(shí)點(diǎn)：常見考查方法有：求解析式、求交點(diǎn)、求頂點(diǎn)、求最值、求面積、求范圍、比較大小等。近六年中考了兩次求最短距離，包括求直線異側(cè)兩點(diǎn)和同側(cè)兩點(diǎn)的最短距離；2016年則考到了關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)。這給了我們一個(gè)啟示，就是教學(xué)中需要適當(dāng)拓展。關(guān)于某條斜向直線對(duì)稱在2016年廣東茂名中考中也考查到了，它考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)兩端點(diǎn)求中點(diǎn)坐標(biāo)，若適當(dāng)拓展，則可引申到互相垂直的兩直線k1k2=-1.(二)幾何綜合題(第24題)1、試題共性特點(diǎn)：(1)近四年都是考查圓，而且試題都屬原創(chuàng)。其中2013

4、年中考題在2016年被自貢市原題引用。2015年中考試題的研究則發(fā)表在中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2015年8月下第34頁。(2)試題的解答都需要排除干擾。2014、2015年的圖形都比較復(fù)雜，解答時(shí)需要排除圖形干擾；而2016年的試題中因?yàn)槎嗔?0度角這個(gè)條件，所以解題時(shí)需要排除已知條件的干擾，思路簡(jiǎn)單但書寫麻煩。(3)四年中有三年都需要證明切線。證切線的過程中證角相等往往是題目突破的關(guān)鍵。在圓中證角相等的方法主要有三種：利用圓周角定理或圓心角定理；通過全等(或相似)證角相等；通過基本圖形證角相等：雙垂直三角形、角平分線+平行線、對(duì)頂三角形、燕尾形、弦切角定理圖形等。2、試題解答思路分析：(1)2013和2

5、014年證明切線的題目都是弦切角定理的基本圖形，分別借助圓周角定理和全等開展進(jìn)一步的證明。(2)2015和2016年的試題都是通過全等的方法予以解答。(3)2016年試題包含許多基本圖形，現(xiàn)有試題未能充分發(fā)掘。(三)代數(shù)幾何綜合題(第25題)1、試題共性特點(diǎn)：(1)除2011和2012年外，其它幾年都是以三角形和四邊形為背景載體。(2)從2011年至2016年每年的最后一題都考查平移，且12-16年都考查的是平移過程中形成的三角形的面積。2、試題解答思路分析：關(guān)鍵點(diǎn)都是求線段長(zhǎng)度。求線段長(zhǎng)度常見的有四種方法，分別是：(1)用勾股定理求線段長(zhǎng)度。例如2012年第21題。(2)利用相似求線段長(zhǎng)度。

6、例如2012年第22題；2014年第25題。(3)利用三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度。例如2013、2015、2016年第25題。(4)利用坐標(biāo)平面兩點(diǎn)間距離求線段長(zhǎng)度。例如2011年第22題。三、綜合題的教學(xué)策略1、抓綱務(wù)本，變式拓展.(1)注意課本中隱含的知識(shí)點(diǎn)。2016年省卷第23題曾考查關(guān)于某條直線對(duì)稱，當(dāng)年的茂名市中考題也曾考查這一直線，其中解決的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)是中點(diǎn)坐標(biāo)特征。這一內(nèi)容在人教版教材(以下簡(jiǎn)稱教材)七下86頁第10題中有體現(xiàn)。同時(shí)八下第91-92頁一次函數(shù)內(nèi)容中，所舉例的兩幅函數(shù)圖形分別是平行兩直線與垂直兩直線，對(duì)于“垂直兩直線的斜率之積為-1”這一知識(shí)隱晦的體現(xiàn)了出來。(2)注意課本

7、例題與習(xí)題的變式。教材九上第60頁課本例題(如圖1)，經(jīng)改編后成為2015年中考第21題。這一題目在初二時(shí)常用作截長(zhǎng)補(bǔ)短的典型例題。教材九上第87頁課本例題(如圖2)則被改編為2016年廣州中考題，2016年江蘇淮安也考到此題。也有許多課本習(xí)題被改編為中考題，如教材九下58頁第11題中有三角形中截正方形的題目，教學(xué)中可以拓展到截矩形，2014年第25題就是該圖形的拓展應(yīng)用。教材八上第79頁有矩形紙片沿對(duì)角線折疊的題目，2012年第21題就改編自本題，其中的基本圖形與基本結(jié)論依然存在。還有許多課本原題也被全國(guó)各地改編為中考試題。詳見課件中的附錄部分。 圖1 圖2 圖3 圖42、基本圖形，分解化難

8、.任何復(fù)雜的圖形都由若干的基本圖形組成，綜合題的解決很多都是依賴于對(duì)基本圖形的解讀。例如：2013年中考第25題的模型來自于解直角三角形一節(jié)(圖3)，解含45度和120度角的鈍角三角形，平時(shí)我們的訓(xùn)練是已知鈍角三角形中的最短邊，求該邊上的高，現(xiàn)在則是設(shè)這條最短邊為x，要將該邊上的高用含x的式子表示。此外，2012年矩形折疊題包含角平分線+平行線的基本圖形；2008年中考題中可利用對(duì)頂三角形去解決；2014年第25題第(3)問則是相似中的A型與M型的應(yīng)用(圖4)?；緢D形大多是從初一初二開始一點(diǎn)一滴積累而來，在初一初二的課堂教學(xué)中，對(duì)于經(jīng)典例題、經(jīng)典習(xí)題、經(jīng)典圖形就要講透練透，基本圖形的基本結(jié)論

9、要形成了種本能，要培養(yǎng)學(xué)生讀圖識(shí)圖分解圖形的能力。3、一題一課，騰挪時(shí)間.中考復(fù)習(xí)最痛苦的是總覺得時(shí)間不夠，時(shí)間都去哪兒啦？都被沒有思維量的大量重復(fù)勞動(dòng)所吞噬了，所以復(fù)習(xí)課一定要知道哪些基礎(chǔ)內(nèi)容是學(xué)生清楚的，是不用復(fù)習(xí)的，哪些則是要重點(diǎn)復(fù)習(xí)的。要想提高課堂效率，建議一題一課，知識(shí)融通。(1)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)要注意綜合與拓展，而不能是反復(fù)低效演練。例如：中考題的第1題是類似于這樣的題目“-3的相反數(shù)是_.”這樣的題目有必要訓(xùn)練嗎？訓(xùn)練再多有用嗎？如果作如下改編：-3的相反數(shù)是_；a-3的相反數(shù)是_；已知a3，則|a-3|=_；分解因式：3x2(a-b)3-6x(b-a)2=_；已知a3，化簡(jiǎn)：=_

10、.以上這一組問題都與相反數(shù)有關(guān)，一定有學(xué)生對(duì)其中的某一部分內(nèi)容感受出思維量。這樣的復(fù)習(xí)，才會(huì)讓每一節(jié)復(fù)習(xí)課都令學(xué)生感到新鮮，感受到知識(shí)的融合。(2)解答題的訓(xùn)練要用好用透，八方聯(lián)系，一題多變。例如：在格點(diǎn)中作三角形是一道很平常的中考作圖題(圖5)，我們?cè)谥v解的時(shí)候能否利用這道題目復(fù)習(xí)更多的知識(shí)呢？作圖：將ABC向上平移5個(gè)單位再向左平移4個(gè)單位；作圖：作出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的三角形；作圖：以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度；作圖：以點(diǎn)O為位似中心，將ABC放大到原來的兩倍.計(jì)算：在y軸上找一點(diǎn)E，使AE+CE的和最小；計(jì)算：求ABC的面積；計(jì)算：在平面上找一點(diǎn)D，使A、B、C、D

11、四點(diǎn)形成平行四邊形；計(jì)算：將ABC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度，求線段BC掃過區(qū)域的周長(zhǎng)和面積. 這樣改編后四道作圖題是復(fù)習(xí)基礎(chǔ)，四道計(jì)算題中的每一個(gè)都可以成為綜合題的一小問來考查。 圖5 圖64、講透用夠，舉一反三.每一道綜合題都是出題者智慧的結(jié)晶，都是對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)的考查，都是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的具體體現(xiàn)，如果一道綜合題只是講清楚答案，就太浪費(fèi)了。所以每道綜合題都要講透用夠，關(guān)注應(yīng)用同類型思想方法的題型，舉一反三，練好練透。例如：2011年第21題(圖6)第一小問“(1)始終與AGC相似的三角形有_和_.”這一問是解決第二、三問的基礎(chǔ)，我們可以借助它復(fù)習(xí)相似的四種常見圖形類別：A型、X型、母子

12、型和M型，通過基本圖形分析可以看出只能應(yīng)用母子型，都有一個(gè)公共角，只要找到一個(gè)45度角即可，這樣就可以輕松解決。如果能夠用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來理解，效果更好。本題的第(3)問“設(shè)CG=x，當(dāng)x為何值時(shí)，AGH是等腰三角形.”本題需要利用相似，將“AGH是等腰三角形”轉(zhuǎn)化為“AGC是等腰三角形.”這樣就可以解決問題了。2010年廣東省卷的第22題也是應(yīng)用這種方法來解決的，這種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)于解決問題有決定性的影響，所以應(yīng)該有些針對(duì)性訓(xùn)練?？梢赃x擇2015年山東泰安的對(duì)應(yīng)中考題。5、夯實(shí)基礎(chǔ)，計(jì)算過關(guān).我們觀察發(fā)現(xiàn)，2012-2015年的最后一題，答案的數(shù)字與計(jì)算都非常復(fù)雜，2015年的第23題出現(xiàn)了解

13、無理系數(shù)的二元一次方程組，第25題的計(jì)算更是復(fù)雜到不愿動(dòng)筆。計(jì)算題的訓(xùn)練是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，初一主要訓(xùn)練學(xué)生定準(zhǔn)結(jié)果的符號(hào)，初二則主要訓(xùn)練學(xué)生的變形技巧(因式分解)，初三則是綜合訓(xùn)練?？季V將分母有理化的內(nèi)容納入考核后，更要注意二次根式的運(yùn)算。6、分解訓(xùn)練，水滴石穿.綜合題的解答是一項(xiàng)綜合的工程，需要長(zhǎng)期分解訓(xùn)練，絕不能在考前一段時(shí)間集中訓(xùn)練。具體而言，可以做到：知識(shí)點(diǎn)分解到課堂；能力點(diǎn)分解到作業(yè)；訓(xùn)練時(shí)間分解到每周；鉆研對(duì)象分解到個(gè)人；考查時(shí)間分解到每月。7、思想方法，能力習(xí)慣.從歷年中考綜合題來看，分類討論思想呈現(xiàn)隔年出現(xiàn)的趨勢(shì)，其它思想方法也都體現(xiàn)在綜合題中。影響綜合題解答的因素很多，學(xué)生的

14、讀題能力、分解圖形能力、計(jì)算能力、書寫能力、心理素質(zhì)等制約著學(xué)生的解答情況。能力培養(yǎng)首先從學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣入手，包括刻苦鉆研的習(xí)慣、認(rèn)真作業(yè)習(xí)慣、課后反思習(xí)慣、時(shí)間分配習(xí)慣、自主歸納習(xí)慣等，具備這些良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的學(xué)生綜合題的解答能力會(huì)更突出一些。8、趨勢(shì)研究，關(guān)注變遷.從歷年的中考試題來看，廣東省卷每3-4年題型會(huì)有一些變化，所以在今年的復(fù)習(xí)中不應(yīng)該死抱著往年的題型訓(xùn)練，可以多了解其它省市中考試題的類型，以作參考。以代數(shù)綜合題為例?？梢允谴鷶?shù)閱讀理解題(2013-2015年珠海)，可以是應(yīng)用題的綜合(近幾年深圳)，可以是一元二次方程與二次函數(shù)的綜合(2016廣州)，可以是一元二次方程的綜合，也可

15、以是純一次函數(shù)的應(yīng)用。而代數(shù)綜合題的題型全國(guó)各地仍以二次函數(shù)背景為主，以形成等腰三角形、形成平行四邊形、形成相似、形成直角三角形、形成線段(周長(zhǎng))和最小、形成最小面積等類型為主體。純幾何題則多會(huì)與運(yùn)動(dòng)變換、分類討論等綜合考查。綜上所述，綜合題解答能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，它對(duì)學(xué)生的要求很高，對(duì)教師也提出了很高的要求。教師要增強(qiáng)自己對(duì)教材的解讀能力、對(duì)試題的鉆研能力、對(duì)知識(shí)的融通能力、對(duì)題目的講解能力，只要堅(jiān)持不懈，必會(huì)水到渠成！附：抓綱務(wù)本的中山特色從以上的分析中可以看來，綜合題解答能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，它要求教師在課堂教學(xué)中抓綱務(wù)本，深入研究教材，只要堅(jiān)持不懈，最終必能水到渠成。中山市每

16、學(xué)期的期末考試都能體現(xiàn)這一特點(diǎn)。我們分析中山市初一初二期末測(cè)試題就能發(fā)現(xiàn)，每一年的9分題都來自于課本中熟悉的圖形，或是對(duì)課本例題、習(xí)題的研究變式。以2013年上學(xué)期初一數(shù)學(xué)試題第25題為例：從甲地到乙地，先下山后走平路，某人騎自行車從甲地以每小時(shí)24km的速度下山，以每小時(shí)18km的速度通過平路，到乙地用時(shí)55分鐘?；爻虝r(shí)以每小時(shí)16km的速度通過平路，以每小時(shí)8km的速度上山，回到甲地用1.5小時(shí)，求甲乙兩地的距離.這本是上世紀(jì)80年代一道競(jìng)賽試題，最容易想到的方法是列方程組來解，但初一上學(xué)期只學(xué)了一元一次方程，所以有些老師認(rèn)為本題超過了范圍，實(shí)際上本題是對(duì)課本“球賽積分表”問題的變式。“球賽積分表”的常見的解決思路有以下四種：(1)根據(jù)鋼鐵隊(duì)的積分可知負(fù)一場(chǎng)得一分。這也是課本的思路。但如果沒有鋼鐵隊(duì)的數(shù)據(jù)呢？(2)可以根據(jù)遠(yuǎn)大隊(duì)的積分發(fā)現(xiàn)勝一場(chǎng)與負(fù)一場(chǎng)一共可積3分，可得勝一場(chǎng)x分，負(fù)一場(chǎng)(3-x)分；(3)或?qū)Ρ葨|方與光明兩隊(duì)，發(fā)現(xiàn)多勝一場(chǎng)比多負(fù)一場(chǎng)一共可多得1分，則勝一場(chǎng)為x分，負(fù)一場(chǎng)(x-1)分。(4)如果只知道光明隊(duì)和衛(wèi)星隊(duì)的積分呢？根據(jù)光明隊(duì)成