數(shù)理方程與特殊函數(shù)：2弦振動(dòng)和幾類(lèi)波動(dòng)方程的定解條件

1、幾個(gè)常用的物理定律弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題細(xì)桿的縱向振動(dòng)問(wèn)題波動(dòng)方程的定解條件 數(shù)理方程2物理、力學(xué)、電磁學(xué)、自動(dòng)化工程、生物工程等領(lǐng)域中,研究某物理量和其它物理量之間的變化關(guān)系。物理學(xué)中的定律，往往只給出這些函數(shù)和它們的各階導(dǎo)數(shù)與自變量的關(guān)系。牛頓第二定律: F = m a a物體加速度;F合外力;m物體質(zhì)量虎克定律: (1) f = k x; f 彈力;k彈性系數(shù); x彈簧伸長(zhǎng)(2) p = Y ux; Y楊氏模量; ux彈性體相對(duì)伸長(zhǎng)單擺的數(shù)學(xué)模型:牛頓冷卻定律: q = k(u|S u0) q熱流密度; u0外界溫度;u|S物體溫度散度定理: A = p(x, y, z)i + q (x, y

2、, z) j + r (x, y, z) k div A = px+ qy + rz擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)定律:流過(guò)面積微元dS的粒子質(zhì)量 dM = k un(x,t)dSdtk 擴(kuò)散系數(shù); un沿?zé)崃鞣较虻姆较驅(qū)?shù)付里葉熱傳導(dǎo)定律: Q熱量;T溫度;熱導(dǎo)率一階導(dǎo)數(shù):導(dǎo)數(shù)的意義:二階導(dǎo)數(shù):速度、加速度、變化率、曲率、切線(xiàn)或或或二元函數(shù): u = u(x, t )或弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題 一根均勻柔軟的細(xì)弦線(xiàn),一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn),另一端沿 x 軸拉緊固定在 x 軸上的 L 處，受到擾動(dòng)，開(kāi)始沿 x 軸(平衡位置)作微小橫振動(dòng)(細(xì)弦線(xiàn)上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向垂直于x 軸).試建立細(xì)弦線(xiàn)上任意點(diǎn)位移函數(shù) u(x,t) 所滿(mǎn)足的規(guī)

3、律 . uxT1T2Ox x+dxgdsds設(shè)細(xì)弦上各點(diǎn)線(xiàn)密度為, 細(xì)弦上質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力為張力T(x，t) 水平合力為零 T2 cos 2T1 cos 1 = 0 cos 1cos 2 1 T2T1T 鉛直合力: F=m aT( sin 2sin 1) = ds uttsin 1 tan 1 T( tan 2tan 1) = ds utt dsdx 其中一維波動(dòng)方程: utt = a2 uxx 考慮有恒外力密度f(wàn)(x，t)作用時(shí)，可以得到一維波動(dòng)方程的非齊次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)T ux(x+dx，t)ux(x，t) = ds utt utt= a2 uxx細(xì)桿

4、的縱向振動(dòng)問(wèn)題細(xì)桿縱向振動(dòng)時(shí)，細(xì)桿各點(diǎn)伸縮，質(zhì)點(diǎn)位移 u(x，t) 改變，質(zhì)點(diǎn)位移相對(duì)伸長(zhǎng)為 ux，截面應(yīng)力 P = Y uxY 是楊氏模量。截面的張力 T = SP。 u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO均勻細(xì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，線(xiàn)密度為，楊氏模量為Y，桿的一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，細(xì)桿受到沿桿長(zhǎng)方向的擾動(dòng)(沿x軸方向的振動(dòng))桿上質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù) u(x，t) T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)SY ux(x+dx, t) ux(x, t) 用牛頓第二定律SY ux(x+dx，t)ux(x，t) = S dxutt 令 a2 = Y/。

5、化簡(jiǎn)，得 utt = a2 uxx或由弦振動(dòng)問(wèn)題定解條件細(xì)弦一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn),另一端固定在 x 軸上的 L 處.受到垂直于 x 軸方向的擾動(dòng),作微小橫振動(dòng)。初始條件包括初始位移和初始速度 u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0初始條件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x) 邊界條件表示端點(diǎn)狀態(tài),初始條件表示歷史狀態(tài)OLL/2hxu波動(dòng)方程定解條件I波動(dòng)方程定解條件II 細(xì)弦的線(xiàn)密度為,一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn),另一端固定在 x 軸上的 L 處.弦的中

6、點(diǎn)受到垂直于 x 軸方向的沖量 I 的作用,作微小橫振動(dòng)。函數(shù) u(x,t) 表示位移波動(dòng)方程定解條件III Lu(L,t)O細(xì)桿在 x = 0 點(diǎn)固定, 在 x = L 處受外力 F(t) 作用 F(t) SY ux( L , t ) = 0 波動(dòng)方程定解條件IV 弦的一端固定在原點(diǎn),另一端與 x 軸上 L 處的彈簧相接.受到擾動(dòng),作上下微小橫振動(dòng)。在右端點(diǎn)處(張力=彈性力) : Tux= -Ku令 =T/K, 得u + uxx=L=0習(xí)題 2.1（P.22）1、2、3、4偏微分方程定解條件小結(jié):第一種情況: 初始條件( 求解區(qū)域?yàn)闊o(wú)界區(qū)域 )第二種情況: 初邊值條件(求解區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域)第一類(lèi)邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的函數(shù)值第二類(lèi)邊界條件: 給定函數(shù)在邊界上的導(dǎo)數(shù)值第三類(lèi)邊界條件